指向運算一致性的小數(shù)除法教學(xué)策略研究

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2025）20-0032-04

一、緣起：運算一致性的教學(xué)現(xiàn)狀

小數(shù)除法是教師普遍認(rèn)為的難點，它承擔(dān)著承上啟下的功能，既是對之前整數(shù)除法算理算法的遷移，也是鋪墊六年級分?jǐn)?shù)除法的載體。教師教學(xué)時發(fā)現(xiàn)有以下易錯點（如圖1）。

分析這些易錯點，筆者發(fā)現(xiàn)原因如下。

（一）明法不明理，思維遷移斷層

易錯點 ① 是典型的只明算法不明算理的錯誤，對于商中的6和2，沒有理解其表示的是6個1和2個0.1，2的由來是8個 0.1÷4 得到2個0.1。究其原因，是教師教學(xué)時側(cè)重于算法和算理的講解，沒有縱觀全局建構(gòu)，致使學(xué)生知其然而不知其所以然，無法建構(gòu)起數(shù)運算的一致性。

（二）前后缺銜接，難構(gòu)知識體系

易錯點 ② 從表面上看是學(xué)生沒能構(gòu)建全局性理解，不會把小數(shù)除法和整數(shù)除法中已學(xué)過的商不變性質(zhì)結(jié)合起來。究其原因，是教師教學(xué)時缺乏對教材整體性的把控，缺乏對四則運算內(nèi)在邏輯的探討，致使學(xué)生不能形成知識體系。

（三）運算不一致，缺少統(tǒng)領(lǐng)概念

易錯點 ③ 是因為學(xué)生對計數(shù)單位組成的思考有限，一旦理解9表示的是9個0.01，他們就會豁然開朗。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)運算教學(xué)的整體性與一致性，指出要感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，并提出要對四大領(lǐng)域的課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，呈現(xiàn)整體性、一致性和階段性的特點。但教師的教學(xué)缺乏有效的統(tǒng)領(lǐng)，導(dǎo)致學(xué)生對算理一致性即計數(shù)單位的認(rèn)識思考較少。

基于上述分析，筆者以小數(shù)除法的起始課“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為例，闡述小數(shù)除法的教學(xué)策略。

二、探尋：運算一致性的價值思考

運算一致性的思考貫穿運算教學(xué)，它是教師對學(xué)生認(rèn)知生長點的把握，能讓教師更好地開展教學(xué)，讓學(xué)生在高通路遷移中習(xí)得知識，拓寬知識生成的路徑。指向運算一致性的計算教學(xué)能幫助學(xué)生構(gòu)建整體性的知識圖譜，從而構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識體系，有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、落地：運算一致性的教學(xué)實踐

運算一致性以小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)的四則運算為載體，通過整體梳理尋找縱橫兩線之間的聯(lián)系，做到前后關(guān)聯(lián)、環(huán)環(huán)相扣和整體建構(gòu)，是算理和算法相互融合的思想方法。

（一）尋根：構(gòu)建數(shù)運算一致性的全局性理解

1.梳理教材，厘清縱橫雙線

從當(dāng)前數(shù)的運算來看，加減乘除各有算理，而整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)則各有算法。因此，教師開展基于運算一致性的小數(shù)除法教學(xué)之前，需對書本知識進(jìn)行全局性的整理，尋找其相關(guān)聯(lián)的部分。可以從兩個維度分析教材整體的一致性。

（1）縱向維度

梳理教材可以發(fā)現(xiàn)縱向維度的一致性，即整數(shù)除法和小數(shù)除法算理算法的一致性在于：初步平均分不同數(shù)位上計數(shù)單位的個數(shù)，當(dāng)計數(shù)單位不夠分時，轉(zhuǎn)化為更小的計數(shù)單位。

（2）橫向維度

橫向維度的一致性即四則運算之間的算理一致性。教師回顧四則運算時需思考四則運算最基礎(chǔ)的是什么運算。回歸本源，四則運算實際上是對計數(shù)單位進(jìn)行操作（如圖2）。

根據(jù)上述分析，教師在開展基于運算一致性的教學(xué)活動前需橫向打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)算理算法的一致性，縱向溝通四則運算的一致性，不再只將數(shù)的運算局限于算法上。

2.前測摸排，直擊學(xué)生痛點

為了更好地開展以理解運算一致性為導(dǎo)向的運算教學(xué)，教師需摸清學(xué)生的已有經(jīng)驗和認(rèn)知起點。人教版教材的編排以長度單位為載體，從小數(shù)除以整數(shù)開始，然后過渡到整數(shù)除以整數(shù)，包括末尾添0繼續(xù)除和商0占位兩種情況。為了把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，筆者進(jìn)行了以下嘗試。

（1）相似比較，化繁為簡

基于上述思考，筆者設(shè)計了兩道前測題（如圖3），對同一教師執(zhí)教的兩個水平相當(dāng)?shù)陌嗉夁M(jìn)行前測。其中前測（1）以學(xué)生熟悉的元、角、分引入小數(shù)除以整數(shù)，前測（2）摒棄情境，直接出示算式讓學(xué)生計算。

其中，前測題（1）的正確率為 98% ，前測（2）的正確率為 96% ，兩道題的正確率相差不大，說明學(xué)生已經(jīng)能夠根據(jù)已有經(jīng)驗正確計算 22.4÷4 。對于前測題（2），利用元、角、分進(jìn)行轉(zhuǎn)化的學(xué)生僅占10% ，多數(shù)學(xué)生能夠直接計算 22.4÷4=5.6 ，說明這部分學(xué)生已具備將現(xiàn)實情境抽象到數(shù)學(xué)層面進(jìn)行思考的能力。因此，教師不必強(qiáng)行創(chuàng)設(shè)情境以引出算式。

（2）尋求起點，跳起來摘桃

從前測題的答題結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能借助已有的經(jīng)驗完成小數(shù)除以整數(shù)的運算。于是，筆者為第一個班級設(shè)計了前測題（3）：列豎式計算21-5。計算過程中，對于余下的1，學(xué)生只能聯(lián)想到有余數(shù)的除法。于是，在第二個班級進(jìn)行前測前，筆者讓學(xué)生說一說余下的1還可以怎么分，并畫或?qū)懗鲎约旱南敕ā７治鰧W(xué)生的解決過程，筆者發(fā)現(xiàn)對于整數(shù)除以整數(shù)的問題，學(xué)生的思維還停留在有余數(shù)的除法。學(xué)生通過情境能想到單位的轉(zhuǎn)化，但若沒有計量單位的支撐，理解起來就很困難。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)直擊學(xué)生痛點，重組學(xué)生學(xué)材、重構(gòu)教學(xué)框架，讓學(xué)生在豎式計算中理解算理，注重一致性的教學(xué)，讓學(xué)生能夠“跳起來摘桃”。

（二）扎根：踐行數(shù)運算一致性的結(jié)構(gòu)化操作

1.直接計算引入，建立思考

前測（3）中的難點也是學(xué)生認(rèn)知的矛盾沖突點。對此，教師可以直接用算式引入，讓學(xué)生列豎式計算，從而引出余數(shù)1，使其直面數(shù)學(xué)的思考。

[教學(xué)片段1]

展示學(xué)生列豎式計算21÷5的兩種結(jié)果（如圖4），并提問：“哪個豎式的計算結(jié)果是正確的？計算結(jié)果還是停留在有余數(shù)的除法上嗎？右邊的豎式的計算結(jié)果是小數(shù)，對嗎？”

通過整數(shù)除法引發(fā)學(xué)生思考是否能繼續(xù)往下分，這樣的認(rèn)知沖突能夠引發(fā)學(xué)生對知識進(jìn)行前后聯(lián)系，激發(fā)起他們解決問題的欲望，促使學(xué)生在原有知識體系的基礎(chǔ)上建立新的聯(lián)系。

2.多元表征余數(shù)，形成算理

學(xué)生在前測題（3）中闡述余數(shù)的分法稍顯困難，這是因為他們在運算時缺乏對除法一致性的思考。

[教學(xué)片段2]

提問：“余下的1到底應(yīng)該怎么分？能不能把你的想法用圖畫或文字的形式表達(dá)出來？有困難的同學(xué)可以參考錦囊中的情境進(jìn)行理解。”在學(xué)生完成后，出示兩份學(xué)生作品（如圖5）并提問：“余下的1為什么變成了10？商中的2是怎么來的？”

從學(xué)生的作品中不難看出，學(xué)生嘗試把無法平均分的單位轉(zhuǎn)化為更小的單位再平均分。因此學(xué)生的多元表征事實上是一致性建構(gòu)的奠基石，以多元表征承載單位不斷細(xì)分的過程。

3.聚焦豎式內(nèi)容，突破難點

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了算理的形成過程后，運算一致性的鋪墊已經(jīng)完成。學(xué)生將聚焦豎式，在豎式計算中理解算理，溝通整數(shù)除法和小數(shù)除法的算理一致性。

[教學(xué)片段3]

引導(dǎo)學(xué)生聚焦豎式（如圖6）：哪些地方體現(xiàn)了將無法平均分的單位轉(zhuǎn)化為更小的單位再平均分的過程？這里的20和10分別表示什么意思？商中的4和2又分別表示什么意思？

此過程充分展現(xiàn)了整數(shù)和小數(shù)除法算理的一致性：這里的20是因為2個十不能平均分成5份，從而轉(zhuǎn)化成20個一進(jìn)行平均分；余下的1個一也不夠分成5份，因此轉(zhuǎn)化成了更小的單位，即轉(zhuǎn)化為10個0.1進(jìn)行平均分；商中的4表示將20個一平均分成5份的結(jié)果，而0.2表示將10個0.1平均分成5份的結(jié)果。學(xué)生恍然大悟：原來小數(shù)除法的算理和以前學(xué)的整數(shù)除法算理本質(zhì)是一樣的，只不過是出現(xiàn)了小數(shù)，計數(shù)單位發(fā)生了變化。學(xué)生由此理解了豎式計算中的每一步都是對計數(shù)單位進(jìn)行平均分，并構(gòu)建起整數(shù)和小數(shù)的聯(lián)系。

4.個性遷移算式，深化本質(zhì)

在小數(shù)除法算理教學(xué)中，教師不能只關(guān)注到把幾個一轉(zhuǎn)化成幾十個十分之一，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步細(xì)分貫通所有的小數(shù)除法算理，真正達(dá)到一通百通。為了貫穿一致性和增加趣味性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主編題，使其理解運算本質(zhì)。

[教學(xué)片段4]

活動：自編一道除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算式。筆者在反饋中選擇以下三種類型（如圖7），引導(dǎo)學(xué)生選擇其一列豎式進(jìn)行計算。

通過個性化編題，學(xué)生深入了解了細(xì)分的意義和作用，實現(xiàn)了高通路遷移。

（三）生根：探索數(shù)運算一致性的拓展性思考

1.謀求過程關(guān)聯(lián)，融會貫通

在經(jīng)歷縱向運算一致性的探究后，學(xué)生對小數(shù)的四則運算已經(jīng)形成初步的認(rèn)識。結(jié)合之前所學(xué)習(xí)的整數(shù)四則運算，其中暗藏玄妙的溝通也漸漸浮現(xiàn)：加減法的變式是將相同的計數(shù)單位相加減，乘法變式是計數(shù)單位乘計數(shù)單位時產(chǎn)生了新的計數(shù)單位，抑或計數(shù)單位的個數(shù)乘計數(shù)單位的個數(shù)產(chǎn)生了新的計數(shù)單位的個數(shù)。由于除法的變式不能直接平均分，所以選擇較小的計數(shù)單位來解決問題。

通過變式，學(xué)生能夠初步體會小數(shù)和整數(shù)的四則運算的意義、算理、算法是一致的，明白抓住計數(shù)單位這個核心去思考是關(guān)鍵。

2.猜想分?jǐn)?shù)運算，展望未來 學(xué)生在剛才的過程中已然體驗整數(shù)和小數(shù)縱向和橫向運算一致性的產(chǎn)生過程。在“數(shù)的認(rèn)識”板塊還有分?jǐn)?shù)這一知識，學(xué)生在低學(xué)段時接觸過分?jǐn)?shù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生猜想分?jǐn)?shù)的運算。

[教學(xué)片段5]

提問：“猜一猜分?jǐn)?shù)的四則運算是否和整數(shù)、小數(shù)四則運算一樣，要圍繞計數(shù)單位進(jìn)行。說一說分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位又是什么。”讓學(xué)生圍繞計數(shù)單位展開猜想。

以猜想作為結(jié)尾，能夠為未來分?jǐn)?shù)四則運算的學(xué)習(xí)埋下種子，引導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，通過遷移學(xué)習(xí)厘清算理，最終形成完整的知識圖譜，構(gòu)建整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運算的一致性。

以上環(huán)節(jié)用計數(shù)單位貫穿教學(xué)整體，在變化中找不變，引領(lǐng)學(xué)生從縱橫兩條線體會運算一致性。

運算一致性以知識本質(zhì)為載體，串聯(lián)起零散的知識，構(gòu)建完整的知識體系。把握了運算的一致性，學(xué)生的自主遷移能力將會更強(qiáng)，學(xué)生對運算的理解也將更深刻。教師教學(xué)時不能急于求成，要靜待花開。

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（責(zé)編吳美玲）