基于教材習題的深度探究

【摘要】數學教材上的習題是教材的重要組成部分，是編者反復精心篩選出來的，在解題思路或解題方法上具有很高的代表性.本文從對教材的深度探究出發，選擇經典的例題，通過不同的思考方式和思考角度，深度發掘經典習題的價值，提供不一樣的研究路徑．

【關鍵詞】四點共圓；高中數學；解題技巧

作為一個鍛煉思維的學科，數學提倡多角度思考問題.而數學教材上的諸多經典題型，隨著學生認知水平的不斷提升，轉換思考角度重新思考，可以提升思維的高度，得到不同的學習體驗.本文結合一道經典例題，展示探究過程，進行實踐和思考.

1問題呈現

分析要證明四點共圓，按照定義即需證明這四個點在同一圓上．由于題中給出了四個點的坐標，故只要求出這個圓即可．

2多視角求解

2.1用圓的方程判定

說明方法1充分利用圓的幾何性質，即圓中弦的中垂線過圓心，從而確定圓心，求半徑，寫出圓的標準方程；方法2利用圓的一般方程，任選三個點即可．方法1和方法2通用性強．方法3充分利用數據特點，觀察可得M，N，Q三點連線構成直角三角形，從而實現快速求解．

2.2用角判定

根據幾何知識可知，對角互補的四邊形四個頂點共圓，因此可以求四邊形兩個對角的和來判定四點共圓，而對于角的計算，既可以利用平面向量的夾角公式，也可以利用解析幾何中交角公式進行計算．

在解析幾何中，對于角的處理，通常是應用正切，這是由于斜率是角的代數刻畫，然而向量是溝通代數與幾何的有力工具，因此對于角的處理，也可以運用向量的數量積，即夾角公式.而解三角形時，正弦定理和余弦定理可以很好地處理角邊關系.

2.3長度的判定

根據平面幾何中圓冪定理的逆定理可以判定四點是否共圓，而圓冪定理需要計算相關線段的長度，因此可以通過長度來判定．

長度幾何中重要的量，同樣也是解析幾何中重要的量，對于長度，有直線被圓、圓錐曲線截的弦長，也有點到直線的距離，平行直線之間的距離，以及空間中異面直線的距離，點到平面的距離等，都需要合理地選擇公式計算.

3結語

四點共圓的問題，是一個非常好的培養學生思維的載體，在解決這個問題的過程中，培養學生多角度思考問題，其中如何求解圓的方程，如何計算長度、角度等重要量，讓學生體會多個知識之間的聯系，深刻理解方程思想、向量工具性、數形結合思想、轉化與化歸思想等.通過多角度的深度研究和實踐，可以很好地幫助學生形成正確的數學學習觀.數學教學應當是一個生動活潑的思維活動過程，應展示學生思考的過程，必要時教師要搭建腳手架，讓學生逐步學會思考，發展思維，最終提升學生數學學科素養.