談二次函數性質的妙用

陳芳

〔關鍵詞〕 數學教學；二次函數；性質；不等式

〔中圖分類號〕 G633.62 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）02—0089—０1

我們知道，二次函數是一個極為重要的初等函數，在中學數學中，許多問題都可以借助于二次函數來解決.

根據二次函數的圖象可知它有這樣的性質：對于二次函數f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，則Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，則f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函數f（x）= ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點，則Δ=b2－4ac>0.

下面應用上述性質來證明一些不等式.

一、用性質（Ⅰ）來證明不等式，就是設法構造一個二次項系數為正數的二次函數，并使得f（x）≥0，從而由Δ≤0推出所需證的不等式

例1：（柯西不等式）設a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為任意實數，求證（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），當且僅當==…=時，等號成立.

證明：作關于x的二次函數f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.

（1） 若a12+a22+…+an2=0，則a1=a2=…=an=0 ，顯然不等式成立；

（2） 若a12+a22+…+an2≠0，則有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.

當且僅當==…=時，等號成立.

二、應用性質（Ⅱ）來證明不等式，就是把要證明的不等式表示成關于某一字母的二次三項式（使二次項系數大于零），再推證其Δ≤0，由此判定所要證的不等式成立

例2：設x、y、z∈R，求證：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

證明： 設f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，∴f（x）≥0，∴x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.

例3：求證：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

證明：設f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是關于a的二次函數，且二次項系數大于零，則Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，∴f（a）≥0，∴a2＋b2＋5≥2（2a－b）.

例4：設x、y、z∈R，且＋＋＝，求證x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

證明： 設f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =

-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，∴f（x）≥0， ∴x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.

三、應用性質（Ⅲ）來證明不等式，就是構造一元二次函數，再推證其一元二次函數與x軸有兩個交點，由Δ=b2－4ac>0判定所要證的不等式成立

例5：實數a，b，c滿足（a+c）（a+b+c）<0，求證：（b-c）2>4a（a+b+c）.

證明：由已知得當a=0時，b≠c，否則與（a+c）（a+b+c）<0矛盾. ∴當a=0時（b-c）2>4a（a+b+c）.當a≠0時，構造一元二次函數f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c） ，則有f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c）.而f（0）f（-1）=2（a+c）（a+b+c）<0，∴二次函數f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c）與x軸有兩個交點， ∴Δ=（b-c）2-4a（a+b+c）>0，∴（b-c）2>4a（a+b+c）.

編輯：劉立英