例談函數單調性逆定義的應用

徐振剛

摘 要：通過例題形式探討了函數單調性逆定義的應用，既有效地避免了對函數單調性定義的應用與其逆定義的應用混為一體，教師一語帶過的尷尬境況，又使學生覺得含糊不清、不知所云，造成學生在解決問題時出現嚴重錯誤的情況有所改善。所以，教師在教學中，既要強調單調性的定義應用，又要重視函數單調性逆定義的運用。

關鍵詞：函數單調性；逆定義；解題方法；解方程；解不等式

由函數單調性的定義可以得到如下結論：設函數f（x）是定義在區間（a，b）上的增函數，則對任意的x1、x2，有：

（1）f（x1）

（2）f（x1）=f（x2）？圳x1=x2

（3）f（x1）>f（x2）？圳x1>x2

同樣，對于函數f（x）是定義在區間（a，b）上的減函數，也有類似性質，逆用函數定義可以解決以下問題。

一、解方程

例1.設x、y為實數，且滿足（x-1）3+1997（x-1）=1（y-1）3+1997（y-1）=-1則x+y等于多少。

解：由已知條件得：（x-1）3+1997（x-1）=（1-y）3+1997（1-y）。

設函數f（x）=x3+1997x，由于f（x）在R上是單調函數，且f（x-1）=f（1-y），所以得：x-1=1-y，即x+y=2。

二、解不等式

例2.已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的增函數，且f（x-1）

解：因為f（x）是定義在[-1，1]上的增函數，

所以f（x-1）

故x的取值范圍為1

例3.設函數（x）的定義域為R，當x>0時，f（x）>1，且對任意實數x、y？綴R，都有f（x+y）=f（x）f（y），證明：

（1）f（0）=1；

（2）f（x）在R上是增函數；

（3）解不等式：f（x）<■。

解：（1）在f（x+y）=f（x）f（y）中，令x=y=0有f（0）=f2（0）。

又若f（0）=0，則f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0與f（x）>1（當x>0時）矛盾。所以f（0）=1。

（2）設x2>x1，則x2-x1>0，由已知f（x2-x1）>1……①

由于對一切x？綴R，有f（x）=f（■+■）=f2（■）≥0，若存在x0？綴R使f（x0）=0，則對任意x？綴R，有f（x0+x-x0）=f（x0）f（x-x0）=0。這與已知條件f（x）>1（當x>0時）矛盾。所以對任意x？綴R，有f（x）>0，所以在①式兩邊同乘以正數f（x1），得f（x1）f（x2-x1）>f（x1），即f（x2）>f（x1），所以，f（x）在R上是增函數。

（3）由（2）知f（x+1）>0，所以原不等式等價于f（x）f（x+1）<1……②

又因為f（0）=1且f（x）f（x+1）=f（2x+1），所以，不等式②等價于f（2x+1）

所以，原不等式的解集為{x|x<■}。

參考文獻：

[1]趙學昌.重視基礎提高思維能力和創新能力.中國考試：下半月，2003（06）.

[2]馮永木.例談函數單調性定義的應用.數理化解題研究：高中版，2003.

（作者單位 陜西省西安市東方中學）