基于滑模函數分數階Rikitake混沌系統3個同步方案設計

摘要： 用滑模同步理論和滑模動態方法研究分數階Rikitake不確定混沌系統滑模同步， 繪制Rikitake混沌系統吸引子相圖， 根據分數階微積分， 構造3個滑模函數， 給出3個同步方案， 并對3個同步方案進行對比和分析. 結果表明： 分數階Rikitake不確定混沌系統在一定條件下可取得滑模同步.

關鍵詞： 分數階； 滑模； 同步； 混沌系統

中圖分類號： O415.5文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0595-06

Design of Three Synchronization Schemes of Fractional-Order Rikitake Chaotic Systems Based on Sliding Mode Functions

MENG Jintao， MAO Beixing， WANG Dongxiao， JIAO Jianfeng， CHEN Can

（School of Mathematics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou 450046， China）

Abstract： By using sliding mode synchronization theory and sliding mode dynamic methods， we studied sliding mode synchronization of fractional-order Rikitake uncertain chaotic systems and drew the attractor phase diagrams of Rikitake chaotic systems. According to fractional-order calculus， we constructed three sliding mode functions， gave three synchronization schemes， and compared and analyzed three synchronization schemes. The results show that fractional-order Rikitake uncertain chaotic system can achieve sliding mode synchronization under certain conditions.

Keywords： fractional-order； sliding mode； synchronization； chaotic system

收稿日期： 2023-09-11.

第一作者簡介： 孟金濤（1980—）， 男， 漢族， 碩士， 副教授， 從事復雜網絡和混沌同步的研究， E-mail： mjint@163.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12401655）和河南省高等學校重點科研項目（批準號： 24ZX008）.

由于混沌系統具有隨機性、 不確定性、 初值敏感性和非線性性^［1-3］， 因此人們提出和研究了形式各異的實際系統， 如Lorenz系統^［1］、 Chen系統^［2］、 L系統^［3］、 分數階系統^［4-5］、 Rucklidge系統^［6］、 高維系統^［7］、 有限時間系統^［8］、 自適應滑模系統^［9-10］和Rikitake系統

^［11-14］等. 為解決實際物理系統的不確定性和參數依賴性， 人們提出了多種研究方法， 由于滑模同步可較好解決和處理來自系統的非線性， 因此已引起人們廣泛關注. 如文獻［4］通過設計積分滑模函數研究了混沌系統的積分滑模同步， 給出了一種新型滑模同步方式； 文獻［5］研究了混沌系統的模糊滑模同步， 通過定義模糊規則給出了模糊滑模面的設計和控制器的選取； 文獻［6-7］研究了混沌系統的自適應滑模同步， 通過設計自適應規則和滑模函數給出了主從系統自適應滑模同步的充分條件； 文獻［8］研究了分數階混沌系統的有限時間滑模同步， 在設計滑模函數取得同步的同時給出了同步時間； 文獻［9］研究了分數階永磁同步電機混沌系統的自適應滑模同步， 給出了自適應規則和控制器； 文獻［10］研究了分數階Sprott-D混沌系統自適應滑模同步問題， 給出了滑模函數構造的3個設計方案； 文獻［11］研究了Rikitake雙圓盤耦合發電機系統的動力學行為； 文獻［12］研究了帶摩擦的Rikitake雙盤發電機混沌系統的同步， 給出了系統取得混沌同步的充分條件； 文獻［13］研究了分數階Rikitake系統的混沌控制； 文獻［14］研究了分數階Rikitake混沌系統的自適應滑模同步， 針對Rikitake混沌系統設計了3個控制器. 在此基礎上， 本文研究分數階Rikitake混沌系統滑模同步， 給出滑模同步的3個控制方案， 其中方案1設計的是傳統滑模函數， 需設計3個控制器， 方案2和方案3通過設計適當的滑模面， 僅需2個控制器即可使分數階Rikitake混沌系統取得滑模同步， 并對3個方案進行比較.

1 系統描述

定義1^［15］Caputo分數階導數定義為

Dqtx（t）=1Γ（n-q）∫tt0（t-τ）^n-q-1x^（n）（τ）dτ，n-1lt;qlt;n∈瘙綄+.

分數階Rikitake混沌系統的狀態方程^［14］為

Dqtx=-μx+yz，Dqty=-μy+（z-a）x，Dqtz=1-xy.（1）

當初始值為（1，2，3）， 參數μ=2， a=5， q=0.99時， 系統（1）的吸引子相圖如圖1所示.

圖1 系統（1）的吸引子相圖

Fig.1 Attractor phase diagrams of system （1）

以系統（1）為主系統， 設計從系統為

Dqtx1=-μx1+y1z1+u1，Dqty1=-μy1+（z1-a）x1+u2，Dqtz1=1-x1y1+u3，（2）

其中u1，u2，u3為控制器. 定義e1=x1-x， e2=y1-y， e3=z1-z， 可得

Dqte1=-μe1+y1z1-yz+u1，Dqte2=-μe2+z1x1-zx-ae1+u2，Dqte3=-x1y1+xy+u3.（3）

引理1^［16］若x（t）為連續可微函數， 則對q∈（0，1）， 有12Dqtx2（t）≤xT（t）Dqtx（t）.

引理2^［16-17］設V（t）=12（y21（t）+y22（t））， 若存在常數kgt;0， 使得DqtV（t）≤

-ky21（t）， 則y21（t）≤2V（0）Eq，1（-2ktq）， 且 limt→∞‖y1（t）‖=0.

2 主要結果

定理1 設計滑模函數s（t）=e1+e2+e3， 3個控制器分別為

u1=yz-y1z1， u2=zx-z1x1+ae1， u3=x1y1-xy-μe3-ηssgn s，

則主從系統（1）和（2）取得滑模同步.

證明： 當在滑模面上運動時， 滿足s=0， 將控制器u1代入式（3）可得Dqte1=-μe1， 因此e1→0. 將u2代入式（3）可得Dqte2=-μe2e2→0.

將u3代入式（3）可得Dqte3=-μe3， 因而e3→0.

當不在滑模面上運動時， 構造函數V（t）=s2/2， 由引理1， 求分數階導數可得

DqtV（t）≤sDqts=sDqt（e1+e2+e3）=s［（-μe1+y1z1-yz+u1）+（-μe2+z1x1-zx-ae1+u2）+（-x

1y1+xy+u3）］=s［-μ（e1+e2+e3）-ηssgn s］=-（μ+η）s2，

根據引理2可得s→0， 從而滑模面趨近于原點.

以系統（1）為主系統， 設計從系統為

Dqtx1=-μx1+y1z1+u1，Dqty1=-μy1+（z1-a）x1，Dqtz1=1-x1y1+u2，（4）

其中u1，u2為控制器. 定義e1=x1-x， e2=y1-y， e3=z1-z， 可得

Dqte1=-μe1+y1z1-yz+u1，Dqte2=-μe2+z1x1-zx-ae1，Dqte3=-x1y1+xy+u2.（5）

定理2 設計滑模函數s（t）=e1+e3， 2個控制器分別

為u1=yz-y1z1-ηssgn s，u2=x1y1-xy-μe3，

則主從系統（1）和（4）取得滑模同步.

證明： 當在滑模面上運動時， 滿足s=0， 將控制器u1代入式（5）可得Dqte1=-μe1， 因此e1→0.

由s（t）=e1+e3=0e3=-e1e3→0， 根據式（5）第二個方程可得

Dqte2=-μe2+z1x1-zx-ae1，z1x1-zx=（z1x1-z1x）+（z1x-zx）=z1e1+xe3.

由于混沌系統軌跡有界， 且e1，e3→0， 因此z1x1-zx→0， 式（5）第二個方程可寫為Dqte2=-μe2， 從而e2→0.

當不在滑模面上運動時， 構造函數V（t）=s2/2， 由引理1， 求分數階導數可得

DqtV（t）≤sDqts=sDqt（e1+e3）=s［（-μe1+y1z1-yz+u1）+（-x1y1+xy+u2）］=s［-μ（e1+e3）-

ηssgn s］=-（μ+η）s2，

根據引理2可得s→0， 從而滑模面具有可達性和穩定性.

以系統（1）為主系統， 設計從系統為

Dqtx1=-μx1+y1z1，Dqty1=-μy1+（z1-a）x1+u1，Dqtz1=1-x1y1+u2，（6）

其中u1，u2為控制器. 定義e1=x1-x， e2=y1-y， e3=z1-z， 可得

Dqte1=-μe1+y1z1-yz，Dqte2=-μe2+z1x1-zx-ae1+u1，Dqte3=-x1y1+xy+u2.（7）

定理3 設計滑模函數s（t）=e2+e3， 2個控制器分別為

u1=-z1x1+zx+ae1，u2=x1y1-xy-μe3-ηssgn s，

則主從系統（1）和（6）取得滑模同步.

證明： 當在滑模面上運動時， 滿足s=0， 將控制器u1代入式（7）可得Dqte2=-μe2， 因此e2→0.

由s（t）=e2+e3=0e3=-e2e3→0， 根據式（7）第一個方程可得

Dqte1=-μe1+y1z1-yz，y1z1-yz=（y1z1-y1z）+（y1z-yz）=y1e3+ze2，

由于混沌系統軌跡有界， 且e2，e3→0， 因此y1z1-yz→0， 式（7）第一個方程可寫為Dqte1=-μe1， 從而e1→0.

當不在滑模面上運動時， 構造函數V（t）=s2/2， 由引理1， 求分數階導數可得

DqtV（t）≤sDqts=sDqt（e2+e3）=s［（-μe2+z1x1-zx-ae1+u1）+（-x1y1+xy+u2）］=

s［-μ（e2+e3）-ηssgn s］=-（μ+η）s2，

根據引理2可得s→0， 從而分數階Rikitake主從系統取得滑模同步.

3 數值仿真

用MATLAB進行數值仿真， 參數分別為q=0.99， μ=2， a=5. 初始值設為（x（0），y（0），z（0））=（1，2，3）; （x1（0），y1（0），z1（0））=（3，1，1）.

在定理1條件下， 構造滑模函數s（t）=e1+e2+e3， 控制器分別為u1=yz-y1z1， η=2， u2=zx-z1x1+ae1， u3=x1y1-xy-μe3-ηssgn s.

在定理2條件下， 構造滑模函數構造s（t）=e1+e3， 控制器分別為u1=yz-y1z1-ηssgn s， u2=x1y1-xy-μe3， η=1.5.

在定理3條件下， 構造滑模函數s（t）=e2+e3， 控制器分別為u1=-z1x1+zx+ae1， η=1.2， u2=x1y1-xy-μe3-ηssgn s.

定理1、 定理2和定理3的系統誤差曲線分別如圖2～圖4所示. 定理1、 定理2和定理3中加入控制器后的變化曲線分別如圖5～圖7所示.

由圖2～圖7可見， 系統誤差在初始時相差較大， 且距原點較遠， 一段時間后系統誤差逐漸趨近于原點， 表明混沌系統的主從系統取得了滑模同步， 定理3達到同步所需時間比定理1和定理2少， 定理1與定理2達到同步所需時間差別較小， 但定理2比定理1的控制器簡單， 由于定理1需3個控制器， 因此需消耗較大的能量， 定理2，3僅需2個控制器， 因此控制代價小且易實現. 定理1～定理3的控制效果越來越好， 3個定理中控制器對參數η的依賴性越來越弱： 定理1中η=2， 約在0031 5 s后誤差曲線趨于一致； 定理2中η=1.5， 約在0.027 5 s后誤差曲線趨近于原點； 定理3中η=1.2， 約在0.022 5 s后誤差趨近于原點. 將定理2與定理3的控制器進行比較可見： 定理2中約在0.037 5 s后控制器作用消失； 定理3中約在0.018 5 s后控制器作用消失， 控制曲線趨近于原點， 表明系統取得滑模同步.

綜上， 本文根據分數階滑模同步理論， 用3個控制方案研究了分數階Rikitake混沌系統滑模同步， 在定理1中設計的是傳統滑模面， 通過設計3個控制器將誤差系統驅動到坐標原點， 定理2和定理3設計的是新型滑模面， 僅需2個控制器即可使分數階Rikitake混沌系統取得滑模同步. 用MATLAB仿真程序繪制誤差曲線和控制曲線， 并對3個定理進行了對比和分析. 結果表明： 在一定的假設條件下， 分數階Rikitake不確定混沌系統可取得滑模同步.

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（責任編輯： 王 健）