例析二次函數(shù)四類常見含參問題

［摘 要］二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要知識點，也是中考數(shù)學的必考知識點，其中含參問題較為常見且難度較大。文章結合典型試題，對四類常見的二次函數(shù)含參問題進行總結分析，旨在提高學生的解題效率。

［關鍵詞］二次函數(shù)；含參問題；初中數(shù)學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0026-03

二次函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是中考數(shù)學的必考知識點。二次函數(shù)中含參問題不僅要求學生理解掌握基礎知識，還要求學生具備靈活運用所學知識解決實際問題的能力，是初中數(shù)學考查的重點。本文結合典型試題，對常見的二次函數(shù)含參問題進行系統(tǒng)的梳理和探究，以提高學生的解題能力。

一、求參數(shù)的取值范圍

二次函數(shù)含參問題中求參數(shù)的取值范圍是一類常見且相對基礎的問題。這類問題通常涉及二次函數(shù)的圖象性質，考查學生利用數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法解題的能力。常見的命題情境包括根據(jù)函數(shù)性質，確定參數(shù)范圍、根據(jù)函數(shù)圖象與坐標軸的交點確定參數(shù)范圍、根據(jù)函數(shù)圖象與特定直線或點的位置關系確定參數(shù)范圍。解題時，學生需結合函數(shù)圖象的基本性質，如開口方向、對稱軸、頂點等，對參數(shù)的取值范圍進行初步判斷。比如，已知函數(shù)圖象與坐標軸的交點，則可根據(jù)交點位置、交點個數(shù)等條件列出不等式求解參數(shù)范圍；若已知函數(shù)圖象與特定直線或點的位置關系，則可通過分析二者間的關系，列出相應的不等式或方程進行求解。

［例1］拋物線[y=-x2+2mx-m2+2]與[y]軸交于點[C]，過點[C]作直線[l]垂直于[y]軸，將拋物線在[y]軸右側的部分沿直線[l]翻折，其余部分保持不變，組成圖形[G]，點[M（m-1，y1）]，[N（m+1，y2）]為圖形[G]上兩點，若[y1lt;y2]，則[m]的取值范圍是（" " " " ）。

A. [mlt;-1]或[mgt;0]" " " " " " " " B. [-12lt;mlt;12]

C. [0≤mlt;2]" " " " " " " " " " " "D. [-1lt;mlt;1]

解析：已知拋物線為[y=-x2+2xm-m2+2]，整理可得[y=-（x-m）2+2]，則頂點坐標為[（m，2）]，所以[M，N]兩點關于對稱軸[x=m]對稱。

當[m≤0]時，如圖1，要使[y1lt;y2]，則存在[m+1gt;0]，即[-1lt;m≤0]；

當[mgt;0]時，如圖2，要使得[y1lt;y2]，則存在[m-1lt;0]，即[0lt;mlt;1]；

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z15.epsgt;" " " lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z16.epsgt;

圖1" " " " " " " " " " " " " " " 圖2

綜上可得[-1lt;mlt;1]，故正確答案為[D]。

通過特殊值法求解。令[m=1]，則可得[M（0，1）]，[C（0，1）]，則點[M]的翻折點[N]此時存在[y1=y2=1]，不符合題意，可以排除選項[A]和[C]；當[m=12]時，得[M-12，1]，[C0，74]，此時可得點[N]的坐標為[32，52]，符合題意，可以排除選項[B]，故可得正確答案D。

二、含參二次函數(shù)最值問題

在含參二次函數(shù)最值問題中，常見的命題情境是給出二次函數(shù)解析式及其定義域，求定義域內(nèi)的最值。由于參數(shù)的存在，二次函數(shù)的對稱軸位置、頂點位置及開口方向是不確定的，從而進一步影響函數(shù)的最值。因此，解題時首先要分析含參二次函數(shù)的特點，明確參數(shù)對函數(shù)圖象開口方向、對稱軸、頂點位置等圖象特征的影響。當對稱軸方程含參數(shù)時，需進行分類討論，即考慮對稱軸在定義域左側、在定義域中間、在定義域右側三類情況。

［例2］二次函數(shù)[y=x2+bx+b2]，當[x]滿足[b≤x≤b+3]時，函數(shù)[y]的最小值為[21]，求函數(shù)的解析式。

解析：因為[y=x2+bx+b2]，對稱軸為直線[x=-b2]，當對稱軸在取值范圍左側，即[-b2lt;b]時，得[bgt;0]，則[ymin=yx=b=3b2=21]，[b=7]或[b=-7]（舍去）；當對稱軸在取值范圍內(nèi)，即[b≤-b2≤b+3]時，得[-2≤b≤0]，則[ymin=yx=-b2=34b2=21]，所以[b=±27]（舍去）；當對稱軸在取值范圍右側，即[-b2gt;b+3]時，得[blt;-2]，則[ymin=yx=b+3=3b2+9b+9=21]，所以[b=-4]或[b=1]（舍去）。

綜上，[b=-4]或[7]，則二次函數(shù)為[y=x2-4x+16]或[y=x2+7x+7]。

三、含參二次函數(shù)圖象的交點問題

常見的含參二次函數(shù)交點問題有拋物線與坐標軸交點問題、拋物線與線段交點問題、拋物線與其他函數(shù)圖象交點問題等。其中，含參二次函數(shù)圖象與[x]軸交點問題尤為典型，主要涉及判斷交點個數(shù)、求交點坐標及參數(shù)的取值范圍。解題關鍵在于理解并靈活運用判別式：當[Δgt;0]時，二次函數(shù)圖象與[x]軸有兩個交點；當[Δ=0]時，二次函數(shù)圖象與[x]軸有一個交點；當[Δlt;0]時，二次函數(shù)圖象與[x]軸無交點。具體解題時，將含參二次函數(shù)的系數(shù)代入判別式[Δ]，得到關于參數(shù)的方程或不等式，解之即可得到參數(shù)的值或取值范圍。需注意的是，二次項系數(shù)不能為[0]，且要考慮題目中的限制條件。對于拋物線與線段的交點問題，主要關注交點存在性、交點坐標及符合題意的參數(shù)取值范圍。在判斷交點存在性時，需給定一個含參二次函數(shù)和一條線段，求解二次函數(shù)圖象與線段所在直線的交點，并檢驗交點是否在線段上。解題步驟為：首先明確線段與二次函數(shù)圖象相交的條件；然后將二次函數(shù)的解析式和線段所在直線的方程聯(lián)立，解出交點的坐標；最后根據(jù)約束條件，確定滿足相關條件時參數(shù)的取值范圍。

［例3］如圖3，二次函數(shù)[y=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過點[A0，-74]，[B1，14]，點[P]為圖象上任意一點，橫坐標為[m]，過點[P]作[PQ]∥[x]軸，點[Q]的橫坐標為[-2m+1]，[P，Q]不重合，且線段[PQ]長度隨[m]增大而減小。（1）求[m]的取值范圍；（2）當[PQ≤7]時，寫出線段[PQ]與二次函數(shù)[y=x2+bx+c-2≤xlt;13]的圖象交點個數(shù)及對應的[m]的取值范圍。

解析：（1）因為[y=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過點[A0，-74]，[B1，14]，把[A]，[B]代入函數(shù)解析式可得[b=1]，[c=-74]，所以[y=x2+x-74]。

因為線段[PQ]的長度隨[m]增大而減小，且[PQ]∥[x]軸，所以當[P]在[Q]點右側時，[PQ=m-（-2m+1）=3m-1]，[PQ]的長度隨[m]增大而增大，不符合題意；當點[Q]在[P]點的右側時，[PQ=（-2m+1）-m=-3m+1]，[PQ]的長度隨[m]增大而減小，同時說明[-2m+1gt;m]，即[mlt;13]。

（2）因為[0lt;PQ≤7]，由（1）可得[0lt;-3m+1≤7]，所以[-2≤mlt;13]。若點[P]與[y=x2+x-74-2≤xlt;13]的圖象左側端點[C-2，14]重合，由圖4可知，隨著點[P]向右移動，其橫坐標[m]變大，[PQ]長度變小，當過點[E13，-4736]時，點[P]和點[E]關于對稱軸對稱，此時[y=x2+x-74=x+122-2]，對稱軸為直線[x=-12]，根據(jù)圖象的對稱性可得此時點[P]的橫坐標為[-43]，但因二次函數(shù)中[x]的取值范圍為[-2≤xlt;13]，故函數(shù)圖象不經(jīng)過點[E]，當[P]的橫坐標為[-43]，即[m=-43]時，點[Q]的橫坐標為[-2m+1=113]，[113gt;13]，所以此時點[Q]在點[E]右側。如圖5，當[-2≤m≤-43]時，[PQ]與圖象交點個數(shù)為[1]。

如圖6，在點[P]移至頂點[D-12，-2]之前，線段[PQ]與圖象存在兩個交點，且關于對稱軸對稱，所以當[-43lt;mlt;-12]時，線段[PQ]與拋物線始終有兩個交點。

如圖7，當[P]移動至拋物線頂點時，線段[PQ]與拋物線有一個交點，即[PM=12]；點[P]與點[D]重合，此時，線段[PQ]與拋物線有一個交點。

如圖8，當[-12≤mlt;13]時，[PQ]與圖象交點個數(shù)為1。

綜上所述，當[-2≤m≤-43]或[-12≤mlt;13]時，直線[PQ]與拋物線有一個交點；當[-43lt;mlt;-12]時，直線[PQ]與拋物線有兩個交點。

四、含參二次函數(shù)圖象與幾何圖形問題

含參二次函數(shù)圖象與幾何圖形問題的考查常出現(xiàn)在壓軸題中，常見的題型包括求解參數(shù)值、動態(tài)幾何問題。解答時，需以坐標系為橋梁，結合二次函數(shù)圖象與幾何圖形，通過構造三角形、四邊形等輔助解題。首先，根據(jù)題目中的幾何條件，建立含參二次函數(shù)與幾何圖形的函數(shù)關系，運用幾何知識輔助。其次，利用二次函數(shù)的圖象性質（如開口方向、對稱軸、頂點）判斷函數(shù)圖象與幾何圖形的關系。若涉及交點，則聯(lián)立求解；若涉及最值或參數(shù)取值范圍，則利用不等式求解。解題過程中，需注意知識點間的聯(lián)系與轉化，化復雜為簡單，化未知為已知。

［例4］如圖9，拋物線[y=ax2-2ax+a+10]（[alt;0]）的頂點為[P]，作[PM⊥x]軸于點[M]，點[C]是線段[PM]上一點，[CD]∥[x]軸，交拋物線于第一象限一點[D]，過線段[CD]的中點[F]，作[EN⊥CD]，交拋物線于點[E]，交[x]軸于點[N]，直線[CN]交[y]軸于點[G]，點[H]在射線[CN]的延長線上。（1）求頂點[P]的坐標；（2）若四邊形[CNDE]是菱形，求[PC]∶[CM]的值；（3）當[GC=12CN=13NH]時，若[AN]平分[∠CAH]，求[a]的值。

解析：（1）頂點[P（1，10）]（過程略）。

（2）[PC]∶[CM=4]∶[3]（過程略）。

（3）如圖10，過點[H]作[HK⊥x]軸于點[K]，易得[△ACM]∽[△AHK]，[△CMN]∽[△GON]，[△GON]≌[△HKN]，設[D（m，n）]，則[C（1，n）]，所以[CM=n]。

由[GC=12CN=13NH]，易得[G0，3n2]，所以直線[GH]的解析式為[y=-n2x+3n2]，而[HK=OG=3n2]，所以點[H]的縱坐標為[3n2]，代入[y=-n2x+3n2]可得[H6，-3n2]，即[OK=6]，而[△ACM]∽[△AHK]，其相似比為2∶3，所以[AM]∶[AK=2]∶[3]，由[AM=OA+1]，[AK=OA+6]，得[（OA+1）]∶[（OA+6）=2]∶[3]，可得[OA=9]，所以[A（-9，0）]，將[A（-9，0）]代入[y=a（x-1）2+10]，得[a=-110]。

綜上所述，本文總結了中考中幾類常見的含參二次函數(shù)題型。這些題型各有特點，需學生靈活運用二次函數(shù)及幾何等知識。因此，在日常學習中，學生應掌握分類討論、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，以便快速解答問題。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 劉長松，陳超.中考二輪復習微專題探究：含參數(shù)的二次函數(shù)中對稱軸、區(qū)間、函數(shù)值之間的關系探究[J].數(shù)理化解題研究，2024（2）：20-22.

[2]" 陳金峰.二次函數(shù)在中考中的常見問題探究[J].中學教學參考，2024（2）：40-42.

[3]" 沃忠波，鄭穎.二次函數(shù)常見題型及解題策略探究[J].中學教學參考，2023（35）：20-23.

[4]" 徐恒.含參數(shù)的二次函數(shù)區(qū)間值[J].初中生世界，2023（7/8）：80-81.

（責任編輯" " 黃春香）