如何在高中數學教學中培養學生的逆向思維

摘 要：逆向思維的培養和形成，既可以加深學生對于數學知識的理解，還可以促進學生學習能力以及創新能力的發展，對于提升學生數學學科素養水平起到了重要的推動作用。但是目前部分高中數學教師都會使用正向思維開展教學，按照因果關系來講解相關的知識點，導致學生很難在學習中進行思維的逆向，難以形成良好的逆向思維。所以，為了更好地提升高中生的數學學習效果，促進學生數學思維的發展，教師應當重視做好學生逆向思維的培養。本文就分別詳細探索如何借助數學概念對比教學、數學公式教學、數學設問教學、數學解題教學來鍛煉學生的逆向思維，并向學生詳細講解各種逆向思維方法，切實提升學生的逆向解題能力。

關鍵詞：高中數學；逆向思維；解題能力；逆向推理

逆向思維是一種執果索因的思維方法，也是重要的數學思維，通過引導學生從原問題的相反方向來思考問題，鍛煉了學生的思維能力，促進學生創新思維的形成。做好學生逆向思維的培養，是高中數學教學改革創新的重要內容，可以有效地解決和彌補傳統教學模式存在的問題和不足，打破學生的思維定勢，促進學生養成新的思維習慣。加強培養學生的逆向思維，能夠引領學生從不同的角度來思考分析問題，形成新的解題思路，提升整體的學習效果。

一、高中數學教學中培養學生逆向思維的意義分析

（一）促進學生問題解決能力的提升

高中數學教學中培養學生的逆向思維，能夠促進學生問題解決能力的提升。因為在培養學生逆向思維時，教師會鼓勵學生從多個不同的角度來分析審視問題，突破傳統思維習慣的限制，搭建新的思維框架，形成新的解題思路，不斷地提升學生的問題解決能力。逆向思維的培養，不僅可以提升學生的數學解題能力，對于推動學生之后的成長也有著重要的作用，可以幫助解決其他生活和學習中遇到的問題，推動學生的全面成長。

（二）促進學生創新思維能力的形成

在高中數學教學中，教師會習慣性使用正常思維開展教學，導致學生形成了一種思維慣性，限制了學生思維的創新發展。而通過采取針對性的措施來培養學生的逆向思維，既可以突破學生的思維限制，還可以鍛煉學生的思維能力，促進了學生的思維發散，更有利于形成創新的思維。逆向思維本就是一種創新性的思想，培養學生的逆向思維，能夠幫助學生改變傳統的思維模式，能夠從不同的角度來分析問題，并提煉出新的觀點，發現新的數學規律，加深對數學知識本質的認識，開拓解題思路，形成了更好的創新創造能力[1]。

二、高中數學教學中培養學生逆向思維的現狀

（一）教學模式過于固化單一

當前高中數學的教學模式存在固化和單一的現象，不利于培養學生的逆向思維。在高中數學教學中，教師會受到慣性思維的深刻影響，會習慣性使用正向思維的教學模式，影響了學生逆向思維的有效形成。在長期的數學教學中，教師都是習慣性地指導學生運用正常的思維來分析解答問題，所以學生在解答數學問題時，也養成了正向思維解答的習慣。此外，高中數學教學中，教師的講課時間較多，學生的自主思考時間不多，不僅難以消化課堂知識，對于知識的理解也不深入，整體的知識水平不高，也會影響逆向思維的形成。由于高中教學直面高考，所以許多教師依然會采用題海戰術，給出大量的題目進行訓練，但是在整個訓練過程中，教師向學生傳遞的解題方法比較單一和固化，學生容易形成固定的解題思維，也會阻礙逆向思維的形成。

（二）學生數學思維能力不高

要培養學生的逆向思維，對于學生的數學思維能力有著一定的要求，但是由于各種原因的綜合影響，當前部分高中生的數學思維能力還有待提升。在實際教學中，部分學生缺少良好的概括反思能力，未能對具有關聯的知識進行概括歸納，也未能做好錯題的概括反思，導致自身的解題能力得不到有效的提升。因為缺少良好的概括反思能力，學生對于數學知識也缺少全面整體的認知，在解題過程中容易出現思路不清晰的現象，會直接阻礙逆向思維的形成[2]。此外，高中數學知識點較多，教學時間較少，如果學生不能在課后對知識進行總結和概括，不能建立完整的知識體系，則會影響對數學知識的整體理解和運用，也不利于形成良好的數學思維。

三、高中數學教學中培養學生逆向思維的有效措施

（一）借助對比教學，促進學生逆向思維的形成

加強數學知識的對比，既可以深化學生對數學知識關系的認識，也可以培養學生的逆向思維。在開展數學概念教學時，教師既要做好正向知識的推理教學，還應當引導學生做好反向知識的推理和思考，引導學生從其他角度來對比分析不同的數學概念，加深對數學概念的認識，也可以形成相關的逆向思維[3]。

以蘇教版高中數學必修一第二章《映射》和第三章《對數函數》教學為例，教師可以引導學生進行數學概念的對比分析，形成逆向思維。在導入“反函數”知識教學時，教師可以引用“函數”的概念來進行對比分析，引導學生從“函數”的角度來反向推理“反函數”的概念、性質以及圖像特點等，鍛煉學生逆向推理能力的同時，也可以加深學生對于“函數”和“反函數”的正確認識。在“映射”教學中，教師可以引導學生進行概念對應屬性的對比分析。在引導學生學習“映射”的概念時，教師可以采用逆向訓練，→

表示集合到集合的映射，此時教師可以要求學生分析探索集合和集合之間的各個元素之間有什么對應關系，既可以加深學生對于“映射”概念的理解，也可以培養學生的逆向思維。通過分析探討集合和集合之間的各個元素之間的對應關系，可以推斷出映射的對應形式，包含一對一和多對一的形式。

（二）借助公式教學，提升學生的逆向推理能力

數學公式是高中數學的重要內容，熟練運用各種數學公式，既可以加深學生對于數學規律的認識，還可以促進學生數學思維能力的提升，促進學生數學解題能力的提高，提升學生的數學學習效果。教師可以借助公式教學來培養學生的逆向推理能力。在開展數學公式教學時，教師不僅要引導學生準確地認識到各個公式符號所代表的含義，引導學生從正向思維來分析數學公式的邏輯關系，還需要引導學生從逆向的角度分析數學公式，切實提升學生的公式靈活運用能力。

以蘇教版高中數學必修五第一章《解三角形》教學為例。教師可以先引導學生進行公式的逆向推理，形成逆向推理意識。在開展正弦定理和余弦定理教學時，教師要引導學生運用逆向思維來進行各種公式的逆向推理，能夠根據正弦公式來逆向推理出余弦公式。教師也可引導學生從和差角的余弦公式反推和差角的正弦公式。教師還需要引導學生進行逆向公式的靈活運用，挖掘出新的解題思路，促進學生數學解題能力的提升。

（三）借助設問教學，拓展學生學習思路和思維

要做好學生逆向思維的培養，教師需要設計具有一定挑戰性的問題，借此來拓寬學生的學習思路，拓展學生的數學思維[4]。教師可以設計一些創新性的問題，調動出學生的探索積極性，并指導學生運用逆向思維來解答問題。

以蘇教版高中數學必修一《函數》一章教學為例，學生學習了各種函數，認識了各種函數的概念、性質和圖像。在開展“反函數”教學時，教師可以設計相關的問題來引導學生深入分析正函數和反函數之間的關系，培養學生的逆向思維。例如，教師可以設計問題“所有函數都有反函數嗎？”“互為反函數的兩個函數之間有什么關系？請從定義域和值域兩個角度進行。”通過設計難度遞增的問題，可以引導學生進一步深入思考分析正函數和反函數之間的差異，既可以提高學生的函數水平，還可以進一步促進學生邏輯思維能力的發展。

（四）借助解題教學，提升學生的逆向解題能力

數學知識的理解以及數學思維的鍛煉，需要通過題目練習來進行鞏固理解，因此在培養學生的逆向思維時，教師應當借助解題教學來提升學生的逆向解題能力，更好地推動學生數學思維的形成和發展[5]。在解題教學中，教師需要引導學生從不同的角度來進行問題分析，并運用不同的解題方法和技巧開展解題，形成創新的解題思路，提升解題效率的同時，也可以促進學生思維能力的發展。目前高中數學的題目難度較大，如果學生依然使用正向的思維習慣來進行解題，依然運用常規的方法進行解答，整體的解題效率較慢，而且還會存在問題，整體的解題質量不高。因此，教師不僅要從解題教學中培養學生的逆向思維，還需要鍛煉學生運用逆向思維方式來解答題目，切實提升學生的解題效率。

以蘇教版必修一“函數”和“命題”相關知識教學為例。教師可以引導學生運用反證法來進行問題的解答，鍛煉學生的逆向思維能力。如在“命題”教學中，在判斷證明命題中的逆否命題是否成立時，學生很難進行準確的判斷，容易判斷錯誤，而通過運用反證的方法，從反方向來分析，并運用反設、歸謬、結論不同的步驟來進行反證，借此來得出問題的答案。針對難度較大的數學題目，教師可以向學生傳遞“正難則反”的解題思想，引導學生從逆向的角度來分析問題，將已知結論作為條件來對問題進行反推，借此來降低解題難度。如在分析二次函數的實數根時，學生可以運用逆向思維進行解答。如題目：方程中，取什么值時，方程的根有至少有一個是正實數。在解答該題目時，學生可以運用逆向思維，先分析當取何值時方程會有兩個負實數根，借此來推斷出問題的答案。

（五）多種方法教學，提升學生的逆向解題能力

高中數學中培養學生逆向思維的方法有很多，包含分析法、反證法、逆推法、反向構造法、問題代入法等，數學教師在課堂上應當向學生傳授各種逆向推理的方法，提升學生的逆向解題能力，提高學生的逆向思維水平。

第一，教師應當加強反證法的教學。反證法作為高中數學逆向思維教學的常用方法，教師需要想辦法營造有趣的課堂氛圍，激發出學生對于反證法的學習興趣。教師可以在教學中引入實際生活中發生的有趣事例，導入反證法教學，加深學生對于反證法思想的認識[6]。例如，教師可以講述《路邊苦李》的故事：王戎通過分析路邊樹上這么多李子沒有被摘，推斷出了李子不甜，經過品嘗證實，李子的確是苦的。通過該故事可以引導學生認識反證的過程，養成反證思維習慣。為了強化學生的反證能力，教師還可以列舉高中數學教學中常見的反證法例題，加強例題講解和練習，培養學生形成反證的思維模式。例如，要求學生用反證法來證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60度的角”。

第二，教師應當做好分析法的教學。分析法也是常見的逆向思維學習方法，能夠強化學生的逆向思維能力，但是學生在運用分析法解題學習時，缺少良好的思維模式。教師要加強指導學生做好分析法思維模式的分析理解，確保學生能夠掌握分析法的論證書寫格式。教師需先引導學生從整體的角度來分析問題的內容，并將問題劃分成多個部分，進行詳細分析研究。為確保假定結論成立的前提，教師需要引導學生分析結論成立的相關條件，并將需證明的問題轉化為題干。教師可以列舉經典的例題進行講解，并進行全面規范的板書教學，確保學生能夠掌握分析法正確的書寫格式。

第三，教師應當做好反例構造法教學。反例構造法主要強調學生運用逆向思維來解決問題，得出更加簡便的解題方法。在運用反例構造法解答問題時，需要學生具備扎實的數學知識基礎，因此教師需要進一步夯實學生的數學基礎知識，確保學生具備良好的數學正向思維，才能引導學生進行正向思維的延伸，進行逆向思維的探究。但是學生在運用反例構造法時，存在著知識運用不熟練，公式運用不熟練等，所以需要加強基礎知識和數學公式的教學。教師需要引導學生做好學習經驗的積累，掌握構造的合適時機，才能熟練地運用反例構造法開展數學解題學習。

第四，教師要做好問題代入法教學。教師可以指導學生運用以果溯因以及反向代入的方法來解答問題，并鍛煉學生的逆向思維。加強數學題目練習是鍛煉學生思維能力和檢驗學生學習成果的重要方式，因此教師應當借助解題教學來鍛煉學生的逆向思維，引導學生進行問題的代入，進行反向驗證，借此來提升解題的準確性。運用問題代入進行反證時，學生需要將計算出來的答案代入題目的問題當中，如果在驗證過程中出現結果不準確或者無法計算的現象，學生還需要在反向驗證中進行題干的轉換，然后再進行驗證。例如，在解答問題：已知，，，請嘗試證明，，是否成立。如果學生運用正向的思維進行解答，很難保證、、均大于0的結論成立，而且整個解題過程較為煩瑣。此時，教師則可以引導學生運用逆向思維進行解答，簡化問題，先假設、、當中其中一個不大于零，然后再反向證明題干的“，，

”是否成立。如果在反向證明過程中，可以得到問題條件相同的證明結論，則說明原結論是成立的。

四、高中數學教學中培養學生逆向思維的具體教學實踐

以蘇教版高中數學選修2-1第二章的《雙曲線》教學為例。

關于培養學生的逆向思維，教師可以將課堂教學分成三方面的內容，分別為生活案例導入、逆向思維方法傳授以及具體數學習題應用。

第一，教師可以先引入生活案例來培養學生的數學思維。導入生活案例進行講解分析，可以迅速地吸引學生的注意力，提高教學效果。具體案例為：假設生活中有一個水缸，水缸的水取之不盡，現在給你一個5升和一個6升的水桶，水桶并沒有具體刻度，你如何從水缸中量出3升的水？如果按照正向思維來分析，由于缺少3升的水桶，不能直接從水缸中量出3升的水。但是學生可以逆向推理，從結果反推過程。結合問題條件，要量出3升的水，則需要從5升的水桶中倒出2升的水，而6升的水桶中可以由4升水和2升水組成。而4升水則需要從5升水桶中倒出1升的水，而6升的水桶中可以由5升水和1升水組成。而目前有5升的水桶。所以通過逆向推理，可以制定以下的逆向推理思維導圖：

所以根據逆向推理，可以將整個過程推算出來，具體如下：

先裝滿5升的水桶，將5升水倒入6升的水桶，此時6升水桶中還有1升水未裝滿。再將5升的水桶裝滿，將其中1升倒入6升的水桶中，此時5升水桶中剩下4升的水。將6升水桶的水倒出來，再將5升水桶中的4升倒入6升水桶中，此時6升水桶還有2升水未裝滿。重新將5升水桶裝滿水，將2升水倒入6升的水桶中，此時5升水桶中還剩下3升的水。通過具體的例題講解，可以讓學生對于逆向思維有了初步的認識。

第二，教師可以向學生詳細講解逆向思維的方法。例如，在具體的數學解題當中，常見的逆向思維方法包含有逆推法、反證法、分析法、反向構造法等。

完成相關逆向方法的普及后，教師則可以進行具體數學題目的講解，進一步加深學生對于逆向解題的認識，培養學生的逆向思維。教師可以結合上述的例題來進行題目的設計，引入數學典故，讓學生用逆向思維來解答韓信分油的問題。具體數學典故如下：

有兩個商人合伙賣油，要將剩下的十斤油平分，但是雙方都沒有帶秤，只有容量分別為十斤、七斤、三斤的油簍各一只，兩人折騰了半天還沒平均分好油，此時韓信經過，并問明原因，思考片刻便想出了分油的方法，請問韓信的分油方法是什么？

結合上述量水的例子，學生可以參考逆向推理的方式來思考解答問題，先進行逆向推理，如圖2所示：

圖2 韓信分油逆向推理思維導圖

根據逆向推理所得，具體的分油辦法為：

先將3斤的油簍中裝滿油，然后倒入10斤的油簍中，重復三次，此時10斤的油簍中有9斤油。再將10斤油簍中的油倒入7斤的油簍，此時7斤的油簍裝滿油，10斤的油簍剩下2斤油。再將7斤油簍中的油倒入3斤的油簍當中，此時3斤的油簍裝滿了油，7斤的油簍還剩下4斤。將3斤油簍中的油全部倒入10斤的油簍中，此時10斤的油簍中一共有5斤油，再將剩下的1斤油倒入7斤的油簍中，此時7斤的油簍中一共有5斤油。

結束語

總而言之，高中數學教學中，教師要做好學生逆向思維的培養，需要認識到當前數學教學存在的不足，結合當前的教學情況來制定不同的教學策略。高中數學教師積極運用對比教學、公式教學、設問教學、解題教學以及逆向數學方法教學，借助各種教學策略來鍛煉學生的逆向思維能力，加深學生對于數學知識、數學規律的認識，并促進學生創新創造思維的形成，促進學生解題能力的提升，更好地提升學生的數學核心素養。

參考文獻

[1]宋玉芳.逆向思維在高中數學解題教學中的應用策略[J].數學學習與研究，2024（10）：56-58.

[2]趙永利.基于逆向思維培養的高中數學教學探索[J].數學學習與研究，2024（5）：29-31.

[3]白強，周琳琳.例談逆向思維在高中數學解題中的應用[J].數理天地（高中版），2023（23）：18-19.

[4]連秋喬.高中數學教學中逆向思維的培養路徑[J].高考，2023（34）：66-68.

[5]徐潔.逆向思維在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2022（11）：67-68.

[6]楊效先.例談逆向思維在高中數學解題中的應用[J].中學生理科應試，2022（2）：5-6.