“復(fù)變函數(shù)論”中奇偶性的原理與應(yīng)用

摘"要：函數(shù)是數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，而奇偶性是函數(shù)的一種重要特性，通過研究函數(shù)的奇偶性可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念與性質(zhì)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.“復(fù)變函數(shù)論”是理工科本科生必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中于研究實(shí)變量函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，對(duì)復(fù)變函數(shù)的奇偶性討論較少.本文利用函數(shù)的奇偶性，系統(tǒng)研究復(fù)變函數(shù)中的積分、求導(dǎo)及留數(shù)等相關(guān)問題，以指導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，改進(jìn)教師的教學(xué)方法，提高學(xué)生的思維水平和計(jì)算效率，并體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；奇偶性；復(fù)積分；解析函數(shù)；留數(shù)

Abstract：Function"is"the"main"research"object"of"mathematics"and"parity"is"an"important"characteristic"of"function.By"studying"the"parity，students"can"strengthen"their"understanding"of"the"concept"and"property"of"function，and"cultivate"mathematical"thinking"andnbsp;innovation"ability.Complex"function"theory，as"a"compulsory"mathematical"basic"course"for"undergraduate"students"of"science"and"engineering，has"been"widely"used"in"various"fields"of"natural"science.The"existing"literature"mainly"focus"on"the"research"of"real"variable"function"and"there"is"little"discussion"on"the"parity"of"complex"variable"function.This"paper"uses"the"parity"of"function"to"study"the"problems"of"integration，derivation"and"residue"in"complex"variable"function"systematically，so"as"to"guide"college"mathematical"education，improve"teachers’"teaching"methods，promote"students’"thinking"level"and"computing"ability，and"reflect"the"beauty"of"mathematics.

Keywords：Complex"function；Parity；Complex"integral；Analytic"function；Residue

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，“復(fù)變函數(shù)論”作為一種強(qiáng)有力的工具，被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如物理場(chǎng)論、彈性理論、流體力學(xué)、自動(dòng)控制論、醫(yī)學(xué)成像與診斷等.函數(shù)是“復(fù)變函數(shù)論”的主要研究對(duì)象，而奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，若能靈活使用奇偶函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)，可以使很多問題變得更為簡(jiǎn)單，可以進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美.

1"函數(shù)奇偶性的定義與性質(zhì)

定義1：設(shè)函數(shù)f（z）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），則稱f（z）為偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），則稱f（z）為奇函數(shù).

例如：sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù).

性質(zhì)1：設(shè)z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為偶函數(shù)，則有u（x，y）=u（-x，-y），v（x，y）=v（-x，-y）；若f（z）奇函數(shù)，則有u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為偶函數(shù)，f（-z）=u（-x，-y）+iv（-x，-y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.類似可證明奇函數(shù)的性質(zhì).

定義2：設(shè)函數(shù)f（z）的定義域D關(guān)于虛軸對(duì)稱，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），則稱f（z）為關(guān)于虛軸的偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），則稱f（z）為關(guān)于虛軸的奇函數(shù).

性質(zhì)2：設(shè)z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為關(guān)于虛軸的偶函數(shù)，則有u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）；若f（z）為關(guān)于虛軸的奇函數(shù)，則有u（-x，y）=-u（x，y），v（-x，y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為關(guān)于虛軸的偶函數(shù)，f（-z）=u（-x，y）+iv（-x，y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

類似可證明關(guān)于虛軸的奇函數(shù)的性質(zhì).

定義3：設(shè)函數(shù)f（z）的定義域D關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，若z∈D，恒有f（z）=f（z），則稱f（z）為關(guān)于實(shí)軸的偶函數(shù)；若z∈D，恒有f（z）=-f（z），則稱f（z）為關(guān)于實(shí)軸的奇函數(shù).

性質(zhì)3：設(shè)z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）為關(guān)于實(shí)軸的偶函數(shù)，則有u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）；若f（z）為關(guān)于實(shí)軸的奇函數(shù)，則有u（x，-y）=-u（x，y），v（x，-y）=-v（x，y）.

證：若f（z）為關(guān)于實(shí)軸的偶函數(shù)，f（z）=u（x，-y）+iv（x，-y），由f（z）=f（z）可得，u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）.類似可證明關(guān)于實(shí)軸的奇函數(shù)的性質(zhì).

定義4：設(shè)有向曲線C分為C1和C2兩段，若沿C1行進(jìn)至C2，曲線方向不發(fā)生變化，則稱C1和C2同向，反之則為異向.

2"奇偶函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算是復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容，研究奇偶性在積分中的作用規(guī)律能進(jìn)一步提升學(xué)生的思維水平與計(jì)算能力，指導(dǎo)教師改進(jìn)復(fù)積分的教學(xué)方法.

2.1"定理1［1］

設(shè)函數(shù)f（z）在有向光滑曲線C上連續(xù)，C由C1和C2兩部分構(gòu)成.

（1）若C1與C2為形狀關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的同向曲線，則有∫Cf（z）dz=0，當(dāng)f為偶函數(shù)；

2∫C1f（z）dz，當(dāng)f為奇函數(shù).

（2）若C1與C2為形狀關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的異向曲線，則有∫Cf（z）dz=2∫C1f（z）dz，當(dāng)f為偶函數(shù)；

0，當(dāng)f為奇函數(shù).

證：若f為偶函數(shù)，由性質(zhì)1，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=∫Cu（x，y）dy=∫Cv（x，y）dx=∫Cv（x，y）dy=0，故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=0.

若f為奇函數(shù)，由性質(zhì)1，u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=2∫C1u（x，y）dx，∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy，∫Cv（x，y）dx=2∫C1v（x，y）dx，∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1f（z）dz.

類似可證明（2）成立.

2.2定理2［2］

設(shè)函數(shù)f（z）在有向光滑曲線C上連續(xù)，C由C1和C2兩部分構(gòu)成.

（1）若C1與C2為形狀關(guān)于虛軸對(duì)稱的同向曲線，則有：

當(dāng)f為關(guān)于虛軸的奇函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

當(dāng)f為關(guān)于虛軸的偶函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

若C1與C2為形狀關(guān)于虛軸對(duì)稱的異向曲線，則結(jié)論相反.

（2）若C1與C2為形狀關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的同向曲線，則有：

當(dāng)f為關(guān)于實(shí)軸的奇函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

當(dāng)f為關(guān)于實(shí)軸的偶函數(shù)，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

若C1與C2為形狀關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的異向曲線，則結(jié)論相反.

證：設(shè)C1與C2為形狀關(guān)于虛軸對(duì)稱的同向曲線.若f為關(guān)于虛軸的偶函數(shù)，由性質(zhì)2，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

由參考文獻(xiàn)［3］中的定理6知，

∫Cu（x，y）dx=∫Cv（x，y）dx=0，

∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy，

∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1（-v+iu）dy.

類似可證明其他結(jié)論也成立.

2.3"應(yīng)用舉例

例：沿曲線正向計(jì)算下列積分.

（1）∫|z|=3zsinzdz；（2）∫|z|=3z12（z2+1）2（z4+2）3dz.

解：該圓周|z|=3可看做由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩條同向曲線構(gòu)成，且被積函數(shù)為偶函數(shù)，由定理1積分值均為0.

3"奇偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的主要研究對(duì)象，它是一類特殊的可導(dǎo)函數(shù)，關(guān)于解析函數(shù)性質(zhì)的研究也是整個(gè)復(fù)變函數(shù)研究的核心問題.

3.1"定理3

設(shè)函數(shù)f（z）在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域D內(nèi)解析，若f（z）為奇函數(shù)，則有：

f（n）（z）為D內(nèi)的偶函數(shù)，n為奇數(shù)；

為D內(nèi)的奇函數(shù)，n為偶數(shù).

若f（z）為偶函數(shù)，則結(jié)論相反.

證：設(shè)f（z）為奇函數(shù)，即f（-z）=-f（z），兩邊同時(shí)求導(dǎo)后有-f′（-z）=-f′（z），故f′（z）為偶函數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法和解析函數(shù)的無窮可微性可得結(jié)論.類似可證明偶函數(shù)的結(jié)論.

3.2"定理4

設(shè)函數(shù)f（z）在零點(diǎn)的鄰域|z|＜δ內(nèi)解析，若f（z）為奇函數(shù)，則函數(shù)在該鄰域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)僅含奇數(shù)次冪項(xiàng)；若為偶函數(shù)，則含偶數(shù)次冪項(xiàng).

證：由泰勒展開定理，f（z）=∑+∞n=0cnzn，|z|＜δ，其中cn=f（n）（0）n！.

若f為奇函數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，由定理3知f（n）（z）也為奇函數(shù)，故f（n）（0）=0，即cn≡0，級(jí)數(shù)中僅含z的奇數(shù)次冪項(xiàng).

類似可證明偶函數(shù)的結(jié)論.

3.3"定理5

設(shè)不恒為零的函數(shù)f（z）在零點(diǎn)的鄰域|z|＜δ內(nèi)解析，且0為f（z）的m級(jí)零點(diǎn).若f（z）為奇函數(shù)，則m為奇數(shù)；若f（z）為偶函數(shù)，則m為偶數(shù).

證：由已知0是f（z）的m級(jí)零點(diǎn)，則有f（z）=zmg（z），|z|＜δ，其中g(shù)（z）在|z|＜δ內(nèi)解析且g（0）≠0.若f為奇函數(shù)，g（z）必為偶函數(shù)，故m為奇數(shù).類似可證明偶函數(shù)的結(jié)論.

4"奇偶函數(shù)的留數(shù)

留數(shù)又稱殘數(shù)，是“復(fù)變函數(shù)論”中一個(gè)非常重要的概念.留數(shù)計(jì)算一般是先將函數(shù)在包含孤立奇點(diǎn)的圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)，再尋找負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)（有限孤立奇點(diǎn)），這種方法雖然是最本質(zhì)的方法，但涉及函數(shù)級(jí)數(shù)展開往往較為麻煩，如果能結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析，求留數(shù)的過程會(huì)更為方便.

4.1"定理6［4］

設(shè)f（z）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，a是f（z）的有限孤立奇點(diǎn)，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），a］=-Res［f（z），-a］.若f（z）是奇函數(shù)，則Res［f（z），a］=Res［f（z），-a］.

證：由洛朗定理，f（z）=∑+∞n=-∞cn（z-a）n，0＜|z-a|＜δ.

則f（-z）=∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）ncn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

而-f（-z）=-∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）n+1cn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

若f（z）為偶函數(shù)，f（z）=f（-z），則有Res［f（z），a］=c-1=-Res［f（-z），-a］=-Res［f（z），-a］.

若f（z）為奇函數(shù)，f（z）=-f（-z），則有Res［f（z），a］=c-1=Res［-f（-z），-a］=Res［f（z），-a］.

推論：設(shè)0是f（z）的孤立奇點(diǎn)，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），0］=0.

證：由定理6，Res［f（z），0］=-Res［f（z），0］，故Res［f（z），0］=0.

4.2"定理7

設(shè)∞是f（z）的孤立奇點(diǎn)，若f（z）是偶函數(shù)，則Res［f（z），∞］=0.

證：由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算規(guī)則，Res［f（z），∞］=-Resf1t1t2，0.

若f（z）為偶函數(shù)，則f1t1t2為變量t的偶函數(shù).再由推論1可得，Res［f（z），∞］=0.

4.3"應(yīng)用舉例

例1：求下列函數(shù)在零點(diǎn)的留數(shù).

（1）sinz-zz4sinz；（2）z2（1-ez2）3.

解：0為孤立奇點(diǎn)，且函數(shù)為偶函數(shù)，由推論1留數(shù)均為0.

例2：求下列函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).

（1）e1z2；（2）z21+z4.

解：∞為孤立奇點(diǎn)，且函數(shù)為偶函數(shù)，由定理7留數(shù)均為0.

4.4"定理8

設(shè)f（z）=P（z）Q（z）為奇的有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0）與Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）為互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合條件：

（1）n-m≥2；（2）在實(shí)軸上Q（z）≠0.則有

∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0，其中ak為f（z）所有位于上半平面的有限孤立奇點(diǎn).

證：根據(jù)已知條件和留數(shù)定理在實(shí)積分上的應(yīng)用可知，2πi∑Imak＞0Res［f（z），ak］=∫+∞-∞f（x）dx，由于f（z）為奇函數(shù)，f（x）也為奇函數(shù)，故∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0.

結(jié)語

通過本文的研究可以發(fā)現(xiàn)，奇偶復(fù)變函數(shù)在積分、導(dǎo)數(shù)和留數(shù)等方面都具有特殊的性質(zhì).這些性質(zhì)與實(shí)變量函數(shù)相比，既有聯(lián)系也有明顯的區(qū)別.若能靈活掌握相關(guān)特性，可以深化學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)奇偶性的認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生的解題能力，進(jìn)一步促進(jìn)“復(fù)變函數(shù)論”的教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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［2］吳君，劉易成.復(fù)積分的對(duì)比教學(xué)初探［J］.湘南學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，31（05）：4446.

［3］孟澤紅.對(duì)稱性在求解第一型和第二型曲線積分上的區(qū)別［J］.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2018，15（14）：242243.

［4］于亞萍，李杰，鄭亞勤.一類函數(shù)留數(shù)計(jì)算的兩個(gè)簡(jiǎn)化方法［J］.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（06）：128130.

基金項(xiàng)目：西南科技大學(xué)龍山人才項(xiàng)目（18LZX655）

作者簡(jiǎn)介：萬莉莉（1982—"），女，漢族，四川瀘州人，博士，副教授，從事非線性分析研究。