具阻尼項的非線性分數階微分方程的振動性定理

本文將討論如下的具阻尼項的非線性分數階微分方程

（20解的振動性，其中 α∈（0，1） 是一常數， D₀₊^αz（t） 是關于 z 的 α 階Riemann-Liouville分數階導數， 是正奇數之商，并且本文總假設下列條件成立：

（C₁）a（t）∈C¹（[t₀，∞），（0，∞）），b（t），p（t）∈C（[t₀，∞），[0，∞））; （C3）f∈C（R，R）且u≠0時，f（u） f（u）_u^κ?λ=const.gt;0. （204號

在過去的幾十年，經過物理、數學、工程等領域專家學者的大量研究，分數階微積分理論日趨完善，在聲波、電磁傳播、信號處理、交流電工學、生物遺傳等方面起著不可忽視的作用．在描述質點運動軌跡、巖石紋路、噪聲傳播等方面，分數階模型比整數階模型更精確，也更適宜定義新材料、生物系統的電傳導、湍流等的某些特性．在分析大腦記憶與基因遺傳、分子擴散等方面分數階系統比整數階系統更具真實性．此外大量的研究表明，分數階微分方程在圖像與信息處理、分形幾何、流變學、流體力學、轉子動力學、電分析化學、人口動力學、神經網絡、生物化學、結構抗震等方面都有著廣泛的應用．與此同時，對于這些領域的研究為分數階微積分的應用提供了真實的平臺，促進了分數微分方程理論的發展．實際上，在現實生活中，很多系統都更適宜于用分數階來研究，因此分數泛函微分方程的研究既有重要的理論價值，又有廣泛的實用價值.

近些年來，分數階微分方程理論取得了很大的進展[1-5]．而振動是宇宙普遍存在的一種現象，振動現象普遍存在于自然界和工程技術等領域，如橋梁的振動、汽車發動機的振動、建筑物的振動、地震的振動、海嘯的振動、航空器的結構振動、化學反應過程中的復雜振動，還有微觀世界的振動，如基本粒子的熱運動、布朗運動等，因而在分數階微分方程的研究中，解的振動性理論也受到足夠的重視[6-20]．2016年，文獻［11］研究了在 a=1，ψ=1，b∈C（[t₀，∞），（-∞，0）） 和 κ=1 的情形下方程（1）解的振動性問題．2021年，文獻［13］研究了在 ψ=1，κ=1 的情形下方程（1）解的振動性問題.

本文將在文獻［11」和文獻［13」的基礎上，做進一步的研討，得出方程（1）的一些新的振動定理，推廣和改進文獻［11，13］的結論，并給出實例加以說明，

1預備知識與引理

定義1[1] 稱

為函數 的 α 階Riemann-Liouville分數階積分，如果（2）式的右端在 （0，∞） 上是逐點定義的，這里 αgt;0 為一常數， T 是通常的Gamma函數.

定義2[1] 稱

為函數 的 α 階Riemann-Liouville分數階導數，如果（3）式的右端在 （0，∞） 上是逐點定義的，這里 αgt;0 為一常數， n=[α]+1，[α] 是 α 的整數部分.

引理1[2] 假設 若分數階導數 D₀₊^αx（t） 和 D₀₊^α+mx（t） 存在，則

Dⁿ（D₀₊^αx（t））=D₀₊^α+mx（t）.

引理2[18] 假設 x（t） 是方程（1）的一個解且

則 E^'（t）=T（1-α）D₀₊^αx（t） 業

2 振動性定理

定理1若對某一個 t₀gt;0 有

且存在函數 η（t）∈C¹（[t₀，∞），（0，∞））. 且 使得

則方程（1）的任意解都振動.

證明設 z（t） 為方程（1）的一個非振動解．不妨設 z（t） 為（1）的一個最終正解，則 ?t₁?t₀ ，使得 x（t）gt;0 和 E（t）gt;0，t?t₁ ：

由引理1、方程（1），條件 （C₁） 和 （C₃） ，可得

因此， 在頭 [t₁，∞） 上嚴格遞減且最終定號的，據此我們斷言

D₀₊^αz（t）gt;0，t?t₁.

否則，必存在 t₂?t₁ ，使得 D₀₊^αz（t₂）lt;0. 從而存在常數 Kgt;0 有

應用引理2，有

對式（8）從 t₂ 到 Φ_t 積分，可得

在式（9）中，令 t?∞ ，注意到條件（4），可知 lim_t∞E（t）=-∞ ，這與 E（t）gt;0 矛盾，從而式（7）成立.取黎卡提變換

則 ．利用引理1，由式（1）和（10），可得

利用不等式[19]

dXY^d-1-X^d?（d-1）Y^d，dgt;1，X?0，Y?0，

取

由式（11）和（12）有

對上式從 t₁ 到 Φ_t 積分得

令 t?∞ ，由條件（5），有 lim_t∞u（t）=-∞ ，這與 u（t）gt;0 矛盾．證畢.

下面引進如下一類函數．令 G={（t，s）|t?s?t₀}，G₀={（t，s）|tgt;s?t₀}.

函數 J（t，s）∈C（G，R） 稱為屬于 X 類[20]，記作 J∈X ，如果 J（t，t）=0，t?t₀ （204號

定理2設式（4）成立，且存在函數 η（t）∈C¹（I，（0，∞）），J∈X 且 使得

其中 ，則方程（1）的任意解都振動.

證明設 z（t） 為方程（1）的一個非振動解．不妨設 z（t） 是方程（1）的一個最終正解．如同定理1的證明中，可以得到式（11），兩邊乘以 J（t，s） ，并從 t₁ 到t-1積分得

由分部積分法，有

將（15）代入（14）得

取

由式（16）和（12）有

由于 J^'，（t，s）?0，（t，s）∈D₀ ，于是有 0gt;H（t，t₁）?H（t，t₀），tgt;t₁?t₀. 進而，由式（21）可得

由 00），tgt;s?t₀ 得 ，因而，由式（18）得

令 t?∞ ，有

與式（13）矛盾．證畢.

3實際例子

例考慮分數階非線性微分方程

取 t₀gt;0，λ=1，η（t）=t ，有

和

因此，定理1的所有條件都成立，從而方程（19）的任意解都振動.

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Oscillation Theorems of Nonlinear Fractional Differential Equations with Damping Terms

LIN Wen-xian （College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

Abstract：This paper studies the oscillation of a class of nonlinear fractional diferential equations with damping terms.By using the Riccati transformation and the techniques in mathematical analysis，several sufficient theorems for the oscillation of every solution of the equationare obtained， which generalize and improve the results in recent literature.Examples are provided to ilustrate the main results.

Key words：Riemann-Liouville fractional derivative；oscillation；Riccati transformation

責任編輯 朱本華