立體幾何教學(xué)拾錦

楊清洲

【摘要】立體幾何的研究對象是立體圖形,它是平面幾何的延伸和拓展,是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐認(rèn)真剖析了學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何時遇到的兩個問題，并總結(jié)介紹了自己在講授這一知識模塊時的經(jīng)驗方法.

【關(guān)鍵詞】空間想象力；邏輯思維能力；轉(zhuǎn)化；分類；歸納；類比オ

立體幾何是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，學(xué)習(xí)這一部分的知識對于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、邏輯思維能力有著極其重要的意義.但由于學(xué)生原有的立體幾何知識的欠缺，空間想象力有限，學(xué)習(xí)方法的不恰當(dāng)，都給學(xué)習(xí)這部分知識帶來了相當(dāng)大的困難，這同時也給我們教師如何講授立體幾何提出了一個重要課題.筆者經(jīng)過長期的教學(xué)實踐與研究總結(jié)出自己的一些體會與方法.

一、立體幾何教學(xué)中學(xué)生常出現(xiàn)的兩個問題

1.混淆立體圖形與平面圖形——欠缺空間想象能力

立體幾何的題目大多是在“直觀感知，加以確認(rèn)”的基礎(chǔ)上得到結(jié)論的.但是學(xué)生由于受初中平面幾何的影響，頭腦中難以對立體圖形形成較為準(zhǔn)確、直觀的認(rèn)識.表現(xiàn)在做題時不會畫圖或畫出圖來也不易辨認(rèn)，甚至作出錯誤的圖形，誤導(dǎo)了解題.例如，在立體圖中找兩條異面直線時，個別學(xué)生總是把相交直線與異面直線混淆；在求二面角平面角時，部分學(xué)生找不到或畫不出二面角的平面角，等等.所以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力是立體幾何教學(xué)的首要任務(wù).

2.概念模糊，定理理解不透徹——欠缺邏輯推理能力

學(xué)生對教材中的概念理解模糊，不夠深入，一味地死記硬背，不能很好地分析概念的內(nèi)涵與外延，特別是易混概念間的區(qū)別和聯(lián)系.例如，在學(xué)習(xí)直線與平面垂直的定義時，有些學(xué)生誤以為“一條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，就一定垂直于該平面”，錯誤的原因在于學(xué)生對“線面垂直”的實質(zhì)理解不清，混淆了“無數(shù)條”和“任意一條”的含義.

對定理、公理的理解和掌握不扎實，不透徹，部分學(xué)生在做證明題時經(jīng)常出現(xiàn)邏輯推理不夠嚴(yán)密，定理、公理運(yùn)用混亂的現(xiàn)象，甚至以主觀臆斷代替嚴(yán)密的邏輯推理，導(dǎo)致了這部分學(xué)生應(yīng)用定理分析問題、解決問題的能力不強(qiáng)，面對立體幾何的證明題時不知從何下手.例如，在證明線面垂直時，知道要根據(jù)線線垂直來證，卻不知道如何通過步步推理來完成解題過程.所以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也是當(dāng)前立體幾何教學(xué)的重要任務(wù).

二、針對立體幾何教學(xué)中出現(xiàn)的問題，筆者提出了自己的幾種做法

（一）注重對學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)

1.借助模型，提高學(xué)生的觀察力

空間想象力的培養(yǎng)，首先就要多看，看得多了，才能心領(lǐng)神會，做到感知和理解相結(jié)合.因此，“看”是培養(yǎng)空間想象能力、學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵.一是看生活中的實物模型，如講授“直線與平面的位置關(guān)系”時，讓學(xué)生觀察教室內(nèi)的日光燈管（直線）、墻角線（直線）等與墻面（平面）、桌子面（平面）、書本面（平面）等之間的關(guān)系.二是看教具模型，如講授“多面體”時，就要充分利用教具模型，要求學(xué)生學(xué)會全面地觀察模型，不斷提高觀察力，讓他們在觀察中了解多面體的結(jié)構(gòu).這樣學(xué)生就能把看似復(fù)雜的知識很輕松地消化吸收，同時也提高了學(xué)生的空間想象能力.

2.勤于動手，提高學(xué)生的繪圖能力

教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生畫圖，可以先從簡單的圖形或幾何體入手，由對照模型畫圖，到逐步學(xué)會熟練正確地畫出空間圖形的直觀圖，通過學(xué)生畫立體圖形來加強(qiáng)他們對空間幾何體的了解，從而培養(yǎng)學(xué)生繪圖的能力，這樣也有助于提高學(xué)生的空間想象能力.

3.善于演示，提高學(xué)生的識圖能力

學(xué)生不但要會畫圖，更要會識圖，指導(dǎo)學(xué)生充分利用身邊的物品，如筆（代表直線）、課本（代表平面）、桌面（代表平面），運(yùn)用這些身邊的事物隨時加以演示，提高學(xué)生的識圖能力.如在研究“過平面外一點(diǎn)有多少條直線與這個平面平行？”“過直線外一點(diǎn)有多少個平面與這條直線平行？”的問題時，讓學(xué)生親手演示一下自己發(fā)現(xiàn)答案，要遠(yuǎn)比老師的講授效果更好，學(xué)生在加深知識的理解的同時，也發(fā)展了學(xué)生對立體圖形的解讀能力，提高了學(xué)生的空間現(xiàn)象力.

（二）注重對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)

1.梳理總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力

立體幾何解題過程中，很多題目的解法與思路常有一定的規(guī)律性.因此，學(xué)生一定要善于總結(jié)提煉，歸納出不同類型題目的解題方法，做到舉一反三、觸類旁通.例如，要求證線線垂直（平行）或線面垂直（平行）都最終轉(zhuǎn)化為證線線垂直（平行）；求面與面的距離先轉(zhuǎn)化為求線與面的距離，再轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與面的距離；在立體圖形中求角問題可歸納為：求角先找角，三角形中解決，正（余）弦定理常用.教師在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納這些解題方法與思路的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的歸納能力.

2.幫助學(xué)生建立起立體幾何知識體系

學(xué)生解題時感到無法下手的一個重要原因是對知識模糊不清，掌握不牢固.立體幾何概念、定理特別多，這就需要老師引導(dǎo)學(xué)生理順知識框架，梳理知識結(jié)構(gòu).教師可以先給出知識主干：一個基礎(chǔ)、兩種關(guān)系、三個角、四個距離.然后引導(dǎo)學(xué)生添枝加葉，考慮：“一個基礎(chǔ)”是什么？（就是四個公理、三個推論）“兩種關(guān)系”是什么？（“兩種關(guān)系”就是平行關(guān)系、垂直關(guān)系.其中平行關(guān)系又包括線線平行、線面平行、面面平行；垂直關(guān)系又包括線線垂直、線面垂直、面面垂直）“三個角”是什么？（兩條異面直線組成的角，直線和平面組成的角，兩個平面組成的角）……在教師給出知識主干的情況下，引導(dǎo)學(xué)生添枝加葉，對整個章節(jié)進(jìn)行再整理，串聯(lián)起所有知識點(diǎn)，建立起立體幾何的知識體系，由此也提高了學(xué)生的邏輯推理能力.

（三）重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用

1.轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法是立體幾何中最常用的一種方法，在立體幾何教學(xué)中幫助學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的思想方法也是一項重要的教學(xué)目標(biāo)，教師在課堂教學(xué)中要時時滲透這種數(shù)學(xué)思想.例如，“面面垂直”問題通常轉(zhuǎn)化為“線面垂直”，而“線面垂直”又可以轉(zhuǎn)化為“線線垂直”；“面面成角”通常轉(zhuǎn)化為“線面成角”，而“線面成角”通常又可以轉(zhuǎn)化為“線線成角”，等等.在立體幾何的教學(xué)中，教會學(xué)生善于“轉(zhuǎn)化”，事實上是教會了他們一種學(xué)習(xí)方法，提高了他們運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，同時也培養(yǎng)了他們的邏輯思維能力.

2.分類的思想方法

分類的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本方法，幫助學(xué)生掌握分類的思想方法也是立體幾何教學(xué)的一項重要任務(wù)，教師需引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行分類總結(jié).如：把直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面間的位置關(guān)系、平面與平面間的位置關(guān)系歸為一類，把兩條異面直線的夾角與二面角分為一類……教學(xué)中，不失時機(jī)地揭示并幫助學(xué)生運(yùn)用分類的思想方法，有助于學(xué)生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識，亦有益于訓(xùn)練思維的條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展思維能力.

3.類比的思想方法

立體幾何教學(xué)中，類比的思想方法也經(jīng)常被采用，由學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的平面幾何知識通過類比遷移到立體幾何，能夠加深學(xué)生對立體幾何知識的理解，便于對新知的掌握.例如，由平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可類比出空間內(nèi)平行于同一個平面的兩個平面互相平行；由平面內(nèi)平行四邊形的性質(zhì)可類比得到空間內(nèi)平行六面體的類似性質(zhì)；“線線垂直”與“面面垂直”，平面內(nèi)的三角形與空間中的四面體均有較多的類比性質(zhì)等.在立體幾何教學(xué)中幫助學(xué)生掌握類比的思想方法，對不同模塊知識進(jìn)行比較，不僅可以鞏固舊知識，加速對新知識的理解和掌握，還能開拓學(xué)生的思維空間，誘發(fā)學(xué)生的靈感，溝通知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).