基于關鍵概念的小學數學“數與運算”單元教學設計研究

1“數的認識”關鍵概念的單元教學分析

1.1“數的認識”一致性整體分析

1.1.1源于計數單位

基于整數，體驗“數的認識”.數字是對實際生活中事物數量的抽象概括，是基于具體情境而非數字所產生的結果.數字進化反映了人類思維對現實宇宙的深入理解，由表象逐漸升華至概念層面.觀察數學計數發展的歷程可見，數字單位是掌握數學概念的核心.在了解整數的過程中，首先接觸的數字是1至9，其次才是10.盡管在數學認知過程中，數字通常被視為抽象概念，但對1至9的理解相較于10具有更強的直觀性.10不僅代表了一個新的起點，更標志著計數單位的重大進步.1至9每個數字所對應的計數單位均為“一”，如數字8代表8個“一”然而，對于數字10又該如何理解？不是10個“一\"而是1個“十”，即本質進步是指計數單位的演變，由單位“一”躍進至單位“十”，且隨著\"十\"這一計數單位的確立，通過邏輯推演即可自然衍生出“百”\"千\"\"萬\"等更高位值的計數單位.例如，計數單位“千”即通過將999與1相加的方式邏輯推導得出.又如，6、60、600和6000，分別對應的是6個“一”6個“十”6個“百\"各6個“千”其中，0的創造是為了在數位上提供空缺，以便改變數值的位階.因此，若從計數單位的角度理解整數，可以覺察到任何數無論大小，均可分解為若干個計數單位的線性組合，這一數學特征源于計數單位在數量上的可加性原理.

立足分數，體驗“數的認識”分數的概念起源于實際情境中對整數“1”進行均分處理的客觀需求，因而催生了分數的需求.計量分數時所使用的單位與計量整數時的單位不同，這是由于分數是在整數分割不足的情境下形成的.盡管分數和整數同樣能夠依大小關系排序，但二者計數單位之間缺乏等比遞進關系.以四分之一、五分之一、六分之一為例，它們與10、100、1000等基于10的等比遞進關系相比，缺乏直接的十進制比較基準.因此，在比較分數大小時，須先統一計數標準，即將其轉化為同分母分數.然而這也揭示了分數是由若干計數單位組合而成，如 以及 分別表示3個五分之一、5個八分之一以及71個九十分之一.

立足小數，體驗“數的認識”.從小數的演化歷程來看，小數是以十為基底的分數，即采取十分之一、百分之一、千分之一等以十為底數的計數單位進行計數，因此小數亦被冠以“十進制分數\"的名號.這導致了整數與小數的計量體系相互關聯，遵循著一致的乘數法則，從而小數單位的計數實質上“承繼”了整數單位的計數方式.數字序列表格里，無論是整數還是小數，它們的計數單位能夠自然地并列安置，如“千、百、十、一、十分之一、百分之一、千分之一”，這一系列單位皆遵循相同的規律.例如，小數0.3本質上是將1個整體均等劃分成10個相同的部分，并選擇其中的3個部分相加，這相當于3次各取十分之一.因此，對小數的理解同樣基于計數單位，它是計數量和計數單位的數量相互融合的產物

1.1.2基于數的概念本質

整數這一理念主要源于十進制、數位及數級體系.自古而來，計數始于原始社會，其根源深植于特定的量度之中.其演變經歷了從物品直接計量，到用結繩標記，再到刻畫符號，最終到創制數字符號，體現了從非位值計數到位值系統的歷史跨越.若深入分析數字符號的演進，可發現其從“不同位置表示相同數值\"發展為“不同位置表示不同數值”，即從非位置計數法轉變為現今通用的位置計數法.例如，數字888，每一個8在不同的數位上擁有不同的含義，最左側的8代表八百，緊隨其后的8表示八十，最后一個8則相當于八個.換句話說，數值根據其所處的位置呈現出不同的意義，這就體現了位置制的特點.干進制作為整數的計數體系，以“逢十進一”為核心規則.它構成了數字相互關聯的紐帶，并且為數字計算奠定了基礎.觀察數位排序，依次為個位、十位、百位、千位.繼續延伸則形成萬位、十萬位、百萬位、千萬位、億位等更高數位.面對數值的無限擴展和運算的復雜性，人們便創造了數級，這一概念的出現源于對計數單位的系統化構建

分數概念的核心建立在“平均分配\"基礎上，由此衍生出“量”與“率\"的雙重內涵.分數概念起源于對不可整分物體的度量需求，這推動了分數的形成發展.在此基礎上，分數可表達兩種關系：一是部分與整體的比例關系，二是兩個獨立量之間的相對關系.最初，分數是作為量的符號表示出現的，即在均分基礎上對部分量的界定，如當一個物體無法完整分配時，可以采用均等分割的方式進行處理.隨后，這種量的表述發展為關系的表述，即兩個數值之間的關聯： ① 部分與整體的關系，指從整體中分割出的部分與原整體之間的比例關系； ② 獨立量之間的關系，表現為兩個不同量之間的比值關系.無論是量的表述還是關系的描述，都可以通過除法運算相互轉化.這種聯系將分數與整數除法有機結合，幫助全面理解分數概念，構建完整的知識體系.

小數理解中，位置顯得尤為關鍵.依據知識體系中的邏輯關系，小數實質上是分數的另一種表現方式，而小數與整數共同依托于位值制，構筑出統一的數字計算體系.小數概念的源頭是測量和計算過程中經常出現無法得到整數的情況，因此誕生了小數的概念.小學階段使用的人教版教材首先以

1.11元作為起始教學單位，1角是1元的 1，可以寫成0.1元，1分是1元的 ，可以寫成0.01元，則1.11元表示1元1角1分，這揭示了小數的形成依賴于分數，即通過十進制分數轉化而成.由于十進位小數的獨特性，它能夠建立起基于整數的十進制計數系統，并與之共同形成一個完整的數字序列.

1.2“數的認識”關鍵概念的確定

教師要橫向構建知識結構，打破知識認知之間的壁壘.[經過系統分析發現，確立“數的認識\"這一核心概念應從三個層面展開：首先，基于新課標要求明確核心素養，將“數的認識”在不同學段體現的數感和符號意識作為基礎，進而深入分析知識體系以確定相關核心素養.其次，立足數系特征建立數學觀念，把握整數、小數和分數的共同基礎一一計數單位，即整數以個、十、百、千為單位，小數以十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.001）為基準，分數則通過分母、分子表示特定單位的數量關系.最后，根據數概念本質提煉核心概念，理解整數與十進制、數位、數級的關聯，把握小數與位值制的關系，認識分數與等分、量率的內在聯系.因此，必須在新課標框架下，通過深入剖析數概念的內在結構和本質特征來進行科學選擇，確立“數的認識”

2“數的運算”關鍵概念的單元教學分析

2.1“數的運算”一致性整體分析

2.1.1源于加法的運算

在數學領域，加法構成了運算的根基.加、減、乘、除構成了基礎的四種數學運算.將兩數合并為一個數的過程稱為加法；在已知總和與其中一個加數時，求另一個加數的過程稱為減法；將多個相同加數相加的簡便方法稱為乘法；在已知乘積與一個因數時，求另一個因數的過程稱為除法.通過上述定義可以看出四則運算之間的內在聯系：減法是加法的逆運算，即減法由加法衍生而來；乘法是加法的簡單形式（多個相同數連加），其本質仍基于加法；除法是乘法的逆運算，同時也可視為重復減法的簡單方法.因此，加法是四則運算的基礎，其余三種運算均可通過加法推導或擴展而來，

2.1.2基于運算定律、等式的基本性質

上述算術運算以加法為基礎.加法的本質在于將兩個數值合并為一個總和.例如， 4+5=9 ，表示將4個單位與5個單位組合，最終得到9個單位.然而，我們還可以從等式的角度理解這一過程：假設左側初始有4個單位，右側初始有9個單位，顯然 4lt; 9.若向左側增加5個單位，此時兩側數量關系如何？根據等式性質， 4+5=9 表明兩側最終相等.同理，若對兩側同時乘或除以相同的非零數，兩側仍會相等.因此，數值計算始終遵循等式的基本性質，這一過程不僅能深化對數學符號的理解，還能培養數感.在掌握等式基本規律后，處理混合運算時還需結合運算法則以簡化計算.例如，計算 25×17×4 時，若按從左到右的順序逐步相乘，過程將較為煩瑣.實際上，乘法滿足交換律，改變運算順序不會影響結果.因此，可將其重組為 25×4×17 ，從而高效完成計算.類似地，其他運算律（結合律、分配律等）也廣泛應用于實際計算中.

2.1.3歸于計數單位

在進行數學計算時，計算原理與計算方法缺一不可.然而，無論是邏輯推理還是計算方法，都歸屬于計量的范疇.整數的加法和減法運算的本質是將相同計數單位的數目相加或相減.簡而言之，計數單位一致的數字方可執行這樣的運算過程.以“ ⁸⁴⁴⁺ 22\"為例，可以拆解為 844+22=800+40+4+20+ 類似地，在進行整數豎式加減時，應保證各數位排列整齊，即將同一計量單位的數對齊，確保可以執行加減運算.分數加減時，首先需以統一的分母表示各分數，從而滿足進行加減和比較的前提條件.其實，統一分數的分母，本質上和對計數單位的統一相同.分數作為一類特殊的數量表達，與整數和小數在單位性質上表現出顯著區別，分數通過通分方能比較大小，但不具備固定的倍數關系.因此，在進行分數加減時，首先通分，將分數轉化為具有相同計數基準的形式，即分母相同的形式；接著便可以像其他相同單位的數值一樣進行加減運算.在計算過程中，分數與整數的加法和減法原理是相同的.同樣地，在小數的加減運算中，由于小數既是以十為基底的分數，又與整數有倍數的聯系，故可執行同一計數單位數量的加減運算.因此，整數、分數或是小數的加法與減法的運算均可歸結為同一計數單位下的數值計算.

接下來對整數、分數、分數間的乘法運算進行探究.首先給出如下三個式子并給出運算過程： 30× 40=（3×10）×（4×10）=（3×4）× 1 （10×10）=12×

（20

易知，整數、小數和分數的乘法均可通過運0

算規則將之轉化為計數單位數量乘計數單位，而最終的計算結果均是計數單位數量之間的乘積與計數單位自身之間的乘積的積.上面的運算過程顯示了整數、小數和分數的乘法基于計算單位的一致性.接下來探究三者間的除法是否存在一致性.類似地，給出如下三個式子及其運算過程： 40÷20=（4× 10）÷（2×10）=（4÷2）×（10÷10）=2×1=2，0.4÷ 3 易知整數、小數和分數的除法均可轉化為同一計數單位數量的相除，繼而乘計數單位相除的商求得結果，此過程亦體現了統一性.總體來看，無論是乘法還是除法運算，都屬于計數單位的范疇.

綜上所述，無論是加減、乘除，以及它們的綜合應用，都在計數單位的操作之中，彰顯了數學運算的一致性.

2.2“數的運算”關鍵概念的確定

基于前文的分析，筆者認為，“數的運算”這一關鍵理念的確立應包含以下幾個層面：首先，通過計數單位把握數字觀念與運算的同質性.在構建整數、分數及小數的計算聯系時，發現計數單位構成了數學及其應用的主要部分.同樣，在探討數學的基礎理論時，應將計數單位作為重點.理解數字單位的含義，并由此推導出數的計算，進而建立數和計算的統一.其次，基于加法運算的生成性地位，在計算時，教師需要引導學生體會四則運算的含義及其相互聯系，在教學過程中引導他們認識到，加法運算構成了所有計算的根本，使他們能夠深人理解這些計算的核心.最后，根據計算法則和等號的本質特征，計算過程的核心在于計算理論體系.在此過程中，對計算規則與公式的基本屬性的認識至關重要.具體而言，計算規則的推導必須依賴于計算規則與公式的基本屬性.借助這些元素，教師可以將計算規則與計算方法相結合，進一步深人了解知識的實質，

3結語

本研究表明，對知識概念的深刻理解及其核心要素的準確把握，能為單元教學設計提供有效的理論指導.首先，教師可以將表層知識轉化為具有實踐價值的知識體系，使其具有深遠的含義，并在特定的環境下達到對其含義的理解和自我遷移.基于此，當學生接觸新知識時，能夠自主構建完整的知識框架，建立實質性的認識關聯，從而實現對知識的深度掌控與靈活運用.

參考文獻

[1]何桂香.淺析小學數學“數與運算”結構化教學路徑[J].國家通用語言文字教學與研究，2025（2）：115一117.