數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

摘"要"本文結(jié)合學(xué)生具體學(xué)情，設(shè)計(jì)了應(yīng)用合情推理和演繹推理探究函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程，由此展開(kāi)對(duì)思維品質(zhì)的培養(yǎng)策略探究，給出了教學(xué)中結(jié)合概念教學(xué)、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、善用推理等方法培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的一些建議.

關(guān)鍵詞"函數(shù)對(duì)稱性；思維品質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

""《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括合情推理和演繹推理.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).隨著新課標(biāo)理念的不斷落實(shí)，高考命題探索“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合考查模式，不斷增強(qiáng)試題的應(yīng)用性、探究性、開(kāi)放性，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維品質(zhì)和問(wèn)題解決能力.由“解題”向“解決問(wèn)題”轉(zhuǎn)變，由考查知識(shí)和能力向考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)轉(zhuǎn)變.目前中學(xué)教學(xué)中存在一些問(wèn)題，如教學(xué)輕結(jié)果、重結(jié)論，輕理解、重記憶以致學(xué)生面對(duì)新題型時(shí)就不知所措.培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展思維能力的關(guān)鍵.本文以一道函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題的探究為例，探索發(fā)現(xiàn)學(xué)生問(wèn)題、揭示學(xué)生問(wèn)題本質(zhì)，設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)，解決學(xué)生問(wèn)題，并提出一些教學(xué)思考.

一、將思維中的問(wèn)題顯性化

在教學(xué)中需要將學(xué)生思維中的隱性問(wèn)題顯性化，才能夠使學(xué)生自己認(rèn)識(shí)到問(wèn)題，使教師發(fā)現(xiàn)并結(jié)合學(xué)生問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性教學(xué).

1.初步探索，暴露問(wèn)題

例1"（多選）關(guān)于函數(shù)f（x）=14x+2的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是（""）.

A.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，+

C.方程f（x）=x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.函數(shù)f（x）的圖像是中心對(duì)稱圖形

此題正確答案是ACD.很多學(xué)生在解答時(shí)容易漏選D選項(xiàng).

[HTK]2.基于思維品質(zhì)進(jìn)行原因分析[HT]

基于思維品質(zhì)相關(guān)理論，首先學(xué)生思維的靈活性有待提升.這里思維的靈活性不夠的主要表現(xiàn)是遷移能力薄弱.學(xué)生遇到常見(jiàn)的函數(shù)模型如y=ex+e－x函數(shù)，借用f（－x）=f（x）便能判別函數(shù)為偶函數(shù).此外通過(guò)函數(shù)平移變換學(xué)生易知函數(shù)y=ex－1+e1－x關(guān)于x=1對(duì)稱.而D選項(xiàng)考查函數(shù)對(duì)稱性的方式不易發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以將奇函數(shù)y=4x－24x+2與y=14x+2聯(lián)系起來(lái).實(shí)際上，本問(wèn)題就是將奇函數(shù)進(jìn)行平移變換成一般對(duì)稱性探究問(wèn)題.所以學(xué)生易于遷移失敗.為了進(jìn)一步把握學(xué)生的思維特點(diǎn)，筆者給出以下問(wèn)題：

例2"（2022年北京）已知函數(shù)f（x）=11+2x，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（""）.

A.f－x+f（x）=0""B.f－x－f（x）=0

C.f－x+f（x）=1""D.f－x－f（x）=13

答案為C.本題和例1的D選項(xiàng)考查的是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是本題為學(xué)生提供了思考函數(shù)對(duì)稱性的方向，其考查形式是驗(yàn)證性的，而例1是開(kāi)放性的，難度更大.此外，學(xué)生思維的批判性有待提升.例1是一個(gè)多選項(xiàng)，通過(guò)前面推斷已經(jīng)有兩個(gè)選項(xiàng)正確，學(xué)生獲得兩個(gè)選項(xiàng)后，在面對(duì)一個(gè)不太確定的選項(xiàng)時(shí)更容易放棄選項(xiàng).再者，學(xué)生解題過(guò)程中缺乏調(diào)控、反思等元認(rèn)知知識(shí)的運(yùn)用.

二、回到問(wèn)題起點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)

為了解決學(xué)生的問(wèn)題，筆者將例1的教學(xué)回到起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題.

教學(xué)活動(dòng)一：基于原理猜想證明，合情推理進(jìn)行遷移

師：函數(shù)中心對(duì)稱的基本判定方法是什么？

生：若函數(shù)滿足fa+x+fa－x=2b或f（x）+f2a－x=2b都能說(shuō)明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)a，b對(duì)稱.

師：既然是這樣，我們一起觀察這個(gè)函數(shù)看看怎么找出點(diǎn)a，b，你們認(rèn)為解析式中數(shù)字4和2該怎么建立關(guān)系？

生：4=2×2，4=22.

師：考慮到4x這個(gè)指數(shù)形式，你覺(jué)得2用12×4還是2=412表示更合理？

生：后者.于是f（x）=14x+412.

師：你們仔細(xì)對(duì)比觀察解析式，x與12的地位應(yīng)該對(duì)等的，那你現(xiàn)在覺(jué)得怎么猜測(cè)更合理？大膽猜測(cè).

生：對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為12.

師：那么我們需要驗(yàn)證的等式是什么？你能不能寫(xiě)出結(jié)論？

生：驗(yàn)證f（x）+f1－x或者f12+x+f12－x為定值.

通過(guò)計(jì)算f（x）+f1－x=14x+2+141－x+2=14x+2+4x4+2·4x=2+4x4+2·4x=12，所以函數(shù)的圖象關(guān)于12，14對(duì)稱.

師：如果函數(shù)解析式f（x）=14x+1呢？

生：由1=40，有f（x）+f－x=14x+1+14－x+1=14x+1+4x1+4x=1，所以函數(shù)關(guān)于0，12對(duì)稱.

師：看得出來(lái)，你們掌握了猜的密碼，那么我們?cè)囍每刂谱兞糠▉?lái)繼續(xù)分析f（x）=22x+3，f（x）=12x－1是否也是中心對(duì)稱中心圖形？

生：由3=2log23，有f（x）+f2·log23－x=22x+3+222·log23－x+3=22x+3+2·2x9+3·2x=23.

對(duì)于函數(shù)f（x）=12x－1，有1=20，f（x）+f－x=12x－1+12－x－1=12x－1+2x1－2x=－1.

師：通過(guò)上述四個(gè)函數(shù)對(duì)稱性的探究，能否猜測(cè)一般結(jié)果？

生：形如y=cax+ba＞0且a≠1函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形.若b＞0，對(duì)稱中心為alogab，c2b，若b＜0，對(duì)稱中心為aloga（－b），c2b.

在完成上述探究活動(dòng)后，筆者展示了下面例題：

例3"已知函數(shù)f（x）=21+2x+11+4x滿足floga（2+1）=1，其中a＞1，則floga（2-1）=（）.

A.1"""B.2"""C.3"""D.4

解析"因函數(shù)y=21+2x滿足f（x）+f－x=2，函數(shù)y=11+4x滿足f（x）+f－x=1，從而函數(shù)f（x）=21+2x+11+4x滿足f（x）+f－x=3，又因?yàn)閘oga2+1+loga2－1=loga1=0，所以floga2+1+floga2－1=3，故選B.

教學(xué)活動(dòng)二：建構(gòu)聯(lián)系優(yōu)化思維，異途同歸活躍思路

除了上述應(yīng)用定義法證明函數(shù)對(duì)稱性，還可以借用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性證明原函數(shù)的對(duì)稱性.已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x）.若fa+x=fa－x，對(duì)等式兩邊求導(dǎo)有f′（a+x）=－f′a－x，則說(shuō)明若原函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）關(guān)于點(diǎn)a，0對(duì)稱.同理可推，若原函數(shù)y=f（x）關(guān)于a，0對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）關(guān)于x=a對(duì)稱.反之運(yùn)用積分運(yùn)算，若導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）關(guān)于x=a，則原函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)a，b2對(duì)稱；若導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)a，0對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于x=a對(duì)稱.

利用上述結(jié)論，對(duì)函數(shù)f（x）=14x+2求導(dǎo)得f′（x）=－4x·ln44x+22=－ln44x+41－x+4，其中g(shù)（x）=4x+41－x滿足g1－x=41－x+41－1－x=41－x+4x=g（x），函數(shù)y=g（x）關(guān)于x=12對(duì)稱.則y=f′（x）關(guān)于x=12對(duì)稱，那么原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)12，b對(duì)稱，這樣思路就可以轉(zhuǎn)化為驗(yàn)算y=f（x）+f1－x=14x+2+141－x+2=12，從而得到函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)12，14對(duì)稱.

教學(xué)活動(dòng)三：歸納總結(jié)得出結(jié)論，內(nèi)化認(rèn)知形成技能

函數(shù)的對(duì)稱性一直是高考考查熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性本質(zhì)就是奇偶函數(shù)進(jìn)行平移變換的結(jié)果.判斷函數(shù)的奇偶性通常有如下方法：

（ⅰ）利用奇偶性定義，整理含參數(shù)恒等式，從而確定參數(shù).

例4"（2023全國(guó)乙，文16）若f（x）=lna+11－x+b是奇函數(shù)，則a= ，b=.

解析"因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lna+11－x+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域中x≠1.由a+11－x≠0可得定義域?yàn)閤x≠1且x≠a+1a，所以a+1a=－1，解得a=－12.再由f0=0可得，b=ln2.此時(shí)f（x）=ln－12+11－x+ln2=ln1+x1－x，在定義域內(nèi)滿足f－x=－f（x），f（x）為奇函數(shù)，符合題意.

（ⅱ）將原函數(shù)拆解為簡(jiǎn)單函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的運(yùn)算法則判斷.

例5"（2023新課標(biāo)Ⅱ第4題）若函數(shù)f（x）=x+aln2x－12x+1為偶函數(shù)，則a=（""）.

A.－1"""B.0"""C.12"""D.1

解析"易知函數(shù)f（x）的定義域－，－12∪12，+關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令g（x）=x+a，h（x）=ln2x－12x+1，則f（x）=g（x）·h（x），易得h（x）為奇函數(shù).因?yàn)閒（x）=g（x）·h（x）為偶函數(shù)，所以g（x）為奇函數(shù)，解得a=0.故選B.

（ⅲ）結(jié)合原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)圖象對(duì)稱性的關(guān)系判斷.

例6"（2022新高考Ⅰ第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域?yàn)镽，記g（x）=f′（x），若f32－2x，g2+x均為偶函數(shù)，則（"）.

A.f0=0""""""B.g－12=0

C.f－1=f4""""D.g－1=g2

解析因?yàn)閒32－2x為偶函數(shù)，所以f32－2x=f32+2x，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=32對(duì)稱，則f－1=f4；因?yàn)間2+x為偶函數(shù)，所以g2+x=g2－x，則函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱.由上述原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性的結(jié)論，g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)32，0中心對(duì)稱.

由g（x）=g4－x=－gx－1，得g（x）的一個(gè)周期為2.所以g－12=g32=0，g－1=g1=－g2，故B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）+C′=f′（x）C為常數(shù)，所以f（x）的圖象經(jīng)過(guò)上下平移后，其對(duì)稱性與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性不發(fā)生改變，即f（x）+C也滿足題意，所以不能確定f0=0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.綜上、選B、C.

三、重現(xiàn)思維品質(zhì)優(yōu)化培養(yǎng)

新課標(biāo)指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)邏輯地思考問(wèn)題；能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力.

1.把握概念教學(xué)培養(yǎng)思維的深刻性

概念是思維的“細(xì)胞”.運(yùn)用概念構(gòu)成判斷和進(jìn)行推理的階段就是思維階段.概念、判斷、推理就是思維的形式.概念教學(xué)有助于系統(tǒng)而深刻地揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.章建躍教授提出教師可以以數(shù)學(xué)整體觀為指導(dǎo)，為學(xué)生搭建研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）的整體框架，著力培養(yǎng)思維的邏輯性.在框架下展開(kāi)教與學(xué)，可以確保結(jié)構(gòu)的合理性、內(nèi)容的可預(yù)見(jiàn)性、過(guò)程的邏輯性、探索的方向性、思維的主動(dòng)性、方法的有效性.本文中的案例正是基于函數(shù)中心對(duì)稱定義，抓準(zhǔn)探究方向，引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗(yàn)證，從而找到函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.

2.創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是在新異情況或困難面前采取對(duì)策、獨(dú)特地和新穎地解決問(wèn)題的過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的智力品質(zhì).概括性越高，知識(shí)系統(tǒng)性越強(qiáng)，減縮性越大，遷移性越靈活，則獨(dú)創(chuàng)性就越突出.通過(guò)研究近些年高考數(shù)學(xué)卷可以發(fā)現(xiàn)，高考卷呈現(xiàn)一個(gè)特點(diǎn)就是加入復(fù)雜情境，而考生在面對(duì)這些情境問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)閱讀理解水平低下，“數(shù)學(xué)化”能力差等問(wèn)題.這反映在實(shí)際教學(xué)中，教師忽視了問(wèn)題情境的重要性，往往是教師自行抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，教學(xué)中掐頭去尾，把較多的時(shí)間放在推理與計(jì)算中，重結(jié)果輕過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方面沒(méi)有得到應(yīng)有的訓(xùn)練.本教學(xué)中設(shè)置一連串的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，先后對(duì)四個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心探究，遵從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生感受變與不變的本質(zhì)，概括一般結(jié)論.在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.善用推理培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中提出數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，即合情推理與演繹推理.思維過(guò)程的基本框架是觀察與實(shí)驗(yàn)、歸納與演繹、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括.所以一個(gè)完整的思維過(guò)程其實(shí)往往包括了合情推理與演繹推理，合情推理有利于指導(dǎo)思維方向，演繹推理保證了思維的嚴(yán)密性、結(jié)果的準(zhǔn)確性.本文通過(guò)對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的探究為指引，通過(guò)邏輯連貫的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用猜想、驗(yàn)證、歸納總結(jié)進(jìn)行合情推理，再運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)對(duì)稱性的關(guān)系驗(yàn)證猜想完成演繹推理.推理的過(guò)程本質(zhì)是就是不斷地靈活地作“綜合地分析”.在推理中不斷運(yùn)用邏輯思維、形象思維以及直覺(jué)思維等多種思維方式提升學(xué)生思維的靈活性.

參考文獻(xiàn)

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