數學思想方法類單元教學的實踐與思考

1數學思想方法類單元教學的研究背景

當前，基礎教育領域的課程改革圍繞“立德樹人”教育根本任務，發布新的課程方案和課程標準[1-3]，倡導“單元教學”“跨學科教學”“項目式學習\"等新型教學方式[47]，旨在培養學生的綜合實踐能力與核心素養[8-I].其中，單元教學在短期內即取得了大量研究，查詢中國知網可知：僅2019—2023這五年《數學通報》就發表單元教學的文章30多篇，而此前數十年《數學通報》發表相關文章不過10余篇.這些研究既包括理論層面的一般探討（如單元教學的概念特征、發展歷程、理論依據、實施策略等），也包括實踐層面的具體操作（如單元教學的單元分類、設計實施、評價反饋等）[12].當然，也不乏研究者對單元教學的冷靜思考與辯證分析[4].

筆者發現，已有研究側重教材某一章節教學內容的重組、側重數學知識技能類的單元教學，較少關注跨年級、跨學段教材的重組，較少關注數學思想方法類的單元教學.這就窄化了單元教學的功能和意義，削弱了數學思想方法的教學地位和育人價值.數學思想方法類單元教學需要研究與實踐.

事實上，已有研究者借鑒課程的分類法（階梯型課程、項目型課程），將學習單元分為階梯型、項目型（問題解決型）兩大類，并將階梯型劃分為知識技能類、思想方法類，如圖1所示[13].這種分類契合了數學課程標準所提出的數學“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗.圖1還顯示，知識技能類的學習單元可以較多地依據教科書的章節自然劃分成單元，而思想方法類的學習單元則需要教師較多地進行跨章節的創造性重組.

2數學思想方法類單元教學的實施流程

不同類型的學習單元所對應的單元教學流程有較大差異，這里給出數學思想方法的含義及其單元教學的實施流程.

數學思想方法是對數學知識內容及其所使用方法的本質認識.它蘊涵于具體的內容與方法之中，又經過了提煉與概括，成為理性認識.它直接支配數學教學的實踐活動，數學概念的掌握、數學理論的建立、解題方法的運用、具體問題的解決，無一不是數學思想方法的體現和應用[14].

重視數學思想方法的教學是我國數學教育的特色與傳統.數學思想方法既可以在數學知識技能的教學中進行滲透，也可以通過專題式教學進行系統學習，也就是思想方法類單元教學.南京師范大學喻平教授給出了數學思想方法類單元教學的一般流程，如圖2所示[12]

（1）首先是確定數學思想方法.數學思想方法本身也是極為系統的一門學科，其層次各異、種類繁多.教師要結合具體的數學知識與技能、待解決的大量數學問題，精選相應的數學思想方法.因為數學思想方法不可能脫離知識技能而單獨存在，它的適用對象也不可能只是少數問題（否則就不稱其為思想、方法了）.

（2）然后圍繞確定的數學思想方法設計或配置相應的題組（或稱問題串、問題鏈），開展變式教學.要注意題組的典型性與層次性，既要以一當十又要拉開梯度，防止題海戰術與機械重復訓練.

（3）接下來是師生共同解決問題的環節.與其他數學課相比，思想方法類單元教學的這一環節有其獨特優勢，因為解決問題的“金鑰匙”已經明確了，就是所講的數學思想方法；解決問題的“腳手架”已經搭好了，就是所選的題組（問題串、問題鏈）.因此，這一環節可充分發揮學生的主體性與創造性，教師作適當引導與點撥，讓學生充分感受“勢如破竹”“攻城奪地”的學習成就，感悟數學思想方法的威力與魅力.

（4）最后的回顧總結環節必不可少，教師要引導學生領悟數學思想方法是數學發展和數學問題解決的根本力量，獲得對數學思想方法的整體理解，既包括其普適性也包括其局限性（沒有萬能的思想、方法）.

3數學思想方法類單元教學的設計案例

數學思想方法是數學的精髓.根據廣大教師教學經驗，中學數學最常見的思想方法包括分類討論、數形結合、函數與方程、轉化與化歸等.下面以“數形結合”為例，開展數學思想方法類單元教學的實踐與思考.

3.1 確定數學思想方法

數形結合是一種重要的數學思想方法，笛卡兒通過直角坐標系把平面上的點與數對應起來，創立了解析幾何，這是數學上的一個重大突破.華羅庚的名言“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”，其實就是數形結合數學思想方法的使用指南.

鑒于數形結合的重要價值及其工具（橋梁）的多樣性，以及對數學抽象、直觀想象等數學核心素養培育的獨特作用，筆者在高三數學復習備考階段利用2課時開展“數形結合”思想方法類單元教學的實踐

3.1.1 內容分析

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，數與形是中學數學中被研究得最多的兩個側面.數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，它把代數方法與幾何方法中的精華都集中了起來，既發揮代數方法的一般性、解題過程的程序化與機械化優勢，又發揮幾何方法的形象直觀特征，形成一柄雙刃的解題利劍.數軸和坐標系，函數及其圖象，曲線及其方程，復數及其復平面，向量，以及坐標法、三角法、構造圖形法等都是數形結合的輝煌成果.具體解題中的數形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現，又進行代數抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單地代數問題用幾何方法或幾何問題用代數方法（這兩方面都只是單流向的信息溝通），只有雙流向的信息溝通才是完整的數形結合[14].

《高中數學課程標準（2017年版）》明確指出，“數形結合”是“直觀想象”核心素養的主要表現[1]6；“幾何與代數”是高中數學課程的主線之一，要突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解[1]25.這就確立了“數形結合”的課程意義.

3.1.2 學情分析

學生對數形結合思想方法并不陌生，從小學數學的畫格子、畫線段圖解決問題，到初中數學的用幾何圖形驗證代數中的乘法公式以及設未知數求解平面幾何中的線段、角度問題，再到高中數學的函數（解析式與圖象）解析幾何（曲線與方程）等內容的學習，學生都接受了數形結合思想方法的熏陶.但學生對數形結合思想方法的具體含義還不明了，對數形結合的常用工具（或橋梁）還不清晰，更沒有形成系統性、結構化的認知.

3.1.3 教學目標

根據上述內容分析及學情分析，將本次“數形結合”單元教學的教學目標設定為：

① 理解數形結合的基本含義、基本形式（以形釋數、以數解形）、常用工具，能應用數形結合解決一些典型的問題;

② 經歷數形結合解決中學數學問題的一般過程，積累數學思想方法的學習、研究與應用經驗；

③ 感悟代數與幾何的聯系，認識數學的整體性，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.

3.2 圍繞方法設計題組

數形結合不但可以溝通數學的不同分支，而且聯想豐富、構思巧妙，對思維能力要求較高.數學問題千變萬化，數形結合往往藏于無形.為降低思維難度、增加思維附著點，筆者按“代數問題幾何化”“幾何問題代數化”兩個方向進行題組設計.題組素材貫穿初高中兩個學段，主要來自教材例題習題、中高考題.從題組素材來看，“數形結合”是貫穿初高中數學的一個大概念、大觀念，是初高中數學銜接教學的重要工具，是促進學生形成初等數學深度理解與整體認知的有效途徑.

3.2.1 代數問題幾何化

一些代數問題，通過幾何圖形、數軸、坐標系、函數圖象等工具，可以轉化為幾何問題，從而通過幾何直觀或幾何推理獲解，即所謂的“以形釋數”.

（1）等式、方程、函數問題

問題1-1與同桌一起合作學習，回憶初中以來用幾何圖形解釋數學公式（等式）的案例（不少于3個）.

問題1-2（蘇教版必修一第14頁例2）學校舉辦了排球賽，高一（1）班45名同學中有12名同學參賽.后來又舉辦了田徑賽，班上有20名同學參賽.已知兩項都參賽的有6名同學.兩項比賽中，高一（1）班共有多少名同學沒有參加過比賽？

問題1-3 （蘇教版必修一第253、254頁第4、15題改編）

（i）函數 f（x）=log₂x-x+1 的零點是（ii）若關于 x 的方程 x-a∣=ax 有兩個解，則實數 α_a 的取值范圍是

問題1-4 歐幾里得《幾何原本》記載，形如 x²+ ax=b²（agt;0，bgt;0） 的方程的圖解法是：如圖3，作RtΔABC ，使 ∠ACB=90^° ， ，再在斜邊

圖3

AB 上截取 ，則該方程的一個正根是）.

A. CD 的長 B.AC的長C.AD 的長 D.BC 的長

設計意圖這組題首先通過合作學習激活學生的學習基礎與認知經驗，然后引導學生通過“以形釋數”解決等式、方程、函數問題，涉及的“數形結合”工具包括文恩圖、函數圖象、直角三角形等.

（2）不等式問題.

問題2-1 （蘇教版必修一第75頁第16題改編）對任意兩個正數 ^a，b ，求證

問題2-2（蘇教版必修一第193頁第21題）已知銳角 x （單位是弧度），比較 的大小關系.

設計意圖 這組題引導學生通過“以形釋數”解決不等式問題，涉及的“數形結合”工具包括幾何圖形（梯形或圓）、三角函數線等.

（3）最值問題.

問題3-1（滬教版必修一第43頁例17改編）已知 x 為實數，則 |x-3∣+|x-5∣ 的最小值是

問題3-2 如果直線 是實數）與定直線 y=2x-4 的交點在第三象限，則 m 的取值范圍是

問題3-3 ① 如果正實數 ^a，b 滿足 a+b=3 ，則 的最小值是

② 代數式 的最小值是

設計意圖 這組題引導學生通過“以形釋數”解決最值（取值范圍）問題，涉及的“數形結合”工具包括數軸、直角坐標系、勾股定理等.

3.2.2 幾何問題代數化

有些幾何問題，通過坐標法、三角法、向量法、復數法、方程法等，可以轉化為代數問題，從而通過代數運算或推理求解，即所謂的“以數解形”.

（4）坐標法.

問題4（2022年北京市高考題）在 ΔABC 中，AC=3，BC=4 ， ∠C=90^°. （204號 P 為 ΔABC 所在平面內的動點，且 PC=1 ，則 的取值范圍是（ ）.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

（5）三角法.

問題5 如圖4，等腰直角三角形 ABC 中， AB= AC=1 ，點 P，Q 分別在線段_AC，BC 上移動，且 PQ⊥ BP ，則 BQ 的最小值是

圖4

（6）向量法.

問題6 （人教版必修

二第39頁例2）已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線 AC 和 BD 的長度與兩條鄰邊 AB 和 AD 的長度之間存在的數量關系嗎？

（7）復數法.

問題7 （2022年黃岡市中考題）如圖5，已知點 A 的坐標為（3，0），點 B 在 y 軸的正半軸上，將線段_AB 繞點 A 順時針旋轉 120^° 到線段AC，若點 C 的坐標為 ^（7，h） ，則 h=

圖5

圖6

（8）方程法.

問題8 如圖6，已知 _?o 是正方形ABCD的外接圓， P 是弧 ADC 上任意一點，求證： （1）PA+PC= （20號

設計意圖這組題引導學生通過“以數解形”解決幾何問題，涉及的“數形結合”工具包括坐標法、三角法、向量法、復數法、方程法等.

3.3 師生共同解決問題

由于本次單元教學解決問題的思想方法已經聚焦在“數形結合”，思考問題的方向比較明確（“以形釋數”或“以數解形”），學生在教師的引導下開展合作學習，能“跳一跳”完成以上題組的全部解答.受文章篇幅限制，這里略去所有問題的解答過程.

3.4 回顧反思總結規律

本次單元教學設計的題組覆蓋了中學數學的主干內容，無論是傳統的代數內容還是兼具代數與幾何雙重特征的向量、復數等近現代數學內容，都展現了數形結合思想方法的科學價值、應用價值、文化價值、審美價值[1]8.當然，其他數學領域的問題也有數形結合思想方法的用武之地，限于篇幅，不再舉例題組的解決讓學生對數形結合思想方法有了更加深刻的認識.在教師的引導下，學生對數形結合思想方法的問題情境（問題類型）、實現路徑、工具（橋梁）進行了梳理，獲得了整體性和結構化的思維認知（如表1）.

評價與反思是教學工作中的重要一環，其主要目的是促進學生發展、改進教師教學.新課標背景下的單元教學，更應發揮評價的功能.單元教學評價不僅包含單元作業以及單元測試的評價，還應關注課堂過程性評價、項目成果評價等維度.評價主體不應局限于傳統的教師評價，也應有學生自評、生生互評等多元主體.對于課堂過程性評價，應制定具體、明確、可測的評價指標，關注學生對學習內容的理解、對學習結果的呈現、學習中的思維與行為表現等維度.為實施本次“數形結合”單元教學的課堂評價，筆者編制了評價表（如表2）.

表1數形結合的整體性和結構化認知

表2單元教學課堂評價表

表2能幫助教師獲得超越常規教學經驗的評價結果，從而客觀地評價學生的學業質量、激發學生的學習情感；還能幫助教師主動地發現教學設計及教學過程的優勢與不足并積極改進，比如通過單元作業及其評價鞏固教學、升華教學（限于篇幅，略去本次單元教學的作業設計環節）.

4數學思想方法類單元教學的實踐啟示

數學思想方法是數學教學的重要內容，是數學核心素養的重要載體.反思本次“數形結合”單元教學實踐，我們可以獲得以下幾點啟示：

4.1數學思想方法的顯隱結合是單元教學的基本模式

關于數學思想方法的教學，歷來有兩種模式：一是將數學思想方法融入具體數學知識與技能的教學當中去，教師適時點撥，潤物細無聲；二是將若干種數學思想方法進行對照，旗幟鮮明地引導學生識別與應用相應的數學思想方法.數學思想方法類單元教學是對這兩種模式的綜合：既隱性滲透，又顯性應用（顯隱結合）.具體來說就是單元教學問題（形式為題組、問題串、問題鏈等）是數學思想方法的載體，數學思想方法滲透其中，需要教師點撥、學生領悟；單元教學問題也是數學思想方法的表演舞臺，數學思想方法在解決問題的過程中往往勢如破竹、大放異彩.

4.2 數學思想方法的基本屬性是單元教學的設計基礎

只有認識數學思想方法的基本屬性，才能將數學思想方法與數學核心素養進行關聯，進而設計適切的單元教學問題（題組），讓學生體驗深刻、思維留痕.比如，數形結合思想方法的基本屬性包括：“數式性與圖形性的統一”，這是其信息類別屬性；“直覺性與邏輯性的統一”，這是其思維品質屬性；“單向性與雙向性的辯證”，這是其信息流向屬性；“漸進性與躍遷性的辯證”，這是其信息跨度屬性；“單次性與多次性的辯證”，這是其使用頻次屬性；等等[15].本次“數形結合”單元教學的每一個問題都暗合了其中若干個基本屬性.

4.3 數學思想方法的教學策略是單元教學的實施依據

作為特殊的教學對象，數學思想方法的教學策略與數學“雙基\"（基礎知識、基本技能）的教學策略有所差異.數學思想方法是數學活動實踐經驗的概括，是一種文化傳承和發展.實踐是產生思想方法的源泉，概括是產生數學思想方法的關鍵，數學思想方法的概括是對具體方法的一般化、程序化和模式化加工過程.數學思想方法的學習需要經歷模仿體驗、提煉總結、運用鞏固和聯系發展等四個基本階段.因此，其教學策略包括在數學活動中滲透、在反思總結中概括、在運用訓練中鞏固、在相互聯系中發展等四種[16].本次“數形結合”單元教學的實施流程正是這些教學策略的具體應用.

數學思想方法來源于數學知識又高于數學知識，與之相應的單元教學理應受到重視，期待有更多的數學思想方法類單元教學案例誕生.夯實數學“四基”教學，引導學生領悟數學思想方法是數學發展和數學問題解決的決定性力量，加強學生對數學思想方法的整體理解和辯證思考（既包括其普適性，也包括其局限性），從而真正提升學生的數學核心素養.

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作者簡介李建新（1979—），男，江蘇泰興人，中學高級教師，泰州市學科帶頭人，江蘇省教學名師，江蘇省333工程高層次人才培養對象；研究方向為中學數學教學；有多篇論文發表.