聚焦抽象函數(shù)的性質及應用的探究

【摘要】抽象函數(shù)是高中數(shù)學教學中的重點和難點，它涉及函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性和周期性等多個方面.同時，抽象函數(shù)也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象思維、數(shù)學運算能力和邏輯推理能力的重要載體.因此，與抽象函數(shù)相關的問題成為近年來高考的熱點考查內容.本文通過梳理知識點、分析學生在解決抽象函數(shù)問題中存在的問題，提出相應的解題方法，并展示解題策略的具體應用，以幫助學生積累解題策略應用經(jīng)驗.

【關鍵詞】抽象函數(shù)；高中數(shù)學；解題技巧

1引言

抽象函數(shù)是數(shù)學中一種重要的工具，它能夠將具體問題轉化為抽象表達形式，從而更好地揭示問題的本質和規(guī)律.抽象函數(shù)不僅是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點．由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式作為載體，因此理解起來比較困難，所以求解抽象函數(shù)的問題需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及對函數(shù)知識靈活運用的能力．學生有必要認真探究有關抽象函數(shù)及其導函數(shù)的常用性質，以便在選擇題或填空題中直接運用，同時也有利于提高解題的準確性，進而提升數(shù)學核心素養(yǎng)．

2應用探究

例1函數(shù)y=fx在區(qū)間－∞，+∞上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f3+x－f3－x+6x=0，函數(shù)f1－2x的圖象關于點0，1對稱，則（）

（A）fx的圖象關于點1，1對稱.

（B）8是fx的一個周期.

（C）fx一定存在零點.

（D）f101=－299.

解析由于f1－2x的圖象關于點0，1對稱，所以f1－2x+f1+2x=2，故f1－x+f1+x=2，所以fx的圖象關于點1，1對稱，故（A）正確.

由f3+x－f3－x+6x=0得f3+x+3x=f3－x－3x，令gx=f3+x+3x，所以g－x=f3－x-3x，所以gx=g－x，故gx為偶函數(shù)，又fx的圖象關于點1，1對稱，所以fx+f－x+2=2，又fx=gx－3－3x－3，從而gx－3－3x－3+g－x+2－3－3－x+2－3=2gx－3+g－x－1=－10，所以gx的圖象關于－2，－5對稱.在f1－x+f1+x=2中，令x=0，f1=1gt;0，所以g－2=f1－6=－5，所以g2=－5=f5+6f5=－11lt;0，由于y=fx在區(qū)間－∞，+∞上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由零點存在性定理可得fx在1，5有零點，故（C）正確.

由于gx的圖象關于－2，－5對稱以及gx=g－x得gx+g－x－4=－10gx+gx+4=－10，又gx+8+gx+4=－10，所以gx=gx+8，所以gx是周期為8的周期函數(shù)，f101=g98－3×98=g2－294=－5－294=－299，故（D）正確.

對于（B），f1=1，f9=g6-18=g-2-18=g2-18=-5-18=-23≠f1，所以8不是fx的周期.

故選（A）（C）（D）.

規(guī)律總結本題考查了抽象函數(shù)性質的綜合運用，抽象函數(shù)的常用性質有奇偶性、單調性、對稱性、周期性等.

常見的抽象函數(shù)奇偶性與對稱性結合的結論有：

（1）若函數(shù)y=f（x＋a）為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）關于x=a對稱．

（2）若函數(shù)y=f（x＋a）為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）關于點a，0對稱．

（3）若f（x）=f（2a－x），則函數(shù)f（x）關于x=a對稱．

（4）若f（x）＋f（2a－x）=2b，則函數(shù)f（x）關于點a，b對稱．

抽象函數(shù)性質的符號化表達通常以函數(shù)方程的形式呈現(xiàn)，這種表達方式較為抽象.這就要求學生對函數(shù)符號以及解決函數(shù)方程常用的“賦值法”有較好的理解.賦值法是解決函數(shù)方程的一種常用方法，通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地給函數(shù)中的變量賦特定的值，把已知條件與所給問題建立溝通的紐帶，推導出函數(shù)的性質或解方程.

周期性判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點：一是對定義域中任意的x恒有f（x+T）=f（x）；二是周期函數(shù)的定義域均為無限集.

設函數(shù)y=fx，x∈R，agt;0，a≠b．

（1）若fx+a=f（x）－a，則函數(shù)fx的周期為2a；

（2）若fx+a=－f（x），則函數(shù)fx的周期為2a；

（3）若fx+a=－1/f（x），則函數(shù)fx的周期為2a；

（4）若fx+a=1/f（x），則函數(shù)fx的周期為2a；

（5）若fx+a=f（x）+b，則函數(shù)f（x）的周期為a－b；

（6）若函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數(shù)fx的周期為2b－a；

（7）若函數(shù)f（x）的圖象既關于點a，0對稱，又關于點b，0對稱，則函數(shù)f（x）的周期為2b－a；

（8）若函數(shù)f（x）的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點b，0對稱，則函數(shù)f（x）的周期為4b－a；

（9）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）的周期為2a；

（10）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）的周期為4a．

解決抽象函數(shù)和導函數(shù)綜合題型需要熟練掌握抽象函數(shù)的性質和導數(shù)的計算方法，同時還要靈活運用賦值法、構造函數(shù)法等解題技巧，充分利用特殊抽象函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性等相關結論進行求解.能力層面培養(yǎng)了抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學符號運算能力、解決問題的能力和創(chuàng)新思維能力，核心素養(yǎng)層面培養(yǎng)了數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

3結語

抽象函數(shù)旨在將復雜的具體問題轉化為簡潔的抽象表達.它不僅簡化了問題的表述，更在深層次上揭示了函數(shù)的內在規(guī)律.這種深入淺出的轉化方式，無疑使抽象函數(shù)在眾多領域中都具有廣泛的應用價值.通過對抽象函數(shù)的性質和應用的方法探究，可以更好地理解和運用抽象函數(shù)來解決相關函數(shù)問題.本文的探究旨在為學生在解題思路方面提供一些啟示和指導.

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