基于費曼學習法的“數學分析”課堂教學改革研究

摘"要：“數學分析”課程具有內涵豐富、知識點多，邏輯抽象等特點，這使得該課程往往出現課堂容量大、教學難度高、學生理解能力差、注意力不集中等現象。因此“教師如何教好”和“學生怎么學好”這門課成為任課教師需要解決的問題。鑒于費曼學習法的優點，探究將該方法應用于“數學分析”課程教學改革的可行性及面臨的困難。提出基于費曼學習法的“數學分析”課堂教學改革具體策略，即轉變教學觀念，構建“問題—探究”形式的以教促學模式，利用新教育技術，整合教學資源，創新教學管理方法，建立“數學分析”課堂學生“教”的激勵與考核機制。

關鍵詞：數學分析；費曼學習法；因材施教；教學改革

中圖分類號：G642；G420""文獻標識碼：A

Research"on"Teaching"Reform"of

Mathematical"Analysis"Course"Based"on"Feynman"Learning"Method

Yu"Qiang

Shanxi"Normal"University，School"of"Mathematics"and"Computer"Science"ShanxiTaiyuannbsp;030032

Abstract：The"course"of"\"Mathematical"Analysis\""has"rich"connotations，multiple"knowledge"points，and"abstract"logic，which"often"leads"to"phenomena"such"as"large"classroom"capacity，high"teaching"difficulty，poor"student"understanding，and"frequent"distraction.Therefore，the"questions"of"\"how"teachers"can"teach"well\""and"\"how"students"can"learn"well\""have"become"longstanding"difficulties"for"the"teachers"of"this"course.Given"the"advantages"of"the"Feynman"learning"method，this"article"explores"the"feasibility"and"difficulties"of"applying"this"method"to"the"teaching"reform"of"mathematical"analysis"courses.We"propose"a"specific"strategy"for"the"reform"of"mathematical"analysis"classroom"teaching"based"on"the"Feynman"learning"method，which"is"to"change"teaching"concepts，construct"a"teaching"promotion"model"with"\"problem"exploration\""as"the"main"axis，use"new"educational"technologies，integrate"teaching"resources，innovate"teaching"management"methods，and"establish"a"motivation"and"assessment"mechanism"for"students"to"\"teach\""in"the"mathematical"analysis.

Keywords：Mathematical"analysis；Feynman"learning"method；Teaching"reform；teaching"model

作為數學專業最重要的基礎課，“數學分析”既在數學專業中具有舉足輕重的地位，也是其他理工科專業開展后續研究工作的基礎。當前“數學分析”的概念、方法、理論等已經滲透到現代的基礎與應用數學、物理及工程技術領域的許多分支，如微分方程、概率論、計算數學、量子場論、統計物理學、抽象調和分析、現代控制理論等方面［14］。因此，對于任何一個從事基礎與應用數學及以近代數學為基礎的理工專業研究的工作者來說，它都是不可或缺的基礎與工具。當前絕大多數高等師范院校的數學專業及綜合大學的理工科專業都開設“數學分析”課程。“數學分析”是近代數學發展的碩果，體現了常（量）與變（量）、有限與無限、量（變）與質（變）、直（線）與曲（線）、精確與近似等的對立統一和矛盾互相轉化的辯證規律。“數學分析”課程內涵豐富、知識點多，且具有理論上的抽象性、邏輯上的整體性和連貫性、證明方法的構造性及應用的廣泛性等特點，這使得“教師如何教好”和“學生怎么學好”這門課成為任課教師的老大難問題。

近20年來，伴隨著國家層面的擴招政策，普通高校生源質量出現整體下降。這進一步導致越來越多的老師反映“數學分析”難講，學生反映這門課難學。同時，隨著新一輪高校教學改革的推進，很多高校“數學分析”課時受到一定程度壓縮。這門課一般設在大一年級和大二年級，這一時期學生剛步入大學校園，教學環境與方式、管理模式等的巨大變化以及初、高等數學的巨大差異都給學生帶來極大的新鮮感，進一步影響了“數學分析”的教學效果。“數學分析”教學中經常出現課堂容量大、教學難度高、學生理解能力差、注意力不集中等現象，給正常教學帶來嚴重影響、并制約教學任務的完成。然而對數學專業學生來說，“數學分析”學習的好壞直接影響了其整個專業體系課程學習的成功與否。因此如何改進“數學分析”教學模式、優化教學內容、提高教學效率、提升教學效果就成為高校相關任課教師的一個重要研究課題［56］。近年來，對“數學分析”課堂踐行教改成為學界共識。然而在實際的教學中，傳統的“灌輸式”教學依舊是“數學分析”課堂教學主流，效率依舊低下，大部分學生仍處于被動機械地學習中，課堂幾乎是老師為主角。針對“數學分析”課程的傳統教學缺陷，專家、學者提出了多種新式教學法，比如翻轉課堂、OBE教學法、費曼學習法等。由于費曼學習法在學習主動性、高效性及互動性方面的獨特價值，以下探究基于費曼學習法的“數學分析”課堂教學改革策略。

1"費曼學習法

費曼學習法也稱費曼技巧，是由美國著名物理學家理查德·費曼提出的一種高級的思維、學習方式。該方法符合學習金字塔原理，即傳統聽講式的被動學習效率低，而“教”式的學習效率極高。它從本質上揭示了學習過程，幫助學生快速有效地掌握知識本身。簡而言之，該方法就是“以教促學”，是現代教育理念“翻轉課堂”的理論來源之一。費曼學習法大致分為以下幾步：確立學習“目標”；講授出來；知識再總結、簡化并升華。這為我們解決“數學分析”教學過程面臨的諸多問題提供解決思路。當前費曼學習法受到廣泛關注并應用于各學科的教學與實踐中。然而該方法并沒有被具體應用于“數學分析”課程的教學實踐之中，面臨的困難主要有以下內容。

（1）對授課教師專業水平要求更高。由于“數學分析”的高度抽象性及廣泛的應用，使得學生思維呈現出高度發散性，這就要求教師具有很寬的知識面及很強的理解和掌控力。

（2）對授課教師心理和抗壓能力要求更高。由于數學分析在整個數學專業的重要性，使得授課教師顧慮重重，不敢也不能承受“數學分析”課程教學的失誤和失敗。

（3）對學生學習方式轉變的適應能力要求更高。“數學分析”教學直接面對的就是剛入學的高校一年級新生。學生們早已適應中小學的傳統教學模式，面對教學方式的突然轉變會有抗拒心理，給教學改革帶來額外的困難。

由于上述困難使得費曼學習法在“數學分析”課程教學中的推進舉步維艱，鮮有成果。這使得基于費曼學習法的“數學分析”課程教學改革研究具有急迫性和實踐性，自然成為當前重要研究課題。

2"費曼學習法的問卷調查情況

為有效開展基于費曼學習法的“數學分析”教改研究，對本校大學生開展無記名隨機問卷調查，發放調查問卷106份，收回有效問卷97份，問卷分析結果如下。

（1）調查對象理學專業53人，教育學專業17人，工學專業12人，文學專業5人，哲學5人和管理學5人；（2）12人了解費曼學習法，41人聽說過，但不是很了解，44人完全不了解；（3）在學習過程中90%以上的人課堂的教學法是傳統教學法，不足4%人常用費曼學習法；（4）17人認為很容易用學過的知識來解釋新知識，80人認為有點困難，無人認為很容易；（5）19人認為聽別人講更容易掌握知識，78人認為給別人講更容易掌握知識；（6）在給別人講解的過程中，20人總能發現自己掌握知識不牢固，52人認為這種情況經常發生，19人認為這種情況偶爾發生，6人認為這種情況從不會發生；（7）75人愿意嘗試使用費曼學習法來進行學習，18人表示可以嘗試，7人不愿意嘗試。

問卷調查結果分析：本校大學生對于費曼學習法的了解程度較低，一方面，目前學校的教學方法大多還是以“講授法”為主的傳統教學法，學生的參與度較低，容易使學生產生依賴心理，從而抑制了學生學習的獨立性、主動性和創造性，且知識掌握的不牢固；另一方面，大多數人認為給別人講比聽別人講更容易掌握知識，大多數人愿意嘗試使用費曼學習法來學習，這說明運用費曼學習法改造“數學分析”課堂是必要的，且有一定可行基礎的。

3"基于費曼學習法的“數學分析”課堂教學改革策略

3.1"轉變教學觀念，實施以教促學

傳統“數學分析”課堂教學往往是線下進行，講臺上是滔滔不絕講授，并奮筆板書的教師；講臺下是疲于聽課、充滿疑惑和不解的學生。在這種教學模式下雖然學生可以在較短時間內獲得大量知識，但這種傳統模式，抑制了學生學習的主動性，長遠來看不利于學生探索和研究能力的培養。

以教促學需要教師對課堂適度“放手”，但不能完全“放手”。教師要當一個求知的“學生”及時就“疑問處”發問，也要當好把控課堂方向和節奏的“導演”，起到引導和調控作用。在這種教學模式下，學生掌握學習主動權，專注于更高層次學習的“教”過程，從而獲得對知識更深層次的理解。學生需要直接面對課堂需要解決的問題，所需知識和信息需要學生在課前自主完成，可以通過學習視頻講座、線下或線上與同學或老師或AI交流討論。課堂上教師有更多的時間與學生交流，落實學生的課堂主體地位，重視學生個性發展，鼓勵課堂質疑問難、培養學生探究精神和提升創新實踐能力。

3.2"以教促學實現形式：“問題—探究”教學過程

“問題—探究”教學模式需要貫徹以學生為學習主體，以“問題”為載體，以科學探究為途徑，以培養學生的開拓創新精神和實踐動手能力為重點，以全面提高學生整體素質、促進學生協同發展為目的的教學過程。這種教學過程主張樹立正確的學生主體觀，教師主要起到對學生的指導、引導、輔助和幫助作用。“問題—探究”教學過程主要包括創設問題、自主討論、探索研究、突破創新、驗證反饋、研究結論等過程。

3.3"利用新教育技術，整合“數學分析”教學資源，為以教促學提供支撐

費曼學習法要求課堂之外，學生自主完成學習過程。慕課、微課等作為新形式的教學資源，一般具有知識粒度小、學習內容集中、學習環境多樣化和學習的可重復性等特征。這些特征能有效降低學生學習的認知難度，激發學生主動學習的興趣。這些新教育技術模式可以很好地控制學生學習節奏，提供靈活的學習形式和機動的學習時間。無論學生基礎知識的薄厚、能力大小、學習速度快慢，都可以通過反復觀看學習，最終達到理解掌握知識的目的。以整合新教育教學資源為契機，積極轉變教學模式，改進線上線下同步教學管理機制，開發學生自主學習的潛力和優勢。

微課、慕課等新教育技術給高校的傳統教育教學帶來不可避免的挑戰，但也伴隨著巨大的機遇［7］。微課為提高課堂效率起到很大作用。具體來說，教師可以利用微課的時間短和可重復性等優點，把“數學分析”課程中那些學生容易自主學習，邏輯要求不高，短時間內能講授清楚的內容制作成十分鐘左右的微課，方便學生課下學習。教師任務之一是探索、研究一套將微課、慕課等現代教育教學形式與課堂教學方式有效結合，利用各自優點，提高課堂效率，解決適用于授課對象認知和水平的“數學分析”自主學習資源短缺問題。

3.4"創新“數學分析”教學管理方法，豐富課堂教學內容

為解決以教促學模式下學生自主學習教學管控這一難題。首先，創新教學管理方法，教師可利用新教育技術軟件及系統，實施靈活多樣的管理手段，如手勢、人臉識別或語音辨識簽到、設置有獎隨機問答、在線討論、課后視頻團隊會等，隨機抽查學生的自主學習參與情況，以保證學習效果。其次，豐富課堂教學活動內容，提高學生對“數學分析”的學習興趣。可以根據“數學分析”的特點，安排思政、思辨、邏輯、發散能力等相結合的教學內容。

3.5"構建“數學分析”課堂中學生“教”的激勵與考核機制，保障教學質量

學生“教”過程需要設立激勵機制和考核機制，需要堅持教師的統籌指導和學生自主探索相結合。按照教育部及“數學分析”教學大綱相關精神和要求，積極探索符合自身情況的教學管理模式。隨著以教促學的開展，逐步建立健全相關考核機制，如針對教學管理提出：上課班級對任課教師、任課教師對“數學分析”課程、課程對學科團隊帶頭人、專業課程對教學督導、教學團隊對管理領導的“五對五表”法；創新設計、謀劃學生課堂心得表、教師課堂內外反思表、團隊教學指導表、督導課堂聽課表、領導教學評價表，實行實時實事匯報，貫穿教學全過程。建立在實事求是基礎上的激勵機制既要考慮到教師在建設教學資源庫、設計教學環節等工作中的付出，考慮適當給予教師課時量上的激勵；更要兼顧課堂上學生的“教”付出，設計適當的平時成績基點和“教”的成果的評測標準，以激勵學生的參與度，獲得高效的教學質量。

4"實施效果及總結

基于對山西師范大學2021級和2023級數學與應用數學專業本科的教改實踐表明，費曼學習法下的“數學分析”課堂改革成效顯著，獲得學生一致好評。教改課程出現了滿分成績，實驗班級的學生課堂參與度、學習積極性提高，期末優良和及格率均遠高于傳統授課班級；所指導學生在第14屆、15屆大學生數學競賽中獲一等獎、二等獎和個人獲“三育人”先進個人榮譽，近年來教學評價排名均位居前列，其中2023—2024年度獲學院教學評價排名第一。

針對傳統“數學分析”教學上存在的課堂容量大、教學難度高、學生理解差、頻繁走神等問題，探討基于費曼學習法的“數學分析”課堂教學改革可行性及面臨的困難之處。進而提出這種教學改革思路下的切實可行的具體策略，即實施以教促學教學模式，建立“問題—探究”教學思路、創設激勵機制和考核機制，利用新教育技術，創新教學管理方法、整合教學資源，豐富課堂教學內容。

運用費曼學習法來進行“數學分析”教學，不僅有利于教師傳授知識，而且能充分發揮學生主導作用，提升學生學習積極性，使學生對所學知識點的背景、用途以及推導都有深刻的印象，能有效鍛煉學生的團結合作能力、自主思考能力和分析總結能力。基于費曼學習法進行“數學分析”教學，有利于解決傳統教學存在的一些問題，在教學過程中，利用分組方法進行討論，賦予學生以“教師”的身份進行講授，再由費曼學習法的四個步驟（確實學習目標、模擬教學、重復回顧、概念簡化）加深對知識的理解和掌握，將知識真正內化吸收。

參考文獻：

［1］師范大學數學系編.數學分析［M］.5版.北京：高等教育出版社，2019.

［2］拉菲·格林貝格.普林斯頓數學分析讀本［M］.李馨，譯.北京：人民郵電出版社，2020.

［3］李傅山.數學分析中的問題與方法［M］.北京：科學出版社，2016.

［4］陳紀修，於崇華，金路.數學分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2019.

［5］王海燕，王林，劉穎.“數學分析”課程教學創新探索與實踐［J］.科技風，2024（06）：143145.

［6］李曉艷，吳然超.“數學分析”課程啟發式教學探索與實踐［J］.大學，2023（14）：5053.

［7］張歡，董海洋.OBE理念下“現代教育技術”課程改革探索［J］.科教文匯，2024（07）：132135.

基金項目：山西省高等學校教學改革創新項目（J20220471）；山西省留學人員科技活動擇優資助項目（20220023）

作者簡介：玉強（1979—"），男，漢族，河北邯鄲人，博士研究生，教授，主要從事非線性動力系統穩定性研究。