大概念視角下高三數學大單元復習的實踐探究

摘 要：基于大概念的大單元教學與培育學生核心素養的目標高度契合，是推進課堂變革的重要支點。在高三復習課中利用大概念統整大單元復習，有利于教師從知識本位教學轉向培養創新能力的專家思維，有利于提升學生解決新情境新問題的素養。本文基于數學學科從大概念引領大單元教學是新時代教師專業發展的需求、提煉高質量的數學大概念五種途徑、建構大概念統領大單元教學設計的實施路徑和引導學生用大單元大概念建構3D知識體系范式四個方面談談大概念統領的高三數學大單元復習一些具體的操作方法，希望對同行老師的教學有所幫助。

關鍵詞：大概念；高三數學；大單元復習；實踐探究

普通高中課程標準（2017年版）首次使用大概念統整學科課程內容，它為新課程、新教材和新高考的改革點亮了一盞明燈，指明了方向。在高三復習課中利用大概念統整大單元復習，能較好地把零散的知識從整體性、系統性和本質上加以理解，有利于教師從傳統的專家結論轉向培養創新能力的專家思維，提升學生解決新情境新問題的素養。在近三年的研究和實踐中，筆者對基于大概念的大單元教學有了粗淺的認識，現結合高三數學總復習來談談大概念統領的高三數學大單元復習的一些具體操作方法，希望對同行老師的教學有所幫助。

一、大概念引領大單元教學是新時代教師專業發展的需求

課標指出“重視以大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化促進學科核心素養的落實。[1]”所謂大概念就是從有關聯的眾多內容（章節）抽象概括出來的具有聯系和整合作用并能廣泛遷移的概念，它是學科知識金字塔頂端的上位知識，區別于課本的知識性概念。大單元是指把幾個自然單元重新組成一個新的單元，它區別于傳統單元的重要特征是可以用一個大概念來統領重組的這個大單元。大單元是大概念教學的載體，大概念統領大單元的教學目標；大單元教學從零散走向關聯，大概念教學從淺表走向深入。大概念為道，大單元為器，這是落實核心素養的必然選擇。它要求教師具備較高的專業素養和教育理念，會提煉統領大單元的大概念，然后站在大概念高處進行教學設計，并把素養的培育貫穿整個教學的始終。知識技能的教學轉向素養導向的教學，對新時代教師來說既是挑戰又是機遇，這是教師專業成長的新模式。正如著名教育家顧明遠說：教師最重要的修煉就是創新，自己的領悟自己的總結就是創新的過程，大概念就是一個創新的產品，它能引導教師從知識本位教學轉向素養本位教學，促進教師專業的成長，有利于創新人才的成長。

二、提煉高質量的數學大概念五種途徑

大概念有利于落實學生數學核心素養的培養，而提煉出一個高質量的大概念決定著數學教學的縱橫深入發展，下面分別從課程標準、教材文本、知識聯系、解題教學和教學難點等方面談一談提煉“大概念”的五種途徑。

（一）從課程標準提煉核心化大概念

課程標準是課程改革的重要依據，它在課程性質、課程目標、課程內容及學業質量四個方面都以發展學生的核心素養為宗旨，所有教學設計都圍繞核心素養而展開。新修訂的高中數學課程標準依據數學學科本質凝練的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模和數據分析這六個數學核心素養都可以提煉為教學核心化大概念。比如數學是抽象的，那么提煉“在直觀中想象，在想象中發展抽象思維”大概念，在集合、函數、向量及解析幾何和空間幾何等內容中通過數形結合強化直觀想象在數學學習中的重要作用，從而幫助學生更好地理解抽象的數學概念，拓寬數學思維的廣度和深度。又比如：運算素養是學生最基本又非常重要的能力，我提煉出“優化計算可以有效促進運算核心素養發展”大概念，并在三角函數的化簡求值、數列通項公式求法及前項求和、空間幾何的坐標運算及解析幾何綜合問題中強化運算法則、規范運算思路和多想少算等途徑不斷優化計算過程從而突破運算的困境。顯然，它們是數學核心化的大概念，貫穿在整個高中數學教與學當中。

（二）從教材文本中提煉結構化大概念

教材是我們日常教學最重要的參考書，也是提煉大概念的重要來源。當我們在品讀課本時，會發現一些重要信息多次出現在文本中，那么這些重復出現的信息就可以提煉為大概念。比如：在復習函數大單元時，我們可以從教材提煉概括出“數學情境—數量關系—抽象歸納—形成概念—實際應用是研究新函數的重要方法”的大概念，用這個大概念統領我們學習冪函數、指數函數、對數函數以及三角函數等新函數。又如：在《三角函數》整章內容里，“單位圓”就出現在三角函數定義、同角三角函數、誘導公式以及三角函數的圖像與性質等單元里[2]，那么“用單位圓理解三角函數知識”就是三角函數大單元的一個大概念，它統領三角函數大單元的教與學。探究必修一閱讀材料《探究函數的圖像與性質》之后，可以提煉出“函數解析式—函數圖像—函數性質是研究新函數的一般方法”大概念，用這個大概念就可以順利探究導數題中各類新函數，比如很典型的六個單峰函數。由此可見，只要重視課本研究課本，我們就會發現一些結構化的大概念，利用這些結構化大概念可以提高對知識的整體性認識，并會遷移運用。

（三）從知識聯系中提煉聯結化大概念

新課標指出：數學是研究現實世界中事物的本質、關系和規律。高中數學基礎知識和基本技能繁多，因此要深刻理解知識的本質，尋找它們之間的聯系，發現它們的使用規律，大道至簡，并能在復雜情境中運用自如。那么這個數學的本質、關系及規律就是數學大概念。運用“數列是一種特殊函數”這個大概念，學生就會從函數的角度深刻理解數列的概念、圖像以及數列的單調性和周期性、通項公式還有前項和公式，在解決導數題中的數列問題，學生就很自然地從函數的角度思考并解決問題。再比如：圓和橢圓都與旋轉角有關，而三角函數正是以角為自變量的函數，所以可以提煉“三角代換可以簡化圓和橢圓的運算”這個大概念，從而快速解決圓與橢圓中有關距離或最值問題。

（四）從解題教學中提煉建構化大概念

解題是數學的靈魂，大概念是解題的金鑰匙。2024年九省適應性考試充分體現了立足于“反套路、反刷題、反押題”的命題理念，有效助力“雙減”政策落地。眾所周知，學生的能力和素養是在自身的訓練中獲得并發展，因此學生除了刷題之外還要進行總結和反思，更重要的是還要學會提煉大單元的大概念，并將這些大概念在其后的學習中反復運用、強化和不斷發展創新，最終達到舉一反三融會貫通并能遷移使用的效果。比如：在解析幾何大單元復習中，提煉“抓住幾何性質和代數特征解決解析幾何問題”大概念，引導學生從定義、對稱性、特殊角、特殊三角形、梯形、垂直、平行、全等相似等幾何關系進行分析就可順利找到解題突破口。再比如：在運算素養的培育過程中，我發現學生恒等變形的能力比較弱，就提煉“降維是解決多元問題常用方法”大概念，在解三角形、三角函數的化簡求值、解析幾何與空間幾何的運算中都有用到。總之，根據學情不斷反思總結提煉解題大概念，教師和學生就可以從題海中解脫出來，還能體會到解題的快樂。

（五）從突破難點處提煉發展化大概念

數學是抽象的，數學是變化的，但數學又是一門最有規律的學科。在專題復習中，可以提煉發展化的大概念指導解題。如解三角形，最基本的就是涉及一個三角形，當三角形中添加中線、角平分線或任意一條線時，我們就得到嵌套三角形，對中等偏下的學生來說嵌套三角形難解，我就提煉“抓住兩個三角形中的聯系可以解決嵌套問題”大概念，在解題中引導學生尋找同角或同邊或鄰補角就可以順利解嵌套三角形問題。眾所周知，學生最怕多面體的外接球問題，很多學者也總結了長方體、直棱柱、側棱垂直底面、正棱錐、二面角等八種不同外接球模型，但事實上老師對多種模型詳細介紹后學生還是感覺很難，無法真正掌握。那怎樣才能讓學生從本質上理解球的問題呢？無非就是尋找球心和半徑問題，結合球的性質，我提煉了“找勾股定理解決外接球問題”的大概念，瞬間讓學生感覺到外接球問題并不難！這就是專家思維！大道至簡！由此可見，在數學學習的過程中要深刻挖掘數學本質并提煉為大概念。抓住了數學規律的大概念，我們就掌握了數學的真諦，大概念就是我們突破難點的法寶。

三、建構大概念統領大單元教學設計的實施路徑

基于大概念的大單元教學與培育學生核心素養的目標高度契合，是推進課堂變革的重要支點。在教學實踐中，我們以“大概念—核心問題—核心任務—素養評價”路徑進行大單元教學設計。現以復習《數列》大單元為例進行說明，首先以數列的概念、等差數列和等比數列三個自然單元組成了一個大單元，然后用大概念“數列是一種特殊函數”統領五個核心問題和相對應的核心任務。（如下表）

通過“大概念—核心問題—核心任務—素養評價”這個教學設計路徑就可以把函數概念、圖像、性質有機地融入數列中，充分理解數列與函數知識的交匯點，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高[3]，最后給出的素養評價指標，充分體現教、學、評一體化教學設計理念，有效促進了核心素養落地。從本例的設計圖可提煉出大概念引領大單元教學的實施路徑（如下圖）。

四、引導學生用大單元大概念建構3D知識體系范式

總結是很重要的一種深度學習方式。那么如何指導學生學會總結？最有效的方法就是利用大概念幫助學生總結，這有助于學生僅從知識與技能的2D平面認知上升為有大概念統領的3D立體認知。向量是數與形完美共同體，在平面向量和空間向量大單元復習的時候，我引導學生研讀教材并提煉“借助圖形深化理解向量有關概念和向量運算法則”大概念，把看似零散的知識用大概念聯通起來形成一個有機整體。在復習中抓住點、線、三角形、平行四邊形和平行六面體這些圖形就很容易掌握零向量、單位向量、共線向量、相等向量、相反向量等新概念以及向量的加法、減法、數乘向量、數量積四種運算，甚至用圖形很容易證明理解向量極化恒等式，因為它就存在于“雞爪”圖形中，向量極化恒等式是用線段長表示模及夾角都未知的數量積，2023年全國高考I卷的第12題作圖便可知解題方向。指導學生用大單元大概念建構3D知識體系范式。（如下圖）

由上圖可知利用大概念可以把大單元相對零散的知識串聯形成一個整體，這有利于教師組織課堂教學，有利于學生整體把握數學的本質，有利于提高學生學習的興趣和效率，教師要追求高效課堂就要去尋找適合的大概念進行教學，學生要把書讀薄就要善于總結相關內容的大概念，真正做到舉一反三，融會貫通。正如著名特級教師王崧舟老師說：學科教學最終都是指向核心素養的培育與發展，而學科素養的培育和發展需要有一些更好的支架和支點，那就是大單元和大概念，大概念是聯結核心素養與具體教學內容的橋梁，是一種控制知識的知識，并具有很強的遷移性，是培養學生學科素養的重要載體。

結束語

目前，大概念引領的大單元教學是一項全新的課題，筆者通過對周邊學校的教師和學生進行調查問卷得出：49.37%左右的教師經常使用大概念進行大單元教學，64.56%的學生喜歡老師使用大概念大單元進行教學，54.43%的學生覺得老師使用大概念大單元理念進行教學效果非常好，45.57%的學生覺得教學效果差不多。但從“對教師用大概念進行大單元主題教學有何顧慮”的調查數據結果顯示，50.63%的學生擔心教學只是流于形式，39.24%的學生擔心自己難以適應，10.13%的學生擔心花費大量時間，這表明教師在實施大單元大概念教學中充滿前所未有的挑戰，需要教師們鉆研教材，領會專家思想，把隱性的大概念轉化為顯性大概念進行數學教與學，正如著名特級教師錢守旺老師在未來課程微論壇第92期中說：一線教師要深入研究大概念、提煉大概念和運用大概念，只有這樣，教師才能創造著工作，學生才能創造著成長，學校教育才能真正培養出具有創新精神和實踐能力的人才。

參考文獻

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]何軍，徐香麗.“任意角的三角函數定義”教學片段三種設計之比較[J].中小學數學（高中版），2009（Z1）：35-36.

[3]樓澤尚.議程與函數思想在高中教學的實踐探究[J].文理導航，2013（11）：18-19.

本文系河池市教育科學“十四五”規劃2023年度學科核心素養研究專項課題“大概念視角下的高中數學大單元教學實踐探究”研究成果（課題立項編號：2023ZB031）。