初中數學解題中的類比法應用研究

【摘要】數學具有抽象性和邏輯嚴密性，學生在面對與現實生活聯系不顯著的數學概念時，常面臨應用難題.本文圍繞結構化類比、跨學科類比等方法展開探討，幫助學生在數學問題解決過程中形成深刻理解，促進學生發展創新解題策略.教師在設計課程和教學活動時應重視引入類比法，促進學生鞏固學習內容、形成堅實的知識結構.

【關鍵詞】初中數學；類比法；解題方法

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中強調，初中階段應發展學生核心數學素養，特利用歸納和類比法幫助學生探索數學關系、規律，形成猜想、驗證命題.結構化類比與跨學科類比等高階思維技巧能夠激發學生的數學思維活力，使學生可以更深入地理解數學概念之間的內在聯系，從而提升解決復雜問題的效率.

1"結構化類比

初中學生對解題公式和定理存在孤立認知，較難洞察不同題目間的本質聯系，從而在遇到復雜問題時顯得無力.實質上，盡管數學題目表現形式多樣，其結構和解題邏輯卻存在一致性，因此教師和學生應更加關注于題型的內在規律與結構.結構化類比法使學生能從已解決問題的基本構成中提取關鍵元素，進而運用這些元素來構建未知問題的解決策略，若能將解題思維建立在結構類比基礎之上，學生便可將已熟悉的題型作為解決新題目的框架，攻克數學難題.

例1"如圖1所示，一圓柱形飲料罐的底面半徑為6，高度為8.罐頂中心點有一個小孔，不考慮罐壁厚度和小孔尺寸，直接插至罐底的吸管在罐內部分a的長度x范圍是（""）

（A）8≤x≤10. """（B）8≤x≤13.

（C）6≤x≤8. （D）6≤x≤10.

解析"如果吸管直接垂直插入至飲料罐的底部正中心，那么吸管在罐內的長度最短，恰好為8.然而，當吸管以斜角插入罐內，并且一端接觸到罐底的邊緣時，吸管的長度將達到最大值.在這種情況下，罐的底面半徑與罐的高度構成直角三角形的兩條直角邊，而吸管本身則是斜邊，因此可以利用勾股定理來計算吸管在罐內的最大可能長度.根據勾股定理，斜邊的長度等于兩直角邊長度的平方和的平方根.具體計算如下：罐的底面半徑為6，高度為8，代入勾股定理公式x=√62+82=10，計算得出斜邊（即吸管的最長可能長度）為10.綜上所述，吸管在罐內的長度至少為8，最多為10.因此，正確的選項為（A）.

2"跨學科類比

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》可知，當前教育鼓勵在數學課程中融入跨學科主題活動，旨在激發學生運用數學知識解決實際問題的能力，并促進其對不同學科的知識遷移.在此過程中，教師可指導學生使用類比法，鼓勵學生跳出傳統的數學框架，將數學概念與非數學情境相聯系，并利用這些聯系來構建新穎的解題策略.

例2"將一個物體從地面垂直向上拋出，已知其起始速度為25m/s，2秒后速度減至5m/s.若物體速度v（m/s）是時間t（s）的一次函數，請回答問題：

（1）描述物體速度v（m/s）與時間t（s）關系的一次函數表達式；

（2）計算物體達到最高點的時間（此時速度為0 m/s）.

解析"（1）設v=kt+b（k≠0），

代入（0，25）（2，5）可得25=0+b5=2k+b，

解得b=25k=－10，

所以，v=－10t+25.

（2）求解物體速度為0的時間點，即v=0，

代入v=－10t+25，

解得t=2.5.

所以，物體到達最高點的時間為2.5s.

本題將數學元素與物理元素進行類比，利用了物理中的平均速度測量原理，在平拋運動條件下建立速度與時間的函數關系，即v=kt+b（k≠0）.物體起始時的速度為25 m/s，意味著當t =0時v=25，由此可以確定常數項b =25.在2秒后物體速度減至5 m/s，可建立方程5=2k+25，從而求解出k=-10.根據v=-10t+25，求解物體速度為0的時間點，即v=0，解得t=2.5.通過此跨學科類比過程，可以將兩個看似不同但實質上具有相同數學結構的問題聯系起來，培養學生跨學科思維.

3"“數形”類比

數形結合允許學生將抽象的數學概念（“數”）轉化為直觀的圖形表示（“形”），或者反之，通過圖形來理解和解決數學問題，此種轉換使問題易于理解，同時能夠提高解題的效率.在利用“數形”類比解題時可以繪制圖形，將給定數學問題中的條件和變量直觀化，幫助學生更清楚地識別解題路徑.

例3"小明和小偉在一條150米的直線跑道上鍛煉跑步，兩人計劃從跑道的兩端同時向對方跑去，小明的速度是4米/秒，而小偉的速度是6米/秒.請計算他們需要多少秒鐘后才能在跑道上相遇.

解析"作圖如圖2.

設兩人在x秒后相遇，根據題意可得方程

（4+6）x=150.

解方程可得10x=150，

x=15.

單靠文字描述去分析此類問題，學生容易將其與一元一次方程的標準應用場景混淆，在這種情境下，文字信息的抽象性可能導致解題思路偏誤.利用“數形”類比將問題視覺化，繪制小明和小偉的跑動路徑來直觀展示其運動關系，使得等量關系更加明確，學生可以更清楚地看到各個變量之間的關系，在具體與抽象之間建立直觀聯系，從而在數學學習過程中形成更為全面的思維模式.

4"結語

綜上所述，類比法是解題的工具，能夠培養學生思維靈活性.其中，結構化類比幫助學生從熟悉的題型中提取解題元素，為解決新問題構建可靠框架，跨學科類比則擴展了數學學習的廣度，讓學生能夠深化對概念的理解.數形類比將抽象數學問題具象化，幫助學生直觀掌握題中的條件關系，提升學生解題效率.合理運用類比法有助于培養學生深入、靈活的數學思維，為其日后更高層次的學習奠定基礎.

參考文獻：

[1]莫天才.初中數學中類比思想的應用分析[J].新課程教學（電子版），2024（05）：122-124.

[2]王長麗.類比法在初中數學解題中的應用技巧[J].中學課程輔導，2023（14）：93-95.

[3]耿廣基.類比中獲新知 應用中顯能力 ——從初中數學類比解題法談起[J].數學之友，2023，37（05）：46-48+52.

[4]唐美依.“類比法”讓初中數學解題教學提質增效[J].數學之友，2022，36（23）：16-17.

[5]賀湘雲，賴冬梅.類比法在初中數學教學中的應用[J].學周刊，2022（35）：61-63.