建立二次函數(shù)模型解決初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用.本文通過對(duì)初中數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的分析，闡述如何建立二次函數(shù)模型解決這些問題，旨在幫助學(xué)生提高運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題方法

二次函數(shù)是初中的一類重要函數(shù)，學(xué)生不僅需要掌握二次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，更要學(xué)會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題.二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用主要有三類，即銷售問題、軌跡問題、圖形問題.本文結(jié)合具體實(shí)例，談二次函數(shù)在解決這三類問題中的應(yīng)用.

1建立二次函數(shù)模型解決銷售問題

在銷售問題中，通常涉及商品的售價(jià)、銷售量、利潤(rùn)等變量，利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量.通過建立二次函數(shù)模型，可以將利潤(rùn)最大問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題.

例1某企業(yè)開發(fā)了一種新產(chǎn)品，生成這種產(chǎn)品的成本包括原料成本、加工成本和運(yùn)輸成本. 每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的原料成本為40元，加工成本為6元，運(yùn)輸成本為4元.該企業(yè)在進(jìn)行產(chǎn)品市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，若該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為100元，則每天可銷售50件，當(dāng)銷售單價(jià)每降低1元，則每天可多銷售5件，但銷售單價(jià)不能低于成本價(jià).為擴(kuò)大銷量，現(xiàn)公司決定降價(jià)出售.

（1）寫出每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式以及自變量x的取值范圍;

（2）已知每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量.為了控制成本，該企業(yè)規(guī)定生產(chǎn)這種新產(chǎn)品每天的總成本最高為7000元.為了使每天的銷售利潤(rùn)最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

解析（1）易知總成本為50元，于是y=（x-50）50+5×100-x1=-5x2+800x-27500（50≥x≥100）.

（2）因?yàn)樵撈髽I(yè)每天生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的總成本最高為7000元，所以5050+5×100-x1≤7000，解得x≤82.

根據(jù)第（1）問可知y=－5x2+800x－27500=－5（x－80）2+4500，故拋物線的對(duì)稱軸為x=80.因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)小于零，所以拋物線開口向下，故在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而減小.所以當(dāng)x=82時(shí)，y最大，最大值為4480.所以為了使每天的銷售利潤(rùn)最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為82元，最大利潤(rùn)為4480元.

2建立二次函數(shù)模型解決軌跡問題

根據(jù)物理知識(shí)，拋出的物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其垂直高度與水平距離之間蘊(yùn)含著二次函數(shù)關(guān)系.因此，二次函數(shù)模型常用于解決拋體的軌跡問題，常見的例子有噴泉水柱的運(yùn)動(dòng)軌跡、投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡等.

例2一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次射門訓(xùn)練中，從球門正前方8m的A處射門，已知球門高OB為2.44m，球射向球門的軌跡可以看作是拋物線的一部分，當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度為3m.現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖1所示.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）請(qǐng)判斷球能否射進(jìn)球門；

（3）為了進(jìn)球，運(yùn)動(dòng)員帶球向點(diǎn)A的正后方移動(dòng)了nm（ngt;0）射門，若運(yùn)動(dòng)員射門路線的形狀、最大高度均保持不變，結(jié)果恰好在點(diǎn)O正上方2.25m處進(jìn)球，求n的值.

解析（1）因?yàn)?－6=2，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.

設(shè)拋物線表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x－2）2+3，把點(diǎn)A（8，0）代入，得36a+3=0，解得a=－112，所以y=－112（x－2）2+3.

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=－112×4+3=83gt;2.44，所以球不能射進(jìn)球門.

（3）根據(jù)題意，移動(dòng)后的拋物線的表達(dá)式為y=－112（x－2－n）2+3，把點(diǎn)（0，2.25）代入，得2.25=－112×（0－2－n）2+3，解得n1=－5（舍去），n2=1，所以n的值為1.

3建立二次函數(shù)模型解決圖形問題

在圖形問題中，二次函數(shù)同樣有著廣泛的應(yīng)用，可用于解決面積和周長(zhǎng)最值問題.例如在矩形、三角形、圓等各類圖形中，都可以通過建立二次函數(shù)模型來求最優(yōu)解.

例3如圖2，某農(nóng)戶計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地養(yǎng)殖家禽，為充分利用現(xiàn)有資源， 該矩形場(chǎng)地一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為18m），另外三面用籬笆圍成，中間再用籬笆把它分成三個(gè)面積相等的矩形分別養(yǎng)殖不同的家禽.計(jì)劃購買籬笆的總長(zhǎng)度為32m，設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為xm，寬為ym，面積為sm2.

（1）分別求出y與x，s與x的函數(shù)解析式.

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積最大？最大面積為多少？

（3）若購買的籬笆總長(zhǎng)增加8m，矩形場(chǎng)地的最大總面積能否達(dá)到100m2？若能，請(qǐng)求出x的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

解析（1）根據(jù)題可得y=14（32－x）=－14x+8，所以s=x·14（32－x）=－14x2+8x，其中0lt;x≤18.

（2）因?yàn)閥=－14x2+8x=－14（x－16）2+64，所以當(dāng)x=16時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積最大，最大為64m2.

（3）由題意得s=x·14（40－x）=－14x2+10x（0lt;x≤18），將s=100代入s=－14x2+10x，－14x2+10x=100，解得x1=x2=20.因?yàn)?lt;x≤18，所以x1=x2=20不符合要求，舍去.所以矩形場(chǎng)地的最大總面積不能達(dá)到100m2.

4結(jié)語

本文詳細(xì)闡述了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的三類應(yīng)用.在銷售問題中，通過建立二次函數(shù)模型將利潤(rùn)最大問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值問題；在軌跡問題中，利用二次函數(shù)模型解決拋體的軌跡問題；在圖形問題中，可用于解決面積和周長(zhǎng)最值問題，如矩形場(chǎng)地養(yǎng)殖家禽的面積問題.總之，建立二次函數(shù)模型在解決初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生掌握構(gòu)建二次函數(shù)模型的方法與技巧，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.