“實變函數(shù)”混合式教學模式探究

摘 要：“實變函數(shù)”是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門重要的基礎課程，它以數(shù)學分析為基礎，在分析學領(lǐng)域中起著至關(guān)重要的作用。由于“實變函數(shù)”理論性強，內(nèi)容抽象，學生學習起來難度較大。結(jié)合這一情況，在線上線下結(jié)合越來越普遍的教學背景下，關(guān)于“實變函數(shù)”的教學模式進行了探索與實踐，采用傳統(tǒng)線下教學與線上學習平臺相結(jié)合的混合式教學模式，采用類比式教學與舉例相結(jié)合的教學方法，具體分為課前準備（線上）、課堂教學（線下）、課后鞏固三個階段。結(jié)果表明，這一混合式教學模式可以有效提高學生的學習效率。

關(guān)鍵詞：混合式教學；實變函數(shù)；勒貝格積分

1 “實變函數(shù)”課程現(xiàn)狀分析

“實變函數(shù)”是主要針對數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生開設的一門專業(yè)基礎課程，它是數(shù)學領(lǐng)域的一個重要分支，以數(shù)學分析為前導課程，并在此基礎上發(fā)展起來的一門學科，主要研究的是測度理論與勒貝格積分理論。“實變函數(shù)”課程中“勒貝格積分”理論的出現(xiàn)主要源于微積分存在的一些局限性，如積分與極限交換次序條件太強、多數(shù)較為常見函數(shù)在黎曼意義下不可積等。正是由于這些局限性極大地限制了黎曼積分的發(fā)展，由此“勒貝格積分”理論應運而生。同時，實變函數(shù)也是許多后續(xù)課程如泛函分析、調(diào)和分析等的重要理論基礎，是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生后續(xù)開展科研的堅實支柱。但由于其本身具有理論性、抽象性與邏輯性較強等特點，“實變函數(shù)”也成為學生公認的最難學習的課程。原因有三個方面：（1）雖然說實變函數(shù)中的大多理論是在數(shù)學分析的基礎上得到的，但理論深度又高于數(shù)學分析，因此對學生來說，就需要較為扎實的數(shù)學分析理論基礎；（2）由于實變函數(shù)自身理論的抽象性與邏輯性，導致學生學習起來難度較大，難以調(diào)動學習的積極性；（3）由于課時的限制，教師無法全面系統(tǒng)地向?qū)W生講授完整的理論知識，導致學生對整體知識框架一知半解。

2 教學模式探索

鑒于上述情形，實變函數(shù)應該“如何教”成了亟待解決的問題，但此前傳統(tǒng)“實變函數(shù)”的教學形式比較單一，課堂多為“滿堂灌”的教學形式，老師講學生聽，授課內(nèi)容也是較為煩瑣的理論證明，導致學生課堂參與度低，整體積極性不高，缺少思考這一重要的理解與接受的過程。近幾年關(guān)于“實變函數(shù)”課程的教學模式也在不斷改革與探索，比如多采用案例式教學替代傳統(tǒng)的理論證明，課題式教學可以幫助學生更清楚地認識到實變函數(shù)理論的發(fā)展歷程，從而掌握其思維脈絡。在幾年的教學工作中，本人也一直致力于尋求一種能充分調(diào)動學生學習積極性的教學模式，實踐發(fā)現(xiàn)，通過線上和線下兩種途徑開展的混合式教學，既能有效提高學生的學習興趣，又有利于師生間的深度互動，從而提升學生學習的效率與積極性，更能有效幫助教師開展“實變函數(shù)”課程的教學工作。具體教學流程大致分為課前準備（線上）、課堂教學（線下）、課后鞏固練習。

3 “實變函數(shù)”教學模式實踐

3.1 課前準備（線上）

“實變函數(shù)”課程的學習需要一定的數(shù)學分析基礎，在學期初第一堂課綜合考慮學生的基礎扎實程度以及學習興趣，將學生劃分為不同的小組，對于不同程度的小組提前發(fā)送不同難度的課前預習任務，保證因材施教，程度好的學生更容易進步，程度一般的學生也能有所收獲，從而逐漸提高學生自主學習、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。在實際教學實施的過程中，也及時根據(jù)學生的實際情況重新組建分組。

學校會通過學習通等平臺組建線上班級，教師在課前發(fā)送預習任務，學生通過教師推薦或自己尋找的線上教學資源自行提前預習。小組代表在平臺上回答教師所提問題或提出自己的疑問，回答情況計入過程性考核。例如，學生在開始學習第三章《測度論》內(nèi)容時，線上提出疑問（如圖1所示）。

學生提出問題：如何理解內(nèi)測度與外測度，如何理解若“內(nèi)測度=外測度”，則集合可測這一結(jié)論？結(jié)合學生所提問題，在實際課堂教學中，著重講解內(nèi)測度與外測度的概念，并輔以直觀例子幫助學生更加直觀地去理解概念。以測量一棵樹的高度為例，將這棵樹視為一個集合（見圖2）。

用沒有刻度的長為5m的尺子測量樹高，量1次不足，2次有余，因此5mlt;樹高lt;10m；用沒有刻度的長為1m的尺子測量樹高，量7次不足，8次有余，因此7mlt;樹高lt;8m，尺子長度越來越小，“不足”“有余”都越來越接近樹高，此時，不足的最大值，有余的最小值最接近樹高。

因此，若“不足的最大值=有余的最小值”，則樹高能準確測量出樹的高度，不足的最大值可近似視為內(nèi)測度，有余的最小值可近似視為外測度，即若內(nèi)測度＝外測度，則該集合可測。在講解概念的同時，以此為例，可以將抽象的概念直觀化，學生可以更加容易理解。在整個教學過程中，學生課前提前預習，提出問題，教師講解過程更具有針對性，學生帶著問題去學習，也更能提高學生的求知欲，激發(fā)學生學習的熱情，提高課堂授課的效率。

3.2 課堂教學（線下）

在實際課堂教學過程中，教師要針對不同的問題合理運用多種教學方法開展教學，幫助學生更加具體地理解抽象的知識點與邏輯性較強的證明過程。

3.2.1 采用新舊知識類比式教學，建立知識之間的聯(lián)系

“實變函數(shù)”課程的重點即為第五章《積分論》，主要介紹勒貝格積分的內(nèi)容，勒貝格積分的產(chǎn)生是建立在黎曼積分局限性的基礎之上，為了解決黎曼積分遺留下來的問題。此前學生已經(jīng)學習了數(shù)學分析，掌握了黎曼積分的定義。因此在介紹勒貝格積分時可以類比黎曼積分。在這里可以采用師生問答的方式展開，教師提出問題：大家已經(jīng)學習過數(shù)學分析，掌握了微積分基本定理，哪位同學能說出微積分基本定理的內(nèi)容？

學生回答完后，教師補充說明，這里的積分即為黎曼積分。接著再提出第二個問題：誰能說出黎曼積分是怎么定義的？都有哪些類型的函數(shù)是黎曼可積的呢？

教師對學生回答進行補充說明，介紹黎曼積分的概念以及黎曼可積的充要條件，此處可以結(jié)合圖形將黎曼積分的定義簡述為：分割、求和、取極限。分割即為對定義域進行分割；求和即求出定義域每個小矩形的面積；取極限即定義域分割足夠細時，可近似地用小矩形的面積代替曲邊梯形的面積。

接著采用一個數(shù)分中常見的黎曼意義下不可積的函數(shù)，以狄利克雷函數(shù)為例，引導學生思考這一函數(shù)黎曼不可積的原因，由此介紹黎曼積分的局限性。

如何解決這一局限性呢？不妨換個角度去考慮問題。從黎曼積分定義入手，仍采用分割、求和、取極限的方法，不過這里的分割即為對值域進行分割，分割得足夠細時，可近似地用小矩形的面積代替曲邊梯形的面積，此即為一種新的積分：勒貝格積分。類比黎曼積分的定義，引導學生找出黎曼積分局限性的根源所在，由此轉(zhuǎn)換思路，勒貝格積分產(chǎn)生。

此時，學生對于勒貝格積分的定義認識還不夠，教師再以一個實際的例子帶領(lǐng)學生去更加直觀地認識勒貝格積分。教師拿出一堆硬幣，分別為一角、五角和一元的各五個，提出問題：我們現(xiàn)在來數(shù)一數(shù)這些硬幣一共有多少，可以采用什么方法去數(shù)呢？給學生預留出思考的時間，學生回答如下。

（1）我可以隨機拿出來一個對應的面額，最后再相加。（2）把相同面額的放到一起，看看每個面額各有多少個，面額乘以個數(shù)再相加。

教師對學生回答進行總結(jié)，點出第一種方式對應的即為黎曼積分，第二種即為勒貝格積分。此時學生對黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系已大致掌握。

3.2.2 采用較為直觀的圖形配合講述，便于學生理解

“實變函數(shù)”中多為理論性證明，邏輯性強，學生理解能力差，因此在此部分的講解上，教師除了考慮如何更清楚地向?qū)W生傳授知識，更重要的是如何能讓學生主動去接受知識，因此教師在講解證明題過程中，要注意選取合適的講述方式提高學生的興趣，幫助學生理解。比如在講述第三章第二節(jié)中定理3內(nèi)容時，可采用圖示法配合講述，學生可以直觀地看到每一個步驟的由來，理解起來更加簡單和更容易接受，過程如下。

定理：設S1，S2都可測，證明S1∪S2也可測。

此題要證明集合S1∪S2可測，關(guān)于集合可測，學生學習到了可測的定義，故可以用定義去證明，分析如下。

（1）由圖3可知，要證明S1∪S2可測，由可測集合定義，只需證明對任意集合T，滿足m*T=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］，即要證T=①③②+④。

已知T=①③+②④。

（2）分析上面兩部分，有重合之處，因此考慮將①③②與②④分的更詳細。

①③②=①③+②，其中①③為①③②在S1內(nèi)，②為①③②在S1外。②④=②+④，其中②為②④在S2內(nèi)，④為②④在S2外。

①③②=T∩（S1∪S2），①③=T∩S1=［T∩（S1∪S2）］∩S1，②④=T∩S1c，②=［T∩（S1∪S2）］∩S1c=（T∩S1c）∩S2，④=T∩（S1∪S2）c=（T∩S1c）∩S2c，利用S1的可測性，代入集合可測定義即可證得。

證明過程：因S1可測，故對任意集合T有m*T=m*（T∩S1）+m*（T∩S1c）。又m*（T∩S1）+m*（T∩S1c）=m*［（T∩（S1∪S2））∩S1］+m*［（T∩（S1∪S2））∩S1c］+m*［T∩（S1∪S2）c］=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］。

綜上所述，即得m*T=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］，即S1∪S2可測。

對于證明過程，先提出問題：已知的證明集合可測方法是什么？引導學生回顧定義，鞏固已學知識；接著帶領(lǐng)學生觀察圖3，引導學生小組討論已知條件與要證結(jié)論之間的聯(lián)系，從而理清整道題的證明邏輯，明白教材中集合之間相互替換的原因，并清楚地掌握“要證什么，即證什么，觀察已知與要證之間的關(guān)系”這一證明流程，引導學生結(jié)合圖示一步步自己寫出證明過程，不僅能使枯燥的理論知識生動化，激發(fā)學生的聽課積極性，更能幫助學生思維上從“怎么證”到“為什么這么證”的轉(zhuǎn)變，通過一道題掌握一類題。

3.2.3 探尋概念中隱藏的典故，提高學生的學習熱情

由于實變函數(shù)整體理論性較強，學生學習起來較為枯燥，因此適時地在課堂上插入有趣的數(shù)學典故，不僅能拓寬學生的視野，更能有效提高課堂的活躍氣氛，從而調(diào)動學生學習的積極性。比如在介紹集合論中康托爾定理時，此前學生已經(jīng)了解到集合可分為有限集、可數(shù)集與不可數(shù)集，之后提出問題：已知可數(shù)集合都對等，那么不可數(shù)集合的基數(shù)是否有大小之分呢？如果有，是否有基數(shù)最大的集合呢？這對學生來說是之前沒有思考過的。學生在思考時，適時地插入著名的“羅素悖論”，以及由此引發(fā)的數(shù)學史上第三次危機。

1902年，英國數(shù)學家羅素提出：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。那么N是否為它自身的成員？

若是，則N∈M，即說明N不屬于它自身；若不是，則N∈N，即說明N屬于它自身。無論哪種可能都將導致矛盾，這就是著名的羅素悖論。

羅素悖論的一個通俗表示即“理發(fā)師悖論”。一天，一位理發(fā)師掛出一塊招牌寫著：“我只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)”。此時提出疑問，這位理發(fā)師是否應該給自己理發(fā)？問題馬上引發(fā)了學生的激烈討論。教師及時介紹由羅素悖論引發(fā)的數(shù)學史上第三次危機，以及為基礎數(shù)學發(fā)展帶來的重大進步。此時學生的聽課積極性已被充分調(diào)動起來，教師再引導學生將此問題轉(zhuǎn)化為集合問題去考慮，進而得出康托爾定理的證明。

3.3 課后鞏固

3.3.1 課后作業(yè)

除了課前為學生預留合適的問題促進學生課前預習與課堂講述之外，課后及時鞏固所學內(nèi)容也是關(guān)鍵。每節(jié)課后要適當?shù)夭贾谜n后作業(yè)，題目難度適中，不宜過于簡單也不宜過難，難度適當?shù)念}目既能幫助學生復習所學知識，提升學習自信心，也能查漏補缺，及時鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容。

3.3.2 復習回顧

每章安排至少一節(jié)集中復習課，復習過程要注意章節(jié)之間知識的連貫性，復習內(nèi)容要注意詳略得當，重要及較難知識點重點復習，一般知識簡單帶過。根據(jù)實際復習效果，適時地調(diào)整復習內(nèi)容與進度，確保復習的高效性。同時根據(jù)劃分的學習小組，安排小組之間開展問答挑戰(zhàn)，學生之間彼此查漏補缺，共同進步。

3.3.3 批閱答疑

每周一次批閱學生作業(yè)，總結(jié)學生作業(yè)中出現(xiàn)的問題，對于出現(xiàn)問題較多的在課堂上集中講評，對于出現(xiàn)問題較少的地方在學習通平臺集中答疑。同時根據(jù)學生作業(yè)的寫作情況進行不同等級的批閱，最后計入期末過程性考核，鼓勵學生認真完成作業(yè)，形成良性循環(huán)。

結(jié)語

“實變函數(shù)”課程以數(shù)學分析為基礎，主要培養(yǎng)學生抽象思維與邏輯推理的能力，同時為后續(xù)的學習與科學研究打下堅實基礎，是分析學理論體系中不可或缺的部分。但由于實變函數(shù)本身理論性較強，內(nèi)容抽象，學生學習起來難度較大。經(jīng)過教學實踐，從傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學模式轉(zhuǎn)變?yōu)椴捎镁€上線下師生共同參與的混合式教學模式，不僅能提高學生學習實變函數(shù)的積極性，更能促進學生自主思考，提高分析與解決實際問題的能力，幫助學生形成良好的學習習慣，從而有效提高教師教與學生學的效率。

參考文獻：

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項目基金：河南開封科技傳媒學院校級教育教學改革與研究項目（編號：KCJG2024023）

作者簡介：劉亞蘋（1997— ），女，漢族，河南蘭考人，碩士研究生，助教，研究方向：基礎數(shù)學。