基于麥穗理論的數(shù)學(xué)概率創(chuàng)新題探究

1 試題呈現(xiàn)

某商家推出一個(gè)活動：將 n 件價(jià)值各不相同的產(chǎn)品依次展示在參與者面前，參與者可以選擇當(dāng)前展示的這件產(chǎn)品，也可以不選擇這件產(chǎn)品，若選擇這件產(chǎn)品，該活動立刻結(jié)束；若不選擇這件產(chǎn)品，則看下一件產(chǎn)品，以此類推．整個(gè)過程參與者只能繼續(xù)前進(jìn)，不能返回，直至結(jié)束.同學(xué)甲認(rèn)為最好的一定留在最后，決定始終選擇最后一件，設(shè)他取到最大價(jià)值產(chǎn)品的概率為 P₁ ；同學(xué)乙采用了如下策略：不取前 k（1?k2

（1）若 n=4，k=2 ，求 P₁ 和 P₂ ;（2）若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m 件（1?m?n-k） ，求 P₂ ：（3）當(dāng) n 趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度（即 k ∈R ），求 P₂ 的最大值及 P₂ 取最大值時(shí) k 的值.（取

此題為湖北省部分市州2025年元月高三期末聯(lián)考第19題.該題背景是概率論中的麥穗理論，也叫“擇偶理論”，或者最優(yōu)停時(shí)理論．相傳，蘇格拉底的3個(gè)弟子曾求教老師，怎樣才能找到理想的伴侶，于是蘇格拉底帶領(lǐng)弟子們來到一片麥田，讓他們每人在麥田中選摘一支最大的麥穗，要求是不能走回頭路且只能摘一支.

1.第一個(gè)弟子剛剛走了幾步便迫不及待地摘了一支自認(rèn)為是最大的麥穗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)后面的大麥穗多的是.

2.第二個(gè)弟子一直在尋找最大的麥穗，直到終點(diǎn)才發(fā)現(xiàn)前面最大的麥穗已經(jīng)錯(cuò)過了.

3.第三個(gè)弟子把麥田分為三段，走過第一段麥田時(shí)，只觀察，在心中把麥穗分為大、中、小三類；走過第二段時(shí)，還是只觀察，驗(yàn)證第一段的判斷是否正確；走到第三段，也就是最后三分之一時(shí)，摘下第一支他遇到的屬于“大”類中的麥穗，然后走到終點(diǎn).

麥穗理論在湖北金太陽12月聯(lián)考第22題，24屆廣東汕頭一模T19考過，這三道題在表述上略有差異，其實(shí)質(zhì)基本是一致的，都是麥穗理論在生活中的實(shí)際運(yùn)用.

2 試題解答

（1）由題意知

依題意，4個(gè)產(chǎn)品的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有 A₄⁴= 24 種情況，同學(xué) B 要取到最貴價(jià)值產(chǎn)品，有以下兩種情況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有 A₃³=6 種情況：最貴價(jià)值產(chǎn)品是第4個(gè)，第二貴價(jià)值產(chǎn)品是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有 2A₂²=4 種情況，所以所求概率

（2）（法一）若考慮全部產(chǎn)品排序，價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m 件，共有 （n-1） ！種排法，先從 n ^-1 件產(chǎn)品中挑 （k+m-1） 件產(chǎn)品出來，其中價(jià)值最大的產(chǎn)品放在前 k 件，剩下的全排列，共C_n-1^k+m-1k（k+m-2） ！種排法，剩下的 （n-k-m） 件產(chǎn)品全排列，即

（法二）若價(jià)值最大的產(chǎn)品是第 k+m 件，則乙同學(xué)能取到該產(chǎn)品，只需要前 k+m-1 件產(chǎn)品中價(jià)值最大的產(chǎn)品排在前k 件，即P2= k +m-1

記事件 A 表示最貴價(jià)值產(chǎn)品被乙同學(xué)取到，事件 B_i 表示最貴價(jià)值產(chǎn)品排在第 i 個(gè)，則 P（B_i）= ，由全概率公式知 ，當(dāng) 1?i?k 時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品在前 k 個(gè)中，不會被取到，此時(shí) P（A∣B_j）=0 ;

當(dāng) k+1?i?n 時(shí)，最貴價(jià)值產(chǎn)品被取到，當(dāng)且僅當(dāng)前 i-1 件產(chǎn)品中最貴的一個(gè)在前 k 個(gè)之中，此時(shí) ，因此

令 ，求導(dǎo)得 g^′（x）= （2041n-1，由g'（x）=0，得x= 』，當(dāng)x∈ 時(shí)， g^′（x）gt;0 ，當(dāng) 時(shí)， g^′（x）lt; 0，即函數(shù) g（x） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，則 ，于是當(dāng) k 時(shí)， n取得最大值.所以P的最大值為 ，此時(shí) k 的值為

3 拓展訓(xùn)練

例1（24屆湖北金太陽12月聯(lián)考T22）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭．結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫模詻]有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會遇到 n 顆麥穗（假設(shè) n 顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥穗，現(xiàn)有如下策略：不摘前k（1?k

（1）若 n=4 ， k=2 ，求 P ;

（2）若 n 取無窮大，從理論的角度，求 P 的最大值及 P 取最大值時(shí) χ_t 的值

解析（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有 A₄⁴=24 種情況.要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：

① 最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有 A₃³=6 種情況.

② 最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第

1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有 2A₂²

=4 種情況．故所求概率為 ：

（2）記事件 A 表示最大的麥穗被摘到，事件 B_j 表示最大的麥穗在麥穗中排在第 j 顆．因?yàn)樽畲蟮哪穷w麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以 ．以給定所在位置的序號作為條件，

當(dāng) 1?j?k 時(shí)，最大的麥穗在前 k 顆麥穗之中，不會被摘到，此時(shí) P（A|B_j）=0 ：

當(dāng) k+1?j?n 時(shí)，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前 j-1 顆麥穗中的最大的一顆在前 k 顆麥穗中時(shí)，此時(shí) P（A｜Bj）= 由全概率公式知

令 ，令 g^′（x）=0 ，則 ，當(dāng) 時(shí)，g^′（x）gt;0 ，當(dāng) 時(shí)， g^′（x）lt;0 ，所以g（x） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．所以 ．所以當(dāng) 時(shí)取得最大值，最大值為 ，此時(shí) Ψ_t ，即 P 的最大值為 ，此時(shí) χ_t 的值為 例2（24屆廣東汕頭一模T19）2023年11月我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動.我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮模詻]有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會遇到 n 顆番石榴（不妨設(shè) n 顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前 k （ 1?k

（1）若 n=4，k=2 ，求 P ;

（2）當(dāng) n 趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度，求 P 的最大值及 P 取最大值時(shí) χ_t 的值

解析（1）依題意，4個(gè)番石榴的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有 A₄⁴=24 種情況，要摘到那個(gè)最大的番石榴，有以下兩種情況：

① 最大的番石榴是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有 A₃³=6 種情況：

② 最大的番石榴是最后1個(gè)，第二大的番石榴

是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有 2A₂²

=4 種情況，所以所求概率為 （2號 ：

（2）記事件 A 表示最大的番石榴被摘到，事件B_i 表示最大的番石榴排在第 i 個(gè)，則 由全概率公式知： （2

當(dāng) 1?i?k 時(shí)，最大的番石榴在前 k 個(gè)中，不會被摘到，此時(shí) P（A|B_i）=0 ;

當(dāng) k+1?i?n 時(shí)，最大的番石榴被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前i-1個(gè)番石榴中的最大一個(gè)在前 k 個(gè)之中時(shí)，此時(shí)P（A丨B）=-T

因此 .令 （xgt;0），則g'（x）=↓n-.由g'（x）=0得χ=.當(dāng)x∈（0，）時(shí)， g^′（x）gt;0 ；當(dāng) 時(shí)， g^′（x）lt;0 ，即函數(shù) g（x） 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，則 ，于是當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，所以 P 的最大值為 ，此時(shí) χ_t 的值為

評注此題全概率公式是將復(fù)雜事件 A 的概率求解問題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率求和.

麥穗理論實(shí)際上要解決的是一種“最優(yōu)停止問題”．這種問題一般有兩個(gè)特點(diǎn)：一是我們并不清楚我們會遇到什么樣的可選方案，只有看過了才知道，即未來不可知.二是一個(gè)可選方案一旦被錯(cuò)過了不能再回頭去選，即不能反悔

生活中其實(shí)很多事情都是類似的問題，麥穗理論里有一個(gè)觀望的“最優(yōu)停止”的時(shí)間點(diǎn)，也因此這類問題被稱為“最優(yōu)停止問題”.