“生長數學”下平面幾何“輔助線”教學設計

摘" "要：基于“育人味濃、生長性明、思維力強”的生長數學教學理論，提出從“回憶基本結構、尋找基本結構、補全基本結構、構造基本結構”四個層面形成添加輔助線教學設計，形成特定的輔助線結構化作法，并以中點問題為例闡述輔助線的教學設計過程，形成解題經驗，提升學生的推理能力、幾何直觀和空間觀念等數學核心素養.

關鍵詞：生長數學；輔助線；中點問題；數學核心素養

1" “生長數學”的主要特征

江蘇卜以樓老師的“生長數學”教學理論，強調數學教學設計要有“育人味濃、生長性明、思維力強”的特點，堅持打造“前后一致、邏輯連貫、一以貫之”的生阿長性思維模式的數學課堂，著力培養“最近聯想的自然性，貫徹前后一致的必然性，揭示本質貫通的超然性”的思維方式，堅持數學教育要在思維自然、必然、超然中訓練學生的數學思維品質，強調讓學生面對一個“原始問題”，引導學生“怎么想”“怎么想到”“為什么這么想”三個層級進行遞進式深度思考，形成數學思維的“生長鏈”，形成學習和研究數學的一般觀念，有效地發展學生數學核心素養[ 1 ].生長數學理論符合新課標強調數學育人根本任務，實施素質教育的功能，讓學生獲得“四基”，發展“四能”，形成正確的情感、態度與價值觀[ 2 ].

2" “生長數學”下“輔助線”教學設計策略

基于生長數學理論，幾何輔助線教學設計，強調挖掘輔助線的添加是“怎么想”“怎么想到”和“為什么這么想”三個層級，以及解題時的獨立思考意識，嚴謹求實的態度，勇于探索的精神，聚焦濃厚的數學育人味，凸顯數學的獨特育人價值；強調要以各種定義、性質、定理的完整圖形模型為生長點，以組合的條件等隱性的條件信息、不完整圖形模型、構造完整圖形模型為生長節，以構造輔助線的基本原理、基本思想為生長根系，構建明晰的數學生長性，綻放數學的內在生命；強調要精設輔助線的問題鏈，讓學生在猜想、操作、驗證、推理的解題過程中積累活動經驗，基于完整圖形模型產生添加輔助線的思維自然性的思維場，基于不完整圖形模型產生添加輔助線的思維的必然性的傾向，基于數學本質認識與理解產生添加輔助線的思維超然性的意境，不斷強化和優化添加輔助線，彰顯數學思維多樣性，激發數學學習的活力.

基于生長數學理論，對輔助線教學資源進行整合，放大數學教育的價值，凸顯數學的生命力，彰顯數學的生長性，需要控好輔助線教學設計的生長路徑.教學設計可以分成“回憶基本結構、尋找基本結構、補全基本結構和構造基本結構”四個環節和層次進行設計.以八年級復習課“有關中點問題的輔助線”為例.

2.1" 喚醒經驗，回憶基本結構

運用先行組織者策略，通過設計關于輔助線的單一的完整圖形的情境問題，讓學生回顧與當前內容相關的知識，嘗試將新問題與已有的認知結構相匹配，讓學生基于已有經驗主動建構輔助相關知識體系，激活學生長時記憶中的數學概念和原理，通過解決基礎性題目，回憶基本圖形的完整模型的定義性質，并梳理圖形的基本性質和相互關系，圖形與圖形之間的關系和規律，喚醒原有的解題經驗，為后續解題過程提供基礎.

問題1：如果點C是線段AB的中點，那么AC=BC對嗎？如果AC=BC，那么點C是線段AB的中點對嗎？【意圖：回憶與理解中點的定義、性質和判定.】

問題2：哪些圖形中隱含有中點？【意圖：回憶含中點的基本圖形結構.預設：三線合一、斜中定理、中位線、平行四邊形、軸對稱變換等基本圖形.】

問題3：已知點C是線段AB的中點、點F是線段DE的中點.若點C、點F重合，你會聯想到什么圖形？若點A、點D重合，你會聯想到什么圖形？若AB與DE的位置和數量關系特殊化，你又會聯想到什么圖形？【意圖：梳理基本圖形的構成，在運動變換中理解中點的基本圖形.】

2.2" 積累經驗，尋找基本結構

通過設計關于輔助線的復雜的完整圖形問題，引導通過解決基礎性題目，回憶基本圖形的完整模型隱藏的組合圖形，疊加圖形產生新的結論，讓學生逐步深入思考，交流分享解決問題經驗，幫助學生理解復雜圖形中提取基本圖形，不斷積累經驗并嘗試尋找圖形的基本結構，形成輔助線的應用方法和解題策略，積累基本圖形的經驗，有助于提高學生對添加輔助線的模式識別能力，使學生能更快速地找到問題的基本思路.

問題4：如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC邊上的中線，DE是△ABC的中位線，若DE＝3，則BF的長為_____.【意圖：尋找中位線與斜中定理基本結構.】

問題5：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別在AB，AC上，且A，B關于直線DE成軸對稱.若CD＝5，BC＝6，則AE的長為__________.【意圖：尋找斜中定理、軸對稱性質、垂直平分線性質基本結構.】

關于中點問題的知識體系：如圖3.

2.3" 遷移經驗，補全基本結構

通過設計缺乏單一元素的不完整圖形的問題，讓學生應用已有的知識和積累的經驗直接添加輔助線，可以更好地理解和掌握輔助線的應用方法，并能在不同情境下靈活運用所學知識解決問題.在補全基本結構的過程中，學生需要運用遷移能力將已有經驗與新問題相結合，找到解決問題的關鍵.面對較為復雜的數學問題，學生的遷移經驗有助于提高學生的認知靈活性，提高解題效率和準確性.

問題6：如圖4，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN的長為 .

問題7：如圖5，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D是AB的中點，過點D作DE⊥AB交BC的延長線于點E，則CE 的長為__________.

問題8：如圖6，BC⊥AB于點B，AD⊥AB于點A，連接CD，點E是CD的中點，連接AE.若AB＝12，AD＝5，BC＝10，則AE的長為__________.

【問題6、問題7、問題8意圖：只加一條輔助線，補全三線合一、垂直平分線性質、平行與中點構造全等基本結構.】

2.4" 發展經驗，構造基本結構

設計缺乏較多元素、提供較少條件的不完整圖形的問題情境，讓學生從條件的綜合分析和結論結構的分析中，運用所學知識和所遷移的經驗，進行創造性思考，并嘗試構造出數學基本結構解決問題.構造基本結構的過程中，教師應鼓勵學生進行創造性思考，嘗試運用不同的方法和策略解決問題，加深對數學知識的靈活應用，并發展成新的經驗，激發探究欲望和創造力，培養創新精神和創新能力.

問題9：如圖7，點E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點，點F，H分別是AE，BC的中點，連接FH，DE，請判斷FH和DE之間的數量關系，并說明理由.

【意圖：從特殊位置預判FH和DE數量關系，并從DE=2FH的式結構中分析出用截長補短方法，添加多條輔助線，構造全等、中位線、平行四邊形等基本圖形結構.預設截長法，如圖8、9分別利用斜中定理、中位線截長.預設補短法，如圖10利用倍長中線加倍線段長度，如圖11-15分別利用倍長邊線將FH構造成中位線達到加倍線段長度效果，也可以看成分別將E，B，C，D，A為位似中心將FH放大為原來的2倍.】

問題10：將問題9變式，（1）如圖16，如圖17若點E是矩形ABCD的邊BC上一點，其余條件不變，結論還成立嗎？（2）如圖18，若點E是矩形ABCD的邊BC延長線上一點，其余條件不變，結論還成立嗎？【意圖：構造基本圖形結構.結論不變的問題的本質在于，點F的軌跡在△ABE的中位線上運動.】

從以上10個問題，基于線段及其中點即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，可以歸納中點輔助線一般性作法：1.基本作法，中點疊加幾何圖形可以尋找、補形形成基本圖形結構；2.特殊作法，遇到中線，如圖19可以倍長中線構造全等，或如圖20倍長邊線構造中位線，轉化邊角的數量或位置關系.

3" “生長數學”下“輔助線”教學設計反思

3.1" 設計指向育人性

輔助線教學具有較好的育人價值，添加輔助線需要學生基于理解輔助線的基本結構和一般原理，實事求是，勇于創新，嘗試不同的解題策略，培養創新思維；需要學生在實踐中操作，掌握總結歸納輔助線一般方法，找到有效的解題路徑，從而獲得成功的體驗，提升自信心；需要學生掌握輔助線方法時，還要有觀察力、聯想力、分析力、推理力等能力，有利于促進學生全面發展，為未來的學習和生活打下堅實的基礎.如本例中，學生需充分理解線段及中點的軸對稱性及中心對稱性的數學本質，可以疊加圖形進行補形或組合三角形進行全等的構造，通過補形與構造的經驗積累、遷移與發展，從程序性知識向策略性知識轉化，將重視數學知識向重視數學思想轉化.

3.2" 設計指向生長性

基于學生的經驗從喚醒、積累、遷移到發展的過程進行教學設計，符合學生認知思維特征的發展.基于幾何基本圖形結構從回憶、尋找基本結構低階思維到補全、構造基本結構高階思維，體現思維的生長性.探尋證明添線方法的本質，從單元整體的角度規劃，可以有效構建添線思維[ 3 ].規劃輔助線單元整體教學，遵循以上四個層次設計，并分課時規劃，如線段及中點、角及平分線、三角形、平移翻折旋轉變換、四邊形、圓等課時來設計，讓學生從課時到單元整體，或者從借助基本圖形添輔助線到借助圖形運動添輔助線來設計，讓學生形成添線的經驗的生長[ 4 ] .

3.3" 設計指向思維力

輔助線的教學設計，通過設置認知思維的矛盾問題，引導學生進行分析與綜合、比較與分類，激發學生的思維生長的動力.輔助線的添加形成的完整的圖形，有助于學生更直觀地理解幾何圖形的性質和關系，把握問題本質，明晰思維路徑，感悟幾何的研究價值，逐步形成空間觀念和幾何直觀.從“想得到”“想得好”到“想得妙”地進行幾何輔助線的添加，讓學生的思維從自然性、必然性到超然性的發展，有效地提高學生的思維的敏捷性、深刻性、批判性和創新性.如本例中，問題1的中點判定問題，制造思維矛盾提升批判性思維；問題9的設置可以一題多解，從不同角度，分類解決，提升思維的敏捷性和深刻性；問題10的變式設置，挖掘數學的本質，強化解決問題貫通的思考方式.

4" 總結

總之，遵循“回憶、尋找、補全、構造基本結構”四個層次，基于“生長數學”教學理論，合理、科學、高效地進行“輔助線”教學設計，讓學生更加自然地獲得“知識、技能、方法、經驗”向上生長的力量，獲得“價值觀念、情感態度、意志品格、思維素養”向下生長力量，讓數學教學與學生生命成長相得益彰[ 1 ].

參考文獻：

［1］ 卜以樓.生長數學教學概論[M].西安：陜西師范大學出版總社，2022：1-2.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：2-5.

［3］ 劉倩伊.從單元整體走進追本溯源：以滬教版八年級“借助圖形運動思想添輔助線”一課為例[J].初中數學教與學，2021（2）：9-12.

［4］ 薛金星.怎樣解題：初中平面幾何添加輔助線的方法與技巧[M].北京：教育出版社，2009：1-2.