立足統計意義：百分數的內涵探究與教學策略

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號] 1007-9068（2025）20-0018-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（全文簡稱《課程標準》）對百分數的內容做了調整，將其從“數與代數\"領域移至“統計與概率\"領域。自此，對于百分數內涵的深度理解及其在教學實踐中的進一步應用，成為眾多數學研究者與一線數學教師密切關注的熱點議題，同時其也構成了課堂教學實施中的難點所在（如在概念理解上容易產生模糊認知與歧義）。《課程標準》中多次提及“百分數”，其中5次明確指出了“百分數的統計意義”。那么，究竟什么是“統計”？什么是“統計意義”？“百分數的統計意義”又具體蘊含了哪些深層內涵以及如何設計并實施教學？

一、溯本清源：厘清\"統計”與“統計意義”的內涵

想要厘清“統計意義”的含義，首先應理解“統計\"的內涵?！冬F代漢語詞典》將“統計\"釋義為“總括地計算，或者指對某一現象有關的數據的搜集、整理、計算和分析等”?！渡鐣茖W大詞典》將“統計”進一步歸納為“統計是認識社會的一種有力工具。是根據調查項目，利用一定指標體系和方法，通過對經濟、社會現象數量的收集、整理、分析，對社會、經濟實行科學管理的一種手段”。在統計的相關學術研究中，亦有觀點認為“統計\"是在“質”與“量\"的辯證統一中，利用數量來研究社會現象和發展趨勢的重要工具，其泛指\"統計工作\"\"統計資料\"\"統計科學”，即統計的活動過程、統計的數字與文字資料、統計的知識體系。

簡而言之，從上述對“統計”的多維度闡釋中可以凝練出以下四點核心認識：其一，統計具有工具性價值，通過運用數據分析的手段，深人剖析、精準描述或科學推測特定社會現象；其二，統計的核心在于其數量性特征，其工作的焦點、內容及呈現的成果均緊密圍繞所收集、整理的數據而展開；其三，統計工作秉持科學性原則，其每一步的實施與推進都遵循一套完整、邏輯嚴密的理論框架與方法論體系；其四，統計得出的結論往往具有一定的不確定性，尤其是對復雜現象的本質歸納與未來趨勢的預測，難以做到絕對準確無誤。

綜合分析，對“統計意義”的理解應深植于“統計”概念的核心內涵之中，并在此基礎上進一步延展與深化。具體而言，“統計意義”應聚焦于揭示隨機數據的內在特征與其所蘊含的信息，通過運用一系列統計方法對數據進行分析與推斷，繼而進行預測或做出概率性的判斷。需強調的是，統計的結果往往具有一定的不確定性，因此需要通過概率和置信區間提供一個合理的量化范圍。由此可見，對于“統計意義”的認知理解和教學實踐，要回歸于對隨機數據的刻畫與表達。

二、概念辨析：“百分數\"及\"百分數的統計意義”

回顧百分數的發展歷史，其誕生于人類的商業活動之中，最初用以表示“每一百個單位所對應的具體數量”。在社會的發展與百分數概念的嬗變中，百分數逐步褪去了“量”的含義，開始聚焦于表達“兩個量的倍數關系”，這兩個量既可以是部分與整體的關系，也可以是相互獨立并列的關系。因而，將百分數稱為“百分率\"或“百分比\"更能凸顯其如今的內涵。值得強調的是，在部分學術文獻及一般認知中，存在將百分數誤歸為統計量的觀念，此觀念實則是對統計量概念理解的偏差。統計量作為統計學專業術語，是基于樣本數據計算得出且能夠揭示數據特定屬性的一系列量化指標，如平均數、標準差、中位數等。顯然，百分數作為一種表達兩個量的倍數關系的方式，其本身并不具備直接描述數據集中趨勢、離散程度等統計的特性功能。

在將“百分數\"與“分數\"進行概念辨析時，可以發現二者之間存在著既相互聯系，又相互獨立的關系。“百分數”與“分數”均能表達兩個量之間的倍比關系，也能夠以相對精確的方式表述不同量值之間的比例關聯。分數具備數的所有屬性和運算規則，可以獨立地參與各種數學運算。而百分數則更多地被視為一種特殊的比率表達形式，側重于描述某一個量相對于另一個基準量的百分比關系，其本質在于揭示這種相對性的大小。

根據百分數是表示兩個量的倍數關系以及結合前文對“統計意義\"與“數學意義\"的闡釋，可知當百分數描述的是確定數據時，其對應的是百分數的“數學意義”。如“衣服的原價是100元，現在打九折出售”，“九折\"表示折扣率為 90% 。這里的百分數反映的是實際需要支付的金額與原價之間的倍數關系，是兩個具體數據之間的比較，主要發揮了描述的作用，因此可稱為“描述統計”，不需要進一步推斷或估計。而當百分數描述的是隨機數據時，它所體現的則是“統計意義”。如“明天是晴天的概率為 80% ，表示在明天可能出現的各種天氣狀況中，晴天的可能性占據了 80% 。這里的百分數蘊含了對未來事件發生可能性的推斷，體現了百分數的“統計意義”。

深入剖析百分數的統計意義時，會發現百分數是基于現有數據與統計方法，對可能事件的預測與假設。它是從一種相對性的視角出發，在偶然中探尋規律，但又不能完全確信此規律“必然”發生，這背后所體現的就是典型的統計思維。由此也可以看出，統計思維是運用數據在解決問題的過程中逐漸形成的思維模式，其核心特征在于能夠理解并接納百分數的統計意義中所具有的特異性和不確定性，而非傳統線性思維中“非黑即白\"的二元對立模式。這種思維模式對于培育學生的理性思維以及提升他們解決實際問題的能力，具有極其重要的現實意義。

綜合分析，從百分數的統計意義切入教學，無疑是提升學生數據意識，培養其統計思維的理想路徑和期望趨向。

三、實踐路徑：基于“百分數的統計意義”的教學

（一）內化《課程標準》，解構學情

在《課程標準》中，百分數屬于“統計與概率\"領域里“數據的收集、整理與表達\"主題部分的內容，學段自標定位為：理解百分數的意義，了解隨機現象發生的可能性；形成數據意識和初步的應用意識。在教學中，教師應依托具體真實的情境，利用隨機數據引入百分數的教學，引導學生理解百分數既可以表達確定數據，也可以表達隨機數據，進而讓學生在探究中理解百分數的統計意義以及現實生活中的隨機現象。因此，基于《課程標準》的百分數的教學，一要創設相關的統計活動，讓學生在活動中體悟百分數的現實需要；二是加深學生對百分數的理解，尤其是對百分數統計意義（隨機數據的表達）的理解，從而滲透統計思維的培養，提升學生的數據意識。

從學生已有的知識體系出發，教材一般將“百分數”的內容編排在六年級，主要基于以下幾方面的考量。其一，學生在日常生活中已經積累了一定的關于百分數在表達確定數據（如羽絨服含絨量）和隨機數據（如天氣預報中的降雨概率）方面的認知；其二，學生在此之前已經系統地學習了分數和比的相關知識，深刻理解了分數和比都可以用來表示兩個量之間的倍數關系；其三，學生或多或少接觸過不確定現象或事件，學會了對其進行定性的判斷和描述，這為培養學生的統計思維奠定了堅實的基礎；其四，在學習平均數和各種統計圖表的過程中，學生已經通過收集與整理數據、分析數據并進行猜想形成數據意識。這些都為學生進一步學習百分數及其應用提供了生長點。

（二）靶向素養，確立目標

結合上述分析，首先，百分數的教學在于構建統計情境，以有效調動學生已有的知識，幫助學生建立百分數是兩個量的倍數關系的認識，避免“百分數”一詞中的“數\"字對學生的理解造成誤導；其次，基于統計意義（統計思維）理解百分數以及照應學生的實際，以“百分數表達確定數據”為基石，逐步拓展至“百分數刻畫隨機數據”，即從“數學意義”過渡到“統計意義”，使學生能夠依據數據來審視世界，進而提升數據意識。

關于百分數的教學可以梳理出如下教學目標和學習重難點。

【目標1在真實情境中體會百分數產生的必要性，會正確讀寫百分數，了解百分數與日常生活的密切聯系。

【目標2】在解讀數據的過程中，知道百分數是兩個量的倍數關系的表達，厘清“百分數”與“分數”的區別與聯系。

【目標3】在做出決策的過程中，感悟百分數的統計意義，認識現實世界中的隨機現象。

【目標4】在解決問題的過程中，養成用數據分析的習慣，形成數據意識和初步的應用意識

【重難點1】在真實情境和具體數據的分析中理解百分數的意義。

【重難點2】在做出決策中了解百分數的統計意義，并認識現實世界中的隨機現象。

（三）設計活動，實施教學

【活動1創設情境，引出百分數的使用

對于百分數的教學，《課程標準》在“教學提示”中建議利用現實問題中的隨機數據引入百分數，幫助學生了解百分數的統計意義。對此，在情境設計上，筆者借助當下備受歡迎的飛盤運動（包括拋盤和接盤兩個動作，接盤有兩種情況，沒有接住記為“失敗”，接住記為“成功”引出百分數（接盤率）。

（教師通過視頻介紹飛盤運動）

師：旭日小學六（1）班組織了飛盤比賽，1號選手成功接盤10次，2號選手成功接盤12次，他們誰的成績更好？

生1：2號選手成功接盤的次數多，他的成績更好。

生2：需要提供拋盤的次數才能比較。

（多數學生認同生2的想法）

師：1號選手成功接盤10次，共拋盤20次；2號選手成功接盤12次，共拋盤25次。

生（齊）：1號選手的成績更好。

（引導學生認識到通過單一的數據并不能判斷比賽的成績，需要通過相對數據才能進行比較。）

師：可以用什么數分別表示兩名選手的成績？

生3：可以用 表示1號選手的成績，用 表 （20號示2號選手的成績。

師：這兩個分數分別表示的意義是什么？

（這個問題將學生內隱的想法顯性化，同時也聯系了分數是表達兩個量的倍數關系的內涵。）

（緊接著，教師提供3號、4號12號選手的接盤、拋盤的數據，學生用分數表示各選手的成績。）

師：如何知道各選手的成績排名，以選出代表班級參加年級飛盤比賽的選手。

生4：可以將這些分數都通分成分母為100的分數，然后寫成百分數的形式來排名（見表1）。

（教學最后，由學生來書寫百分數和介紹百分數的讀寫法，同時認識百分號。）

在這個活動中，學生利用百分數對選手的成績進行排序，初步感悟到百分數相對分數不僅更方便比較大小，在表達上也更加簡潔明了。

【活動2】問題引領，在對比中深化理解

百分數教學的一個關鍵點在于幫助學生正確認識“百分數”與“分數”的聯系，然而學生極易認為百分數只是分母為100的分數，從而忽略了百分數作為一種相對數據的本質。因此，在教學中，教師應充分發揮學生的主體性，通過分析生活情境中百分數的實例，幫助學生逐步理解百分數的內涵，使學生在分數的辨析中加深對百分數的理解。

（在學生已經能夠正確讀寫百分數的基礎上，教師可以采用問題前置驅動的方式提出問題。）

師：是不是所有分母為100的分數都可以替換成百分數呢？

（學生結合飛盤比賽的情境，總結出百分數表示的是“一個數是另一個數的百分之幾”，即表示兩個量的倍比關系。）

師：分數除了表示兩個量的倍比關系，還有沒有其他的意義？

生1：分數還能夠表示具體的數量。如在日常

[教師出示生活中的百分數例子：電腦下載進度顯示為 75% 六（1）班今天的缺席率為 0% 一批零件的合格率為 99.9% 、果園今年的產量是去年的125%_o ]

師：百分數的大小可不可以大于 100% ？什么時候可以大于 100% ？

（學生通過對比分析，得出百分數可以分為兩種情況：當比較的兩個量是包含關系時，百分數最大為 100% ；當比較的兩個量是并列關系時，百分數可以大于 100‰ ）

該活動主要引導學生理解百分數表示的是兩個量的倍數關系，這兩個量之間既可以是包含關系，也可以是相互獨立的關系。

【活動3】認知進階，領悟“統計意義”內涵

基于百分數統計意義的教學，一定要關注到百分數對于隨機數據的表達，以及激發學生的辯證思維和邏輯思維，讓學生學會正確理解數據所蘊含與傳達的意義。結合活動1創設的情境，筆者設計了三個遞進式的問題。

師（問題1）：3號選手的接盤率為 72% ，是不是說明每拋100次飛盤，他都能成功接住72次？

生1：3號選手在每100次拋盤中，成功接盤的次數可能高于、等于或低于72次。

師（問題2）：4號和5號選手的接盤率都是

60% ，如果他們兩個再比一場，還會是平手嗎？

生2：4號和5號選手雖然在這一輪比賽中的接盤率都是 60% ，但由于影響比賽結果的因素很多，因此再比一場，并不能保證他們會打成平手。

師（問題3）：根據第一輪的比賽結果，你們覺得應該派哪個選手代表班級參加年級比賽呢？理由是什么？他的比賽成績能否代表這12名選手的最高水平？

生3：根據第一輪比賽的結果，8號選手的接盤率為 75% ，是參賽選手中成績最好的，應該選他參加年級比賽。

生4：我也同意選8號選手，他是這一輪發揮最好的。但是他這一輪的成績并不能代表這12名選手中的最高水平，如果再多比幾場，也許還會有更好的成績誕生。

師：你們說得真好！只有足夠多的比賽次數，才能產生更多的數據做參考，進而準確地評估選手的實力。

這三個遞進式問題的提出，實際上是為了驅動學生的統計思維，讓學生正確理解這里的百分數所表征的是對不確定事件發生可能性的量化預估，而非對實際結果的確定性描述

師（追問）：在用百分數表示選手的比賽成績與預測其未來比賽成績時，這兩種情境下的百分數有何不同？

生5：當表示選手的比賽成績時，所用的百分數是表示確定數據的比或倍數關系；當預測選手的比賽成績時，所用的百分數則表示數據的可能性大小。

教師通過這樣的追問，讓學生在對比與分析中不僅清楚地區分了百分數的數學意義與統計意義，還能培養科學嚴謹的數據意識。

（四）分層設計，實施評價

實施評價的目的在于了解學生學習目標的達成情況。對于百分數意義的評價設計，教師可以依托SOLO分類評價理論，從百分數表征兩個量的倍數關系，再到百分數刻畫確定數據，以及表達隨機數據的進階，按照學生學習活動的結果表現，分為“前結構層次\"“單點結構層次\"“多點結構層次\"\"關聯結構層次”“抽象拓展層次”五個評價等級（見表2），從而診斷學生對百分數理解的層次水平。

綜上所述，百分數作為代數與統計學交叉融合的關鍵概念，其統計意義的教學不僅關乎學生對數學知識的理解程度，更在塑造學生的統計思維模式和增強數據意識方面發揮著重要的作用。通過梳理統計的內涵，辨析百分數及其統計意義，并探索基于百分數統計意義的教學實踐路徑，旨在構建一種以學生為中心、注重情境創設、強調思維啟迪的教學方式；通過問題驅動，引導學生辨析百分數與分數之間的內在聯系；通過對比百分數所表示的兩個量之間的關系，強調百分數在不確定現象中的重要作用。這一路徑逐步深化了學生對百分數統計意義的理解，培養了他們嚴謹科學的統計觀念和敏銳的數據意識。同時，利用SOLO分類理論設計分層評價，為診斷學生對百分數的理解水平提供了一種可操作的方式。

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【本文系重慶市教育科學“十四五\"規劃2024年度青年課題“小學數學結構化教學模型的構建與實踐效能研究\"（課題編號：K24YY1100010）研究成果?！浚ㄘ熅?覃小慧）