基于數學運算核心素養培養的高中學業水平考試試題分析與教學啟示

摘 要：數學運算素養是數學學科核心素養的重要組成部分，考試是考查學生數學運算素養的方式之一。本文以2020—2023年廣西高中學業水平考試數學試卷為研究對象，深入分析“三新”改革背景下高中學業水平考試數學試題設計的變化，明確“素養立意”背景下高中學業水平考試數學試題設計思路。根據試題分析，在日常教學實踐中，高中數學教師可以通過數學運算素養水平分層與情境教學融合、數學運算素養水平分層與單元教學融合，切實提高課堂教學質量，促進學生數學運算核心素養的全面提升。

關鍵詞：高中學業水平考試；數學運算；核心素養；教學啟示

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0004-06

從2021年秋季學期起，廣西高中學段全部使用新教材，2024年新高考在廣西平穩落地。在新教材、新課標、新高考（“三新”）改革背景下，廣西普通高中學業水平考試也在2022年秋季學期更名為廣西普通高中學業水平合格性考試（以下簡稱學考）。學考的核心目標在于引導高中生達到今后學習和發展所必備的智力水平、思考深度，并養成良好的思維習慣和科學態度。學考數學試題的設計依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱高中數學課標），圍繞學生應具備的六大核心素養進行安排，考查內容主要來自高中數學教材必修1、2，確保試題內容與學業質量水平要求相匹配［1］。

為了順應時代發展，高中數學課標對“數學運算”這一素養的要求進行了重新界定，從核心素養培養角度出發明確指出：數學運算素養是學生在清晰理解運算對象的基礎上，根據運算法則解決數學問題的能力。數學運算素養是指包括理解運算對象、掌握運算法則、探索運算思路，選擇適當的運算方法、設計合理的運算程序，最終求得準確運算結果的一種綜合能力。數學運算素養的提升，有助于學生數學思維的進階，有利于學生養成多維思考的良好習慣，形成嚴謹認真、實事求是的研究作風。

一、2020—2023年廣西高中數學學業水平考試試題設計的變化

鑒于學考是基于課程標準的統一考試，且考查內容具有綜合性特點，因此在命題設計時需堅持整體設計觀念，綜合考慮試題的分值、題型、題量及評分標準，以期實現全方位、多層次的學業水平考查目標。2021年是學考的“分水嶺”：在此之前，廣西高中學業水平考試的成績劃分A、B、C、D、E五個等級；在此之后，隨著新課程改革的推進，廣西高中學業水平考試更名為廣西高中學業水平合格性考試，成績不再劃分等級，只設置合格與不合格兩種結果。

為了科學分析近年來學考數學試題的變化，筆者以2020—2023年廣西學考數學試卷為研究對象，進行了較為深入的分析（如下頁表1所示）。在保持試卷總分值（100分）和測試時長（90分鐘）不變的前提下，從表1可知，在“三新”改革背景下學考數學試題設計做到了與時俱進。2020年、2021年及以前的學考數學試題的選擇題部分沒有多選題，只設計單選題30題，總分為60分。2021年學考數學試題中填空題數量比2020年多了1題，但填空題總分減少了2分；同時解答題數量少了1題，解答題的總分值卻增加了2分。2022年學考數學試題中，單選題比2021年減少了4題，調整為26題，新增了多選題2題、填空題4題和解答題3題，試卷題型結構更合理。2023年學考數學試題中，解答題由2021年以前的4題調整為3題，試卷的試題總數也減少了3題，調整為35題。同時，多選題的多級得分模式有助于提高考生的得分率，有利于區分出高能力考生；減少單選題，合理增加多選題，有助于提高試卷整體測量信度。上述調整是基于多年的考試實踐分析，旨在不斷優化試卷題型結構。

廣西新高考采用“3+1+2”模式，其中：統一高考科目包括語文、數學和外語，每科滿分為150分；選擇性考試科目包括物理、歷史（任選一門）和化學、生物學、思想政治、地理（任選兩門），每科滿分為100分。在這一改革背景下，2024年廣西新高考數學試題的單選題由往年的12題減少至8題，新增了3道多選題；填空題由往年的4題減少至3題；解答題由往年的6題減少至5題；總題數由往年的22題減少至19題。這樣的試題變化體現了“雙減”背景下學考數學試題設計理念的與時俱進，目的是引導學生重視概念、公式、定理等基本內容的理解與掌握，以期杜絕偏題、怪題，從而進一步落實“雙減”政策。

同時，學考數學試題設計積極踐行新課改理念，強化對六大數學核心素養的考核，與《中國高考評價體系》要求及高考試題結構變化相契合，有力踐行了能力導向、素養為本的試題設計理念，有力促進了學生核心素養的發展。如2022年學考數學試題的32題，在設計具體問題背景時隱性地考查了學生掌握解三角形問題相關概念、特性的情況。解答這道題，學生只有抽象出具體的三角形及給出的邊、角條件，綜合運用三角函數的概念和正弦定理才能求解。這是一道考查學生綜合處理數學問題能力的試題，涉及了邏輯推理、數學運算和數學建模等數學核心素養。與新高考不同的是，學考是非選拔性考試，它需全面考量廣西全區高中生的實際狀況，因而學考試題呈現出顯著的基礎性特征。學生若能扎實掌握教材中的基礎性知識，便能在學考中取得合格的成績。學考試題的區分度較低，不能很好地作為高等學校普通本科招生錄取依據，這是學考與高考的顯著區別所在。目前，我國普通高中學考制度尚處于實踐探索、逐步完善的階段，如廣西制定了《廣西普通高中學業水平考試實施辦法》，明確了合格性考試和選擇性考試的區別，以及闡明了如何將學考成績納入高考成績。這些改革措施旨在促進學生全面發展，避免學生偏科，并為高校招生提供全面的學生評價數據。然而，如何合理把握學考成績與學生高考、畢業掛鉤的度，以及如何科學地運用學考成績進行教學反饋和質量監測，仍然是需要進一步探索和解決的問題。相信通過政府、學校、教師等各方通力合作并不斷探索，普通高中學考改革會逐步解決這些問題，實現以學考促高考，以及普通高中學考改革的預期目標。

二、素養立意下學考數學試題設計分析

筆者以新課程標準發布后4年的學考試卷，即2020—2021年廣西普通高中數學學業水平考試與2022—2023年廣西普通高中數學學業水平合格性考試的數學試卷作為研究對象，分析學考數學試卷怎樣考查數學運算核心素養，如何設計相關試題。

（一）確定核心素養考查分值標準

數學學科核心素養具有整體性，六大核心素養相互交融、相互影響。為了對學考數學試卷進行科學的數據分析，筆者依據教育評價改革要求和數學學科核心素養的內涵，構建并優化核心素養評價指標體系及其權重。在學考數學試題中，部分試題具有較強的綜合性，在一道題目中考查多個核心素養。統計時，筆者根據題目對數學核心素養考查的數量，將題目總分細分成若干個分數段，進行相應的統計分析（如表2所示）。

下面，筆者以3道試題為例對素養考查權重設計進行闡述。

例1 （2023年學考第25題）對數函數y=log2x的圖像經過點（" ）。

A.（1，0）" B.（3，0）" C.（5，0）" D.（7，0）

這道試題主要考查學生從相關試題的具體情境中抽象出曲線方程與方程曲線的概念，考查學生的數學抽象素養和數學運算素養，同時學生需要正確運用對數運算法則才能正確完成此題。本題分值為2分，其中數學抽象素養賦值1分、數學運算素養賦值1分。

例2 （2022年學考第31題）某中學計劃在勞動實習基地的空地上用籬笆圍出一塊面積為144m2的矩形菜地，則需要的籬笆長度至少是" " "m。

本題從生活情境中抽象出數學符號矩形的長和寬，涉及面積與周長之間存在邏輯關系，題目分值為3分，解答這道題學生需要運用不等式的基本知識。厘清題中各數據的邏輯關系是解答本題的關鍵，因此該題的素養權重分值為數學抽象素養1分、邏輯推理素養2分。

例3 （2023年學考第35題）已知向量[a]=（cosωx，sinωx），[b]=（1，1），記f（x）=[a]·[b]。

（1）若ω=2，[a]⊥[b]，求x的值的集合；

（2）已知ω＞0，若函數f（x）在區間（-ω，ω）上單調遞增，且函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為（[-π2]，0），求ω的值。

設計此題目的是綜合考查三角函數與向量數量積的基本知識和方法。第（1）題分值為4分，要想正確解題，學生需要理解并熟練運用向量數量積坐標公式、輔助角公式、三角方程等知識，因此，第（1）題的素養考查權重為數學運算素養2分、邏輯推理素養2分。與第（1）題相比，解答第（2）題需要從題目給出的關系式中挖掘與ω相關的隱含條件，抽象出數量關系和問題本質，抽象出的條件及關系是解題中常用的坐標間數量關系。在解題過程中，學生還需要綜合運用知識設計合理的運算途徑和推理，各素養之間相輔相成，沒有明顯的主次之分。所以，第（2）題的素養考查權重為數學抽象素養2分、數學運算素養2分、邏輯推理素養2分。

（二）數學核心素養權重分析

通過對2020—2023年廣西學考數學試題所涉及的數學核心素養權重進行分析，筆者發現：在考試評價中，邏輯推理素養、數學運算素養的考查權重最高，其次是數學抽象素養、直觀想象素養，而數學建模素養、數據分析素養則相對較少被考查。依據上述賦分的方法，筆者對2020—2023年的學考數學試卷中所有題目進行素養分值標定，得到了各年份試卷對應的數學核心素養權重表，其權重值依據各素養分值在試卷總分值中所占比例精確計算得出。隨后筆者根據相關數據繪制了4年學考試卷中數學核心素養權重分布折線圖（如圖1所示），由圖可以直觀分析結論。

由圖1可知，廣西學考試題中各項數學核心素養占比大體穩定，僅在2021年有稍大波動。近4年，廣西學考試題中各項核心素養的分布并非均勻，主要側重于考查數學運算素養與邏輯推理素養。其中，數學運算素養的考查占比最大，平均權重達到了36.25%；邏輯推理素養次之，平均權重達27.25%，且兩者出現此消彼長的現象。其他素養考查平均權重排序由高到低依次為：直觀想象（13.50%）、數學抽象（13.00%）、數據分析（6.00%）、數學建模（4.00%）。數學運算素養平均權重最高，原因在于試卷中涉及基礎知識的題目多是通過單一的公式和法則考查學生的運算能力。而命制綜合性試題時也都會涉及大量且復雜的運算，數學運算作為一種特殊的演繹推理，是處理數學問題，得到正確結果的基本途徑［2］。同時在考查邏輯思維時，也經常與數學運算結合考查，通過具體的計算推導或證明得出問題的結論。因此，數學運算素養的考查貫穿整份試卷。

數學建模素養的考查權重相對較低，2022—2023年，數學抽象素養與數據分析素養考查權重呈現出較為平穩的趨勢而略有波動，直觀想象素養則呈現出上升的趨勢。數據分析素養的總體平均權重小，這主要是因為考查數據分析素養的題目僅限于概率模型和統計知識領域，且這些題目的解題過程中還涉及其他多種素養，而其他素養的考查題目則很少涉及數據分析。數學建模素養和數學抽象素養關系密切，但其權重低于數學抽象素養所占權重，這是由于數學建模包含抽象的過程且只出現在有實際背景的應用問題中，而非數學建模問題中也包含數學抽象素養。盡管數學建模素養的比重較低，但它卻能夠有效地測試考生對數學知識的遷移能力和創新能力。整體來看，4套試題對核心素養的考查呈現出清晰的層次，主次分明，數學運算素養與邏輯推理素養是數學試題的主要考查內容。

（三）數學運算素養水平層次框架結構

SOLO分類理論是通過等級描述分析學習者思維特征的質性評價方法，可以顯化學生在解決問題過程中的認知發展、能力運用與思維操作等水平。數學運算素養水平層次評價框架以基礎性（水平一C1）、綜合性（水平二C2）、應用性（水平三C3）和創新型（水平四C4）這4個水平的考查要求為依據，從不同水平考查要求的試題內涵、SOLO層次劃分和水平特征幾個方面進行構建［3］。由于“四翼”考查與SOLO思維層次及水平特征在基本思想上一致，筆者從試題設計情境、學生認知水平、解決問題所需的能力與思維操作等要素，將試題難度對應解析劃分為U、M、R、E 4個SOLO層次水平，構建了數學運算素養水平評價框架（如表3所示）。

（四）數學運算素養水平層次分析

依據表1計分標準，以及參照表3數學運算素養水平層次評價框架，筆者統計出近4年廣西學考試題對該素養水平的考查分值。為更直觀地分析2020—2023年學考數學試題對該素養水平的考查情況，筆者繪制了柱狀圖，如圖2所示。從圖2可知，從基礎的單點結構水平層次到相對高階思維水平的抽象拓展（E1）結構水平層次［4］，2020—2023年廣西學考數學試卷的SOLO結構水平層次均有所涉及，其中沒有考查抽象拓展（E2）層次，對數學運算素養水平各層次的考查也相對穩定，分值未出現較大波動。

試卷重點考查學生的數學運算素養水平，其分值占總分值的83.66%。單點結構水平（U）試題比重高于多點結構水平（M），有效檢驗了學生對孤立知識點的掌握，強化了對基礎知識的考查，擴大了對主干知識的考查范圍。對關聯結構水平（R）和抽象擴展結構水平（E1）的考查較少，分值較低，見出這兩個水平的考查相對薄弱；這兩種運算水平的考查主要落在解答試題的過程中，能體現學考試題設計的梯度，試題的設計理念與學考以檢測各地學生整體知識水平和學生高中畢業應達到的水平為考查目的的要求一致。

從上述分析可以得出這樣的結論：作為連接高考的橋梁，學考要主動對接國家課程標準，數學運算水平二的試題，應聚焦于關聯結構層次，以檢驗學生運用特定情境素材解決數學難題的能力，從而鮮明地展現新課程的核心理念；數學運算水平三的抽象擴展結構層次的試題，應提高試卷難度與區分度，在學考試題中要有適當的體現。通過分析2020—2023年的學考試卷，筆者發現數學運算的三個水平層次分值比例平均為21∶2∶2。然而，學生在答題中，水平一的答題情況不是十分理想。學考主要考查基礎知識，由于師生對學考的重視程度不足，尤其是對每道題目所考查的數學核心素養及其在不同水平層次的劃分缺乏深入的研究，測試試題主要是憑借經驗和集體打磨完成，所以出現了上述問題。

三、數學運算素養水平分層考查對現實教學的啟示

（一）數學運算素養水平分層與情境教學融合，有效提升學生的數學運算素養

通過分析2020—2023年學考數學試卷對數學運算素養水平的考查情況，教師在教學過程中可以積極采用情境教學法，注重培養學生的數學閱讀能力，發展學生的數學思維能力。在教學中，教師可以創設既是學生熟悉的，又具有一定復雜性，符合不同層次考查水平的教學情境，引導學生先明確研究對象，激發學生學習積極性，然后再確定運算對象并選擇合適的方法求解，從而有效培養學生在面對數學問題時不被繁難的運算和混淆公式困擾的能力。這對提高課堂效率，提高學生的數學運算素養培養有很重要的作用。下面，筆者以北師大版高中數學選擇性必修第一冊“橢圓”知識為例，探討教師在教學中設計不同情境的例題對提升學生數學運算素養的作用。

例1 已知兩個定點A（-2，0），B（2，0），動點P滿足直線PA和直線PB的斜率乘積為[-12]，求點P的軌跡方程。

此題是學生較為熟悉的情境，教師在教學過程中可以引導學生閱讀例題，從提問中確定本題的研究對象是“點P的軌跡方程”。隨后，教師需要預設一個方程，使學生明確運算對象為kPA·kPB=[-12]。在確定研究對象和運算對象后，教師可以組織學生運用斜率公式k=[y2-y1x2-x1]代入運算對象[yx+2]·[yx-2]=[-12]進行解題，得到點P的軌跡方程為[x24]+[y22]=1（x≠±2）。這樣能夠有效強化學生在問題解決過程中的目標意識和針對性。在進行總結時，教師還應使學生清晰認識到本題數學運算層次屬于基礎性C1中的多元結構水平。在解題過程中，大部分學生沒有在求出點P的軌跡方程后去掉x≠±2。也就是說，對于點P與點A、B不能重合的隱含條件學生基本上沒有發現。此時，教師需要引導學生從數學運算的角度來看這個問題，需要注意方程[yx+2]·[yx-2]=[-12]在進行等價變形時分式的分母不為零，并由此得到正確答案。這樣能夠有效提高學生對運算性質的理解，讓學生非常自然地找到解決解題粗心的辦法，感受運算法則在解決實際問題中的便捷性，有助于提升數學運算素養和提高運算的準確率。

例2 已知動圓P過點A（1，0），且與圓C：（x+1）2+y2=16內切，求點P的軌跡方程。

此題與例1的研究對象都是點P的軌跡方程，但例2的例題情境較復雜，學生由于難以快速識別運算對象，因此容易產生畏難情緒。針對這樣的學情，教師在教學過程中要帶領學生反復閱讀例題。從閱讀“動圓P過點A（1，0）”中，抽象出數學符號表示|PA|=r①；從閱讀“動圓P與圓C：（x+1）2+y2=16內切”中，抽象出數學符號表示|PC|=4-r②。在此基礎上，教師要引導學生明確第一個運算對象為①、②方程消參數r的運算，由①+②得方程|PA|+|PC|=4＞2。這一方程表示動點P的運動軌跡是以定點A、C為焦點，焦距為2、長軸長為4的橢圓。隨后，教師要進一步引導學生明確第二個運算對象為b2=a2-c2，得到點P的軌跡方程為[x24]+[y23]=1。在總結時，教師要讓學生明白此題數學運算層次是綜合C2中的關聯結構水平，通過有機結合數學運算得到方程|PA|+|PC|=4＞2即橢圓定義的數學符號表示，從而突破本題的難點，也突出數學運算是特殊的邏輯推理，讓學生明白通過數學運算能驗證簡單的數學結論。在教學中，教師要注重培養學生的數學思維能力，引導學生從實際問題出發，自主探索、發現問題并總結方法，讓學生深刻體會數學運算是解決問題的一種重要方法，授學生以漁，切實提高學生的數學運算素養。

（二）數學運算素養水平分層與單元教學融合，有效提升學生的數學運算素養

根據對2020年全國高考乙卷與2021—2023年新高考Ⅱ卷的比較研究，筆者發現新高考更加注重核心素養的考查。相較于舊教材注重考查知識，新教材在數學核心素養考查權重上有了顯著變化。所以，筆者通過單元教學關注知識的前后銜接，為學生歸納單元知識點、總結運算經驗，引導學生自主探究解題思路、明確運算路徑，注重培養學生的核心素養，從而提升教學的有效性。下面，筆者以北師大版高中數學必修第二冊第四章“三角恒等變換”為例，探索在單元教學中數學運算素養水平分層對提升學生數學運算素養的作用。

在教材第一章，學生已學習了三角函數相關知識；在第二章，學生已學習了平面向量相關知識。而在本章，學生將運用三角函數定義推導出三角恒等變換的第一類公式：同角三角函數的基本公式sin2x+cos2x=1和[sinxcosx]=tanx，然后運用向量的方法推導出三角恒等變換的第二類公式——兩角差的余弦公式，進而得到兩個角的三角函數公式Cα±β，Sα±β，Tα±β，C2α，S2α，T2α，為今后研究數學問題提供重要運算工具。在教學中，學生對基礎數學概念和運算符號的記憶與應用是培養學生數學運算技能的基礎，這符合數學基本概念素養和數學運算素養的培養要求。學生需要掌握整數加減乘除的運算方法，并能夠對分數、小數進行運算。這對應于新課程標準中單一結構水平或多元結構水平，滿足了水平一的基本要求。在教學中，學生對公式的逆應用以及對多個公式的有機結合應用，是培育學生數學運算綜合能力的關鍵環節，它們屬于C2關聯結構水平，契合新課程標準水平二的要求，是提升學生思維能力和解決問題能力的途徑。教師通過對三角恒等變換公式的數學運算層次進行劃分，使其在教學時能根據新課程標準的要求與學生實際情況精準地引導學生理順解題思路、明確運算路徑，從而提高學生的學習主動性和數學運算能力。

例3 求函數f（x）=cos[x2-π6]-sin[x2-π6]的單調遞增區間。

首先，教師要引導學生回憶舊知——函數f（x）=Acos（ωx+φ）單調區間的求法。然后，教師要讓學生自主探究該題函數解析式是否能通過三角恒等變換轉化為f（x）=Acos（ωx+φ）形式再求解。學生有了解題思路后就會自然思考選擇合適的三角恒等變形第二類公式進行數學運算。在此解題過程中，有一部分學生先用兩角差的正余弦公式展開再合并同類項，然后逆用兩角差的公式（輔助角公式）完成等價變形。學生在合并同類項時得到式子[1-32sinx2]+[1+32cosx2]。因為正余弦函數前的系數太復雜，雖然學生知道用輔助角公式可以變形成果，但大部分學生都可能因計算不下去而放棄此題；也有一部分學生觀察到可以把[x2-π6]看成一個角。此題的第一步運算就是輔助角公式的應用得式子[2cosx2+π12]順利得到正確的等價變形，學生再應用三角函數性質得出不等式2kπ+π≤[x2+π12]≤2kπ+2π，k∈Z，從而計算出函數的單調遞增區間。教學中，教師要通過梳理解題思路，明確運算路徑，引導學生選擇合適的計算路徑，確保學生在整個解題過程中條理清晰、邏輯明確，不會在解題時出錯。這樣既有助于學生養成良好的數學運算素養，也可以培養學生系統思考和解決問題的能力。

總而言之，通過對學考試題中數學運算素養水平分層命題設計的研究，可以發揮學考在中學教學質量監測和評估中的重要作用，能科學、有效地提升教師教學水平，提升高中生的數學運算素養，對推動高中數學教學改革有積極作用。

參考文獻

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2022年度專項課題“在高中學考中有效考查數學運算核心素養的命題設計與研究”（2022ZJY2334）的研究成果。

（責編 蒙秀溪）

作者簡介：周小英，1975年生，桂林靈川人，本科，正高級教師，主要研究方向為中學數學教育；成冬元，1972年生，湖南湘鄉人，碩士研究生，正高級教師，主要研究方向為中學數學教育。