國債期貨期權理論定價初探

摘要：2024年9月13日，中金所開啟國債期貨期權仿真交易，標志著我國場內利率期權品種正式上市，填補了我國期權領域空白。本文比較了常見的期貨期權定價模型和波動率的估計方法，選取定價效率較高的BAW模型，利用國債期貨歷史數據，對國債期貨期權進行了理論定價。通過實證分析，本文嘗試描述國債期貨期權價格的時間價值衰減過程及其與標的價格之間非線性的變化關系，以期投資者在合約正式上市之前，對國債期貨期權的價格特征有初步的了解。

關鍵詞：國債期貨期權 理論定價 實證分析 價格特征

背景介紹

作為利率市場化的產物，利率衍生品工具在管理利率風險、穩定資本市場、促進經濟平穩發展等方面發揮著積極作用。與海外相比，我國國債及其衍生品市場起步較晚，但發展迅速。當前，我國債券市場規模已居全球第二，陸續上市的一系列國債期貨產品市場活躍度也不斷提升。中金所數據顯示，截至2024年，我國國債期貨日均成交約22.88萬手，日均持倉約49.16萬手，分別較上年增長約17.7%和20.5%，保持兩位數的增幅。

隨著我國債券市場規模的不斷擴張以及高水平對外開放穩步推進，市場各方對更加豐富的利率衍生品工具的需求有所上升。從海外實踐來看，美國、歐洲、日本等海外發達經濟體均已陸續建立了國債期權市場，并與期貨市場共同形成了利率風險管理體系的雙支柱。目前，中金所也在已上市國債期貨合約的基礎上，研究設計了2年期、5年期、10年期和30年期國債期權仿真合約，并于2024年9月13日開啟仿真交易。

我國國債期貨期權上市漸近，本文在中金所合約規則的基礎上，利用現有數據和模型為國債期貨期權進行理論定價。在精確刻畫期權非線性收益結構的同時，理論定價可以幫助投資者提前熟悉和了解不同市場條件下的期權價格波動、時間價值衰減等特征，從而更好地理解期權所蘊含的風險。此外，未來期權合約上市后，投資者也可以根據理論價格來協助判斷市場價格是否合理，從而發現潛在的套利機會，并測試開發不同的期權交易策略。

模型介紹

（一）期權的定義

期權是一種金融衍生工具，賦予買方在約定期限內按約定價格買入或賣出一定數量的某種資產的權利，且買方沒有必須行權的義務。非線性的收益結構使得投資者在利用期權對沖市場風險或構建投資組合時具有獨特的優勢，包括相對可控的風險、策略的多樣性等。

期權分類標準較多，最簡單的分類方式是按買方權利將其分為看漲期權和看跌期權。看漲期權的買方有權按事先約定的行權價格買入標的資產，看跌期權的買方則可以按行權價格賣出標的資產。而按行使權利的時間又可以將期權分為歐式期權和美式期權。歐式期權的行權時間固定，買方只能在到期日行權；美式期權的買方則可以在到期日之前的任何時間行權。美式期權行權方式上較高的靈活度也使得其在定價方面與歐式期權存在一些差異。

（二）常見期權定價模型

期權的理論價格取決于多個因素，包括標的資產價格、行權價格、到期時間、波動率等。而在期權定價研究領域，定價方法主要分為解析類和數值類。解析類通常以傳統的Black-Scholes（BS）模型為基礎，對于歐式期權，通過構造一個由期權和標的所組成的無風險交易組合，在無套利的條件下推導出微分方程的解析解，為期權進行定價。而數值類的二（三）叉樹定價模型則將每個時間點的價格變動分為2（3）個方向，由樹的末端倒推計算出期權價格。當然，理論推導和數值模擬均已證明，當二叉樹的時間間隔無窮小時，二叉樹定價與BS定價是等價的。

對于美式期權，因為提前行權的特性，其定價公式本質上是一個動態規劃的過程，這使得其定價的復雜度遠大于歐式期權。美式期權上不存在封閉的解析解，通常借助數值計算方式，通過求一個可行的近似解逼近解析解來進行定價。例如，有限差分法通過差商代替微商，對方程以及定界問題離散化，把微分方程用一組差分方程來代替，最終通過迭代法求解差分方程。而美式二叉樹，比如Cox-Ross-Rubinstein（CRR）模型，在計算期權價值時額外考慮是否提前行權。在每個節點上，需要比較提前行權的價值和繼續持有期權的價值，取較大者作為該節點的期權定價。此外，對于一些結構較為復雜的期權，蒙特卡洛模擬也能很好地對其進行定價，該方法通過不斷且多次模擬標的價格的變化路徑以求得對應期權的價格。

不同美式期權定價方法在定價精度上區別較小，但在計算效率上卻有較大差異。有限差分法需要求解一組差分方程，因此需要的計算時間較長。相較之下，CRR模型通過數值模擬的方法，避免了復雜的方程求解，計算上相對高效。1987年Barone-Adesi-Whaley（BAW）模型對BS模型進行擴展，將美式期權的價值分解成兩部分。一部分是歐式期權定價，即通過 BS 模型進行定價；另一部分是由于美式期權可以提前行權而需要增付的期權金，通過變量替換將偏微分方程簡化為常微分方程，實現了近似解析解，計算效率較高，在實際市場中被廣泛應用于美式期權定價。

海外國債期權合約設計上多采用美式履約，從目前了解到的信息來看，中金所公布的國債期貨期權合約草稿在設計上也遵循國際慣例。因此，本文實證部分模型使用上也基于美式結構。

（三）不同波動率估計方法

在期權的定價模型中，波動率是一個關鍵的輸入參數，它描述了標的資產價格在單位時間內的變動性或不確定性。在BS模型中，期權價格與波動率的平方根成正比，估計波動率在期權定價、期權交易及風險管理中扮演著至關重要的角色。高波動率意味著更高的不確定性和潛在風險，而了解和管理波動率是期權交易成功的關鍵因素之一。

波動率可以由歷史波動率來估計，也可以用隱含波動率來估計。歷史波動率是基于過去一段時間內資產價格的實際波動情況來計算得到的，而隱含波動率則是根據期權市場價格反推出的波動率，是實際交易出的結果。

估算歷史波動率，最簡單的要數基于標準差的方式，其借助移動窗口，對每個窗口內資產收益率計算標準差，以此來估計波動率隨時間的變化情況。但這種預測方法存在一個明顯的問題，即資產價格的大幅變動會在波動率估計量的序列中保留一段時間后突然消失。

指數加權移動平均（EWMA）模型用滯后一期（t-1期）收益率平方與滯后一期方差的加權平均來預測當前期的波動率，一定程度上解決了波動率預測中價格跳空的影響。而作為計量經濟學中用于估計時間序列波動率的經典模型，自回歸條件異方差（ARCH）和廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型也能夠捕捉到波動率隨時間變化的特點，從而解決上述提到的問題。

近年來，機器學習技術也被用于估計波動率，包括隨機森林、神經網絡、遺傳算法等。每種方法都有其優勢和局限性，選擇哪種方法取決于數據的可用性、計算資源和特定應用的需求。在實際應用中，投資者和風險管理者需要結合多種方法來獲得更穩健的波動率估計。

實證研究

（一）國債期貨歷史波動率

本文選用2015年3月20日至2024年8月5日共2283個交易日的10年期國債期貨收益率樣本數據，計算國債期貨歷史波動率。其中，圖1為EWMA、GARCH（1，1）模型計算的歷史波動率，圖2為20天、40天、60天的標準差波動率。從結果上看，不同方法計算出的歷史波動率的變化趨勢是相同的。波動率的聚集效應、均值回歸特性在國債期貨上也較為明顯。

歷史數據顯示，波動率升幅最大的一次發生在2016年末到2017年初。彼時資金面收斂和央行流動性收緊預期引發投資者對債市去杠桿的擔憂，疊加大宗商品價格上漲抬升通脹預期以及機構贖回增多等因素沖擊，市場出現了恐慌情緒，引發了更多的止損盤和做空力量，市場波動率短時間內出現了快速攀升。

另一次波動率較大升幅發生在2020年初。新冠疫情暴發后，在貨幣政策超常規寬松的大背景下，10年期國債收益率一度快速下行至2.5%附近。隨著股市走強、政府債券供給放量以及資金面逐步趨緊，國債收益率重新震蕩上行，債市波動逐步有所下降。

（二）波動率估算方法的選擇

前文提及歷史波動率和隱含波動率在定義上的差異，且相較于歷史波動率，隱含波動率與期權實際價格的關系更為直接。為了縮小期權理論定價與實際市場價格之間的差距，提升理論定價的精度，需要確認與隱含波動率最為接近的歷史波動率計算方法。

在缺乏國債期貨期權實際交易數據的情況下，本文通過對已上市且同為美式期權的銅期權合約模擬定價與真實價格走勢的對比研究，發現GARCH和EWMA方法估計的歷史波動率更接近隱含波動率（見圖3）。而對于標的價格/期權價格波動頻繁的合約（CU2409），GARCH比EWMA稍微好一些；但是對標的價格/期權價格比較穩定的合約（CU1912），EWMA明顯優于GARCH（見圖4）。

綜合來看，筆者發現通過EWMA計算得到的歷史波動率，在大多數市場環境中都是隱含波動率的一個較好的估計。因此，在對國債期貨期權進行模擬定價時也采用EWMA方法來進行計算。

（三）國債期貨期權理論定價結果與特征

經過上述討論，我們選取被廣泛應用于美式期權定價且計算效率高的BAW定價模型，其公式如下（以看漲為例）：

，當S＜S*

，當S≥S*

第一項是BS模型計算所得的看漲期權價格，第二項是提前行權需要增付的權利金部分。具體地，A2=S*/q2（1-e（b-r）TN（d1（S*））），其中

，

，

， ，K=1-e-rT。其中， S為標的當

前價格， X為行權價，T為距離到期時間，b為持有成本，σ為定價所假設的波動率，r為無風險利率。S*為臨界的標的資產價格，滿足

波動率估算方法選擇EWMA模型。設收益率序列為rt，波動率序列為σt，則其公式為

σt2=λσ2t-1+（1-λ） r2t-1

其中，λ是衰減因子，取值范圍在0到1之間。J.P. Morgan和Reuters通過最小化均方根誤差（RMSE）推導出最優衰減因子，發現日數據集的最優衰減因子為0.94，月數據集的最優衰減因子為0.97。因此，本文采用 λ=0.94。

價格參數S采用10年期國債期貨合約的價格，并通過四舍五入，選取與當天期貨價格S距離最近的行權價格作為平值期權（ATM）。實值期權（ITM1、ITM2）和虛值期權（OTM1、OTM2）則根據中金所已公布的合約設計草稿分別在ATM基礎上加減0.25、0.5。T為期權合約距離到期日的時間，選取上海銀行間同業拆借利率（Shibor）作為市場無風險利率r，并從中查找距離T最近的期限利率，代入計算。

圖 5 展示了10年期國債期貨期權當月合約模擬定價的結果（以看漲期權為例）。可以看到實值期權由于其內在價值較大，所以價格始終高于平值和虛值期權。期權當月合約在剛完成換月后，由于其距離到期日的時間最長，時間價值最高，此時的期權價格往往也是階段性的高點。但隨著到期日的臨近，時間價值逐漸衰減，期權價格也隨之走低，直至到期日平值和虛值期權價格降至0。這一特征隨著每次換倉呈周期性重復，也就是說，對于期權買方而言，代表時間價值的Theta值為負。

具體到單個合約，我們以10年期國債期貨合約T2403為標的，按中金所合約設計規則，對應模擬期權的存續時間為在2023年8月第二個星期五的后一個交易日（2023年8月14日）至2024年2月第二個星期五（2024年2月9日）。從圖6中我們可以更明顯地發現期權價格隨著到期日的臨近，時間價值逐步衰減帶動期權價格呈現震蕩回落的趨勢。且在合約快要到期時，平值和淺實值期權的時間價值衰減速度將有所加快，即Theta的絕對值會上升，對應價格下行斜率趨陡，時間價值衰減呈現非線性的特征。

我們還將期權執行價格固定在某一特定值，以此觀察特定執行價下，期權與標的期貨價格之間的聯動性特征。以2023年8月14日為觀察起始點，此時T2403合約價格為102.45。我們將執行價格分別固定為K1=102.25、K2=101.50（見圖7、圖8），發現隨著T2403價格前期先跌后漲，看漲期權合約價格也隨之有相同趨勢的變動，即正Delta特征，而看跌期權價格則呈現反向變動，即Delta為負。

無論是看漲還是看跌，虛值期權Delta絕對值都較低，其價格對標的價格變化的敏感度也相對較低。比如2023年9月后，執行價格為102.25的看跌期權一度變為實值，其價格振幅明顯大于同一標的但執行價格為101.50的看跌期權。

此外，從2023年12月開始，期貨價格開始穩步上漲，對應兩個看漲期權重新變為實值，價格聯動性隨著實值程度的加深和合約到期日的臨近逐步上升，即期權Delta收斂于1；同時，看跌期權進入虛值狀態，隨著到期日臨近，價格逐步趨于0，Delta也收斂于0。

總結

本文聚焦國債期貨期權的理論定價問題，選用EWMA方法計算歷史波動率并代入BAW期權定價模型，以中金所10年期國債期貨T2403合約作為標的進行模擬定價。結果顯示，本文估算的期權理論價格能夠較準確地跟隨期貨標的進行有效波動。且不同行權價、不同方向下，時間價值衰減、期權價格與標的資產價格之間非線性聯動的特征也較為明顯。這為國債期貨期權理論定價提供了一種有效的方法和參考。

市場實踐中，國債期貨期權的實際市場價格最終由供求關系決定，并受市場情緒等因素的影響。實際價格會隨著市場條件的變化而變化，可能與理論價格存在一定偏離，這需要投資者在做風險管理和投資決策時格外留意。

近年來，隨著我國宏觀經濟運行環境發生深刻變化，政府債券發行規模持續增加。但目前我國場內國債期權依然處于空白，現有對沖工具所能發揮的作用也存在一定局限性，無法滿足投資者更多元、更精細的風險管理和投資需求。因此，有必要加快推動國內國債期權合約上市的進程，進一步健全債券市場的風險管理體系，讓金融衍生品工具更好服務實體經濟。

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