在中學數學教學中發展學生的數學思想

莊慧鴻

摘 要： 數學教學是中學教育教學中不可或缺的一部分，它對中學生的知識、能力和價值觀的發展起到非常重要的不可忽視的作用。數學思想和數學觀點在一定程度上影響學生的思維方式和生活方式，它是數學學習的精髓和內涵所在。因此要重視在中學數學教學中發展學生的數學思想。

關鍵詞： 中學數學教學 數學思想 集合思想 系統思想 對應思想

數學思想的內涵是豐富而有層次的，具體而言可以分為以下幾個方面。第一，數學思想是對數學最本質的和最核心的認識，包括對數學的基本概念、基本邏輯思想、基本的方法和數學在整個學科中的位置和重要性的認識；第二，數學思想指的是引導學生用數學的邏輯和思維思考生活中的問題，用數學的方法轉化和解決生活中的實際問題，掌握數學發展的一般規律和數學知識的規律性。比較上述說法，對數學思想的含義作如下概括：數學思想是指在數學活動中解決問題的基本觀點和根本想法，是對數學概念、命題、規律、方法和技巧的本質認識，是數學中的智慧和靈魂。

一、數學思想的幾次重大突破

（一）從算術發展到代數是數學思想的一次重大發展。

算術是一切科學產生的重要條件。代數的發展就建立在算術發展的基礎之上，是算術不斷發展的重要產物。最初的算術主要有自然數，小數和分數的認識及運算，這就為人們認識客觀世界，用客觀數據解答問題起到了關鍵性的作用，成為人類發展的重要的運算工具。但在使用算術解決問題的過程中，人們逐漸認識到算術在解題方面有一些不可避免的局限性。比如，算術在解決問題時，只能進行具體的數字或者說進行四則運算，對含有未知數的抽象的問題卻無法解答。在解決應用題時，需要先根據需要求的量，按照已知的條件按照題目練出式子，然后使用算式計算規則求得結果。而更多在生活中遇到的比較復雜的數學問題，比如有關路程的問題，有關工程完成量的問題，有關公司盈余的問題和產品的分配問題，等等，都是利用算術得到解決的。這里的關鍵是列出算式，而對于那些具有復雜數量關系的應用題，要列出相應算式并非易事，往往需要很高的智慧和技巧。但是在轉換實際問題為數學問題時，需要列出含有未知數的算術進行求解時，算術就解決不了。正是為了解決這一矛盾，便產生了代數解題法。其特點是允許未知數參與運算，把已知數與未知數放在同等地位對待。這種數學思想的精髓是，首先需要根據問題中已有的條件列出包含未知數的等式，也就是現在大家所說的方程，然后通過變換等式兩邊的式子，求得未知數的結果。這就克服了算術解題法的局限性，使代數方法有了更大的普遍性和靈活性，代數解題法的產生過程也就是代數學的形成過程。

（二）幾何的代數化是數學思想的又一次發展。

幾何科學在其發展歷程中，其思想在不斷發展中取得了一次又一次的進步，但是具有劃時代意義的一次進步是幾何的代數化發展。在14世紀前，幾何高速發展而代數還處于啟蒙發展階段，還沒有發展成為一門獨立的科學，學科體系還沒有建立，因此幾何學處于數學科學的中心地位。當時，在解決幾何證明方面的問題時，需要的技巧和步驟過于繁瑣，給幾何證明方面問題的解決帶來了不小的難題。此時，代數學日漸成熟，特別是16世紀代數學得到突飛猛進的發展，不僅形成了一套簡明的字母符號體系，而且成功地解決了二次、三次、四次方程的求根問題，這使代數學在數學中的地位逐漸上升。16世紀法國數學家韋達曾嘗試用代數方法解決幾何問題，并萌發了用方程表示曲線的思想。他在文章中表示，在幾何作圖方面，可以把線段用數字表示，而線段的連接可以轉化為代數的四則運算，這也是第一個提出用代數解決幾何問題的科學家。法國數學家笛卡爾繼承和發展了韋達先進的數學思想，主張采用幾何和代數中一切最好的東西創立一門普通數學，使算術、代數、幾何統一起來，并提出用坐標和曲線方程來解決幾何問題。此書的問世標志著解析幾何的誕生，用代數方程表示一定的幾何軌跡，這正是解析幾何的基本思想。隨著解析幾何的發展，幾何代數的內容和方法不斷得到豐富。幾何代數化對數學的發展有重大意義。首先，它為幾何學的研究提供了新的方法，使許多幾何問題變得簡單易解；它使數學從定性研究階段發展到定量分析階段，使人們對形的認識由靜態發展到動態，對空間的認識由低維發展到高維。其次，它為代數研究提供了形象模型；用代數學的知識和思想解決幾何學方面的問題，為代數學的發展提供了新的問題領域。再次，在數學教育教學中引進了變量，這為微積分學科的發展提供了條件。除此之外，數學思想方法理論在此基礎上不斷萌芽，并逐步發展為一門成熟的理論。集合思想、系統思想、函數思想、方程思想、數形結合思想等思想逐漸被開發出來，形成獨立的研究內容。

（四）數學由必然現象向偶然現象的轉變是數學思想的又一次飛躍。

在現實生活和時間中存在兩種近似相反方向的現象，其中一種稱為必然的現象，另一種稱為偶發的現象。必然現象是指在一定條件必然產生某種結果或者必然不發生某種結果的現象，即條件和結果之間存在必然聯系。用以描述和研究必然現象的量及其關系的數學，稱為必然數學。如幾何、代數、微積分等。或然現象指的是，某種現象在適當的環境和條件下，可能引起某種結果或現象的法傷，也可能不導致這種結果和現象的發生，即或然現象中不存在條件與結果的必然聯系。或然現象是不能用必然數學進行精確的定量描述的。但是，這不意味著或然現象不存在規律，也不意味著我們不能從數量上描述和研究或然現象的規律。當同一情況的現象多次不斷出現時，就呈現出一定的特征和規律，這就是數學中統計的研究內容。這種統計規律性的存在便是或然數學的現實基礎。

二、中學生應該掌握的基本數學思想

（一）培養學生用符號與變元表示思想。

符號是指將具體的數字轉化為抽象的表述，變元指的是將數學中的變量用不同的數學的數學字母加以表示。符合與變元指的是將生活中遇到的實際問題用數學符號和具有一定使用通性的量揭示實際問題中的數量關系，以此轉化為數學問題加以解決，通過對“量”的研究或應用規律、規則來解決問題的一種思想。使用符號化語言和在其中引進“變元”，是數學科學高度抽象性的要求。用字母和變元表示有關對象關系，具有明確簡潔的優點，增大了信息密度和信息容量，這樣抽象的形式會帶來思維的直觀。

（二）培養學生的集合思想。

在中學階段，集合是存在于數學學科內容的不同層次和不同部分，也存在于學生知識和技能發展的不同年級中。中學集合思想主要貫穿在以下方面：第一，數系、點集和解集是集合的雛形和基礎。數系是中學數學中主要的研究對象，是立足于集合概念之上的。伴隨數學數系的不斷發展，實數與其在數軸上對應的點的位置的關系，促進數字和圖形的相互結合，然后開始數學實際問題的解決；第二，體現集合表述，揭示數學概念。在中學數學中，從集合觀點看，數學概念都可看做集合。因此，都可以用集合來表述。

（三）培養學生的對應思想。

對應是人的思維對兩個集合間聯系的把握。對應指的是，將不同類型、不同層次的研究對象相聯系，發現這些對象相同的或者同類似的本質的屬性，促進這些不同特征、不同屬性的事物之間的規律轉換，并使用相應的方法加以解答。對應思想的發展是人類認識發展史上的一大進步。對應思想對學生的發展具有重要的作用，掌握對應思想，有助于學生科學的把握生活中的現象，認識復雜的世界。因此，在中學階段，要引導學生掌握對應思想，促進對應思想的內化，并加以運用。

（四）培養學生的系統思想。

系統論是現代新三論重要思想之一。系統論的出現是世界發展史上的最偉大的成就之一。系統思想強調的是事物的整體性，強調將事物看成一個整體來解決問題，思想整體中各部分對整體的影響，合理調節部分對整體的作用。中學生在心理發展階段是逐漸去自我中心，也就是說學生在中學階段還表現為一定的以自我為中心，忽視人際關系中的其他關系，只在乎自己的感覺，認為其他人的感覺是和自己同步的。這種思想不利于學生的發展，而系統的發展思想在一定程度上改變學生的思想，引導學生在動態的發展變化中認識到整體和部分、部分和部分，以及整體和部分的動態變化過程，并用動態的觀點思考自己和他人，用動態的思想解決自己和他人的問題。

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