幾個抽象函數的簡單分析

韓登科

摘 要：抽象函數是數學中一個很重要的概念，所謂抽象函數是指沒有具體的解析式，一般以y=f（x）來表示的函數，這類函數通常將函數的五大性質與對稱性融合考查，對學生觀察、分析能力有比較高的要求，要求學生有更強的思維和想象能力，能夠順利地將問題從特殊轉化為一般。

關鍵詞：抽象；奇偶性；定義域；周期

解決抽象問題，一般要求學生有比較扎實的基礎知識，相對完善的知識網絡，對知識的綜合應用能力較強。所以歷年來，抽象函數相關問題都是比較熱門的考點。下面通過幾個例題，談談抽象函數的常見問題和解法。

一、抽象函數定義域

例1.已知y=f（x+1）定義域為（-2，2），求函數y=f（x）+f（x+1）的定義域。

解析：我們知道定義域指的是式子中x的范圍，而最外層括號對應的范圍應該是一致的，所以，我們得到如下算法，由-2

點評：（1）已知f[g（x）]的定義域為[a，b]，則f（x）的定義域即是g（x）在x∈[a，b]上的值域；（2）f[g（x）]與f[φ（x）]中g（x），φ（x）的值域相同。

二、抽象函數的奇偶性

例2.判斷f（x）的奇偶性：

（1）已知f（x+y）=f（x）+f（y），（2）已知f（xy）=f（x）f（y）

解析：（1）令y=-x，則上式可化為f（0）=f（x）+f（-x），令x=y=0，可得f（0）=2f（0），所以得到f（0）=0，由此可以得到f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數。

（2）令y=-1，則上式可化為f（-x）=f（x）+f（-1），令x=y=-1，可得f（1）=2f（-1），令x=y=1，可得f（1）=2f（1），所以f（1）=0，由此可以得到f（-1）=0，所以f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數。

點評：已知抽象函數關系式，判斷函數的奇偶性，關鍵是判斷f（x）與f（-x）的關系，所以應通過賦值讓關系式中只含有f（x），f（-x），其他的均應該是常數。

三、抽象函數的周期性

例3.已知函數f（x）對任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，且f（4）=4，則f（2012）=（ ）

A.0 B.-4 C.-8 D.-16

解析：因為y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，所以y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，也即y=f（x）是奇函數。又對于f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=-3，則f（3）=f（-3），又因-f（3）=f（-3），所以f（3）=f（-3）=0，所以f（x+6）+f（x）=0，所以T=12，所以f（2012）=f（-4）=-f（4）=-4

點評：關于抽象函數周期性的幾個性質：

（1）若f（x）=-f（x+a）或f（x）=■或f（x）=-■，則f（x）周期為2a。

（2）若f（x）存在對稱軸x=a和x=b或者存在對稱中心（a，0），（b，0），則f（x）的周期為2a-b；若f（x）存在對稱軸x=a和對稱中心（b，0），則f（x）的周期為4a-b。

綜上所述，我們可以發現，抽象函數主要考查函數性質的綜合應用，只要基礎扎實，對函數性質的理解到位，其實抽象函數是很簡單的。

（作者單位 河南省新安縣第二高級中學）