剖析錯誤根源 發展數學素養

學生在學習過程中難免會犯錯，但“一錯再錯\"的情況是可以避免的.錯誤的重復出現，往往與教學方法密切相關.教師在學生初次犯錯時，常常未深入剖析錯誤根源，而是直接給出正確答案.在進行錯題講解時，部分教師可能因過于急躁，僅簡單展示正確解題過程并布置練習題，致使學生對知識缺乏深入理解，記憶不牢固，影響了解題能力的提升.學生在課堂上疲于模仿教師的解題步驟，無暇深入思考并總結錯誤原因，課后也難以找到有效的解決辦法．因此，教師應當重視學生的思維過程，引導學生探尋錯誤的本質原因，并運用有效的糾錯策略幫助學生突破思維瓶頸，從而提升思維能力與數學素養，促進學生的全面發展.本文借助兩個案例，闡述如何通過錯題評析培養和發展學生的數學素養

案例呈現

例1已知函數 ，點A Ψ（x₁，f（x₁）），B（x₁，f（x₁））， 是函數f（x） 圖象上不同的兩點，是否存在這樣的實數 ，使得A， B 兩點所在直線的斜率大于 m？ 若存在，請求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

在本案例的教學過程中，教師安排得出不同結果的兩位學生展示各自的解題過程

生1：設 012 ，由題意可得 gt;m，即f（x）-mxgt;f（x）-mx₁ .令 g（x）=f（x）-mx ，則 g（x） 在（0，+∞） 上單調遞增，所以 g^′（x）?0 在（0，+∞ ）上恒成立，所以 -1在（0，+∞） 上恒成立，解得 m?8.

（教師預留時間讓學生觀察、思 考、探索）

有一個是錯的，那么哪個是錯的呢？錯在哪里？ ψ_m 能否取到8呢？

生3：我和生1的結果是一樣的，但我不認同他的解題過程，因為由g（x） 在 （0，+∞） 上單調遞增直接得到g^′（x）?0 在 （0，+∞） 上恒成立不夠嚴謹，需要檢驗 g（x） 在 （0，+∞） 上的任意區間是否可能為常函數.

生2：由題意可得 ，所以 m′（x₀） 恒成立. ?f^′（x）?3x²+ 6-1，解得mlt;8.x

師：生1與生2所求解的結果，至少

師：非常好，思維縝密，考慮得非常周到.我們在應用化歸與轉化思想解決問題時，必須等價轉化.

師：對于生2的解題過程，你又有哪些發現？

生4： 和 f^′（x₀） 并不等價，前者表示曲線上兩點所在直線的斜率，而后者表示曲線上某點處的切線斜率.

師：很好，該題我們應如何求解呢？

生5：可以先作出 的圖象，運用數形結合思想進行分析.

師：很好，請大家動手畫一畫，利用數形結合思想繼續研究，看看你們有什么新的發現

為了便于觀察，教師調整了 x 軸與y軸長度單位的比例，如圖1所示.得到圖象后，教師預留時間讓學生進行分析.

生6：函數 f（x） 在 （0，+∞） 上單調遞增.

生7： f^′（1）=8 是 f^′（x） 的最小值，且點（1，0）是切線斜率變化的分界點

生8：平移直線 y=8（x-1） ，斜率為8的直線與曲線僅有一個交點，因此，A，B兩點所在直線的斜率取不到8.

這樣通過生生、師生的有效互動，“將錯就錯”，不僅找到了問題的癥結所在，更由此探尋到了正確的求解思路，求得切線的斜率范圍為 [8，+∞） ，A，B兩點所在直線的斜率范圍為（8，+∞ ），最終得到 |m?8

在上述教學過程中，教師沒有直接將自己的主觀意識強加給學生，而是從學生視角出發，通過適時的啟發，引導學生經歷“發現錯誤、分析錯誤、糾正錯誤\"的完整過程．這不僅幫助學生精準定位了問題，還成功突破了思維誤區，有效避免了“一錯再錯”“會而不對”等情況的發生，切實提升了學生分析與解決問題的能力.

例2已知函數 1）， a∈R，x∈[1，+∞），f（x）?0 恒成立，試求實數a的取值范圍.

題目給出后，教師讓學生獨立求解．部分學生在解題過程中出現了思路中斷的情況，導致未能完成解答教師巡視時，挑選學生上臺展示解題過程.

生9：當 _x=1 時，不等式成立．當xgt;1時，a≤x2nx 令g（x）

令h（x）=x2-1-2lnx（xgt;1），則h'（x）=2（x2-1）0，所以 h（x） 是 （1，+∞） 上的增函數.又 h（x）gt;h（1）=0 ，所以 g^′（x）gt;0 ，即 g（x） 是 （1，+∞） 上的增函數.我就分析到了這一步， g（x） 在 （1，+∞） 上單調遞增，但是最小值 g（1） 沒有意義.

師：導數的定義中蘊含逼近的思想，運用該思想你能求出函數 g（x） 在_x=1 處的極限值嗎？ （教師適時啟發）如果用逼近的思想求極限值，當 時， xnx應如何變形呢？

學生積極思考、類比，很快就有了發現.生10 時，分子逼近函數 在 ?=1 處的導數1，分母逼近函數 y=x² 在 _x=1 處的導數2.由此可知，當 _x1 時， 所以， g（x） 在 處的極限值為 師：非常好，條理清晰，表達準確．如圖2所示，事實上， _x=1 是函數 x2nx的可去間斷點.

師：該題的解題方法不唯一，課后請大家繼續交流、分析，將探討進行到底.

例2涉及高等數學中函數極限、間斷點等相關知識，具有一定難度，在教學過程中，教師立足學生視角，精準把握學生的學習困惑，引導學生回歸導數定義，使其深刻體會其中蘊含的逼近思想.如此一來，既能鞏固導數定義，又能通過類比揭示問題本質，優化學生的知識結構，進而全面提升學生的數學能力與數學素養.

教學思考

高中數學知識的抽象性與復雜性逐步提升，學生在學習過程中難免遇到各類問題.在教學實踐中，教師不僅要尊重學生的錯誤，更要以包容和引導的態度善待錯誤，從學生的認知視角深入剖析錯誤、探尋根源、制定解決策略，以此提升教學成效，培育學生的數學思維品質

在上述兩個教學案例中，面對學生出現的錯誤，教師摒棄了急于糾正的做法，轉而采用啟發式教學，耐心引導學生通過獨立思考與合作探究相結合的方式，共同挖掘錯誤成因，并站在學生的立場尋求解決方案．這一過程不僅深化了學生對相關知識的理解，更顯著增強了他們的解題信心，充分調動了學生學習的主動性和積極性，促進學生思維的交流與碰撞

在錯題評析環節，教師避免過度主導，而為學生創造自主分析錯題的機會，促使學生發現自身知識漏洞，找到有效的彌補方法，以此減少錯誤的重復發生．此外，在教學過程中，教師引導學生進行有效的歸納總結，要求學生建立錯題集，并定期對錯題進行反思.同時，鼓勵學生嘗試整理或編寫變式題目，通過反復思考與練習，深化對知識、方法和數學思想的理解，提煉出更多解題思路，培養創新思維能力，提高解題效率

綜上所述，錯題的分析與整理是提升學生解題能力、增強解題信心、發展數學思維的關鍵路徑．教師作為課堂的組織者，應當以學生的視角為出發點，細致分析錯誤成因，并著重引導學生經歷發現錯誤、剖析根源、糾正錯誤、整理錯題等完整環節通過多角度、全方位的分析，幫助學生精準定位問題關鍵，構建正確的解題思路，積累寶貴的解題經驗，有效避免“一錯再錯”，切實提高課堂教學質量.