例談數(shù)學(xué)教學(xué)反思的收獲

張建國

摘 要：隨著新課程的實施，教師普遍意識到教學(xué)反思的重要性，事實上教學(xué)反思是教師專業(yè)發(fā)展和自我成長的核心因素。通過對學(xué)生評價結(jié)果的反思、課堂教學(xué)的反思以及解題的反思，不僅提高了課堂教學(xué)效益，而且收獲了教學(xué)設(shè)計時所無法達(dá)到的預(yù)想效果。

關(guān)鍵詞：“教學(xué)反思”；“評價反思”；“解題反思”；“以解代證”；“動靜置換”

隨著新課程的實施，教師普遍意識到教學(xué)反思的重要性。美國心理學(xué)家波士納就提出了教師成長=經(jīng)驗+反思。一語道出了教學(xué)反思是教師專業(yè)發(fā)展和自我成長的核心因素。教學(xué)反思是教師以自己的教學(xué)活動過程為思考對象對自己所做出的教學(xué)行為、決策以及由此所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和分析的過程。教學(xué)反思就形式而言主要包括對解題的反思、課堂教學(xué)的反思、對學(xué)生評價結(jié)果的反思和與其他教師交流的反思等。通過教學(xué)反思，不僅提高了課堂教學(xué)效益，而且促進(jìn)了教師自身的專業(yè)成長與專業(yè)素養(yǎng)的形成，收獲了教學(xué)設(shè)計時所無法達(dá)到的效果。本文就這方面談?wù)勛约旱囊恍┬牡皿w會。

一、對學(xué)生評價結(jié)果的反思

通過對學(xué)生接受情況的反饋與反思，教師可以及時發(fā)現(xiàn)自己授課的得與失，以便對自己的教學(xué)行為及時給予修正。案例1：“三角形的外角”復(fù)習(xí)課。以前復(fù)習(xí)時是先回顧一下有關(guān)三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，接著出示一道例題：如圖1，∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線相交于點(diǎn)P，求證∠P=■∠A。師問： 解這道題該怎么入手？生沒什么反應(yīng)，師啟發(fā)：可以把∠P放在什么地方進(jìn)行研究？生思考后回答：∠P可放在△PBC中考慮。師問：那么∠P可以怎么看，它與哪些量有關(guān)系？生思考，接著相當(dāng)多的學(xué)生回答∠P可以看成180°-∠PBC-∠PCB或∠PCM-∠PBC。師：很好，那么請大家就這兩種想法看接下去怎么轉(zhuǎn)化，是否都可行，哪種證法會簡單些。大部分學(xué)生很圓滿地解決了問題。

∵∠PCM=■∠ACM，∠PBC=■∠ABC，

∴∠PCM-∠PBC=■∠ACM-■∠ABC=■（∠ACM-∠ABC）=■∠A

或∠P =180°-∠PBC-∠PCB=180°-■∠ABC-∠ACB-∠ACP=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ACM=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ABC-■∠A =■∠A，并發(fā)現(xiàn)利用∠P=∠PCM-∠PBC簡單些。

命題得證后，教師接著對題目進(jìn)行變式，把已知的一內(nèi)角、一外角兩條角平分線先改成兩條內(nèi)角平分線，再改成兩條外角平分線，讓學(xué)生探究此時∠P與∠A的關(guān)系。這節(jié)課到此為止，自認(rèn)為分析的很到位，學(xué)生掌握也不錯，但半期考最后一題恰好就是這道題的變式。題目為：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別在x、y軸正半軸上移動，MB平分∠NBA，與∠BAO的平分線交于C點(diǎn)，求∠C.結(jié)果相當(dāng)部分中等學(xué)生無法解答.針對這一情況，對這道題的教學(xué)過程重新進(jìn)行反思.反思一：對于上述解題的技巧方法沒有適時給學(xué)生歸納，這道題之所以讓學(xué)生感到吃力，關(guān)鍵在于第一步對∠P應(yīng)如何考慮，應(yīng)讓學(xué)生懂得要研究角，首先應(yīng)把角放在什么地方進(jìn)行研究，實際上上述解法可以歸納為以解代證，意即通過對∠P的計算，從而間接地找出與∠A的關(guān)系；反思二，這種解法是通性通法嗎？其實不然，對于初中學(xué)生而言證明角相等才是他們最熟悉的模式，因而本題證∠P=■∠A是否可以轉(zhuǎn)化為證角相等呢？答案是肯定的.要想轉(zhuǎn)化成角相等，很自然地想找到∠A，故可以做∠BAC的平分線交PB于點(diǎn)N（如圖3），則欲證∠P =■∠A，只須證∠ANO=∠PCA， 只須證∠NAB+∠NBA=∠PCA，只須證■∠BAC+■∠ABC=∠PCA，只須證■（∠BAC+∠ABC）=■∠ACM，分析到此結(jié)論可出。雖然這種證法比原來證法看似麻煩，但能真正地讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的通性通法與轉(zhuǎn)化思想，很好地鍛煉了學(xué)生的思維；反思三：變式的結(jié)論極具對稱性，如圖4，當(dāng)兩條角平分線變?yōu)閮蓚€外角的角平分線時，∠P1=90°-■∠A，當(dāng)角平分線變?yōu)閮蓚€內(nèi)角的平分線時，∠BP2 C =90°+■∠A.那么這三個結(jié)論是否有某種聯(lián)系呢？經(jīng)探究，例如，欲證∠BP2C=90°+■∠A，除了用第一種以解代證外，很顯然也可借鑒第二種方法看到結(jié)論有■∠A，照樣連接P2A并延長，考慮90°為內(nèi)角和一半，把命題轉(zhuǎn)化為只須證：∠BP2C=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）+■∠BAC，只須證∠BP2C=（■∠ABC+■∠BAC）+（■∠ACB+■∠BAC）。要轉(zhuǎn)化為角相等只須證∠BP2C=∠BP2Q+∠QP2C，而這顯然成立。那么如果借鑒探究一結(jié)果欲證∠BP2C=90°+■∠A，∵∠P=■∠A，只須證∠BP2C=90°+∠P，只須證∠P2CP=90°，只須證∠P2CA+∠PCA=90°，只須證2（∠P2CA+∠PCA）=180°，這顯然成立，同理可以進(jìn)一步探究出∠BP1C=90°-■∠A只需放在△PP1B中，∠BP2C與∠BP1C可以放在四邊形BP2CP1中.考慮這樣一來不僅從解法上得到一題多解，更關(guān)鍵讓學(xué)生真正充分體驗了數(shù)學(xué)探究之旅，體會數(shù)學(xué)的對稱美。

二、課堂教學(xué)中的反思

教學(xué)中的反思主要針對教學(xué)中出現(xiàn)的新情況、新問題或有些預(yù)先沒考慮的事情隨機(jī)做出判斷，并及時調(diào)整教與學(xué)的行為。案例2：在上一元一次方程時，課本有一道習(xí)題：一列火車經(jīng)過一條長612米的隧道，完全通過的時間為28秒，隧道頂部有一盞探照燈，照在火車上的時間為10秒，求火車的長度及速度。本題學(xué)生因很難理解探照燈照在火車的時間為10秒，所以不容易找到相等關(guān)系，以致無法求解。如何突破這一難點(diǎn)呢？先看一道簡單的題目：A，B兩地相距90千米，甲、乙兩人同時相向出發(fā)，甲每小時走6千米，乙每小時走12千米，問經(jīng)過幾小時兩人第一次相遇？很顯然可以設(shè)經(jīng)過x小時，兩人第一次相遇，可列方程6x+12x=90，合并得（6+12）x=90，對等式左邊合并結(jié)果（6+12）x進(jìn)行反思，以前學(xué)過的正負(fù)數(shù)表示相反意義，如果規(guī)定向東為正，那么向西走3米記為-3米，那么如果把甲從A到B的方向記為正方向，那么甲速度記為+6千米/時，那么乙速度就記為-12千米/時。另外課本有一道例題，有10袋面粉重量分別為91、93、97、95、97、89、87、83、91、99，求這10袋面粉的總重量。觀察發(fā)現(xiàn)這10袋面粉重量都在90左右，那么以90為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)。類似地，若把乙看成是靜止的，則甲相當(dāng)于以6+12=18的速度一個人走完全程，按照這樣理解的話，那么探照燈在火車上照了10秒，就可以把火車看成是靜止的，那么探照燈就是動的，且以火車的速度走完一個火車長度花了10秒，可用火車長來做相等關(guān)系，若設(shè)火車速度為x米/秒，可得28x-612=10x，易求出x值。那么再用這種思想來解決一類行程問題簡直易如反掌。案例3：一艘輪船逆流而上，已知船在靜水中的速度為30千米/時，船在順?biāo)械乃俣葹樵谀嫠械乃俣鹊?倍，現(xiàn)有一只救生圈掉入水中，半小時后發(fā)現(xiàn)救生圈丟了，立即返回去追，問船多長時間追上救生圈？這是一道競賽題，很多考生花了大量時間還未必會解出來，如果按照常規(guī)處理，則要先分別計算出船在順?biāo)泻湍嫠械乃俣龋偎愠霭胄r救生圈漂了多遠(yuǎn)以及船行駛了多遠(yuǎn)，再按照追擊問題求出追上的時間，但如果根據(jù)上述動靜置換的觀點(diǎn)，把救生圈看成靜止的，則因為第1次船運(yùn)動方向與救生圈相反，那么船原本在逆水中的速度就可以看成船是以在靜水中的速度行駛了半小時，同理當(dāng)船掉轉(zhuǎn)時，此時船與救生圈運(yùn)動方向同向，如果還是把救生圈看成靜止的，則這時船速應(yīng)看成船在順?biāo)械乃俣葴p去救生圈的速度（水流的速度）還是等于船在靜水中的速度，那么由于船的往返路程一樣，所以追上救生圈還需半小時。這樣就避開了復(fù)雜的運(yùn)算，根本無須求出順?biāo)俣取⒛嫠俣取⑺魉俣取＠眠@一方法可以輕松地解決有關(guān)一元一次方程中行程的問題。反思的作用妙極了。

三、對解題教學(xué)的反思

解題反思是一種對解題活動的 “再認(rèn)識”，屬于解題活動的“元認(rèn)知”，它是對解題活動的深層次再思考。它不僅僅是對數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)。而且更是探究數(shù)學(xué)解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性，解題反思對學(xué)好數(shù)學(xué)有很大的幫助，也只有對數(shù)學(xué)解題充滿興趣并深入其中，才能領(lǐng)略其無窮的奧妙，而通過反思又可以增添更大樂趣，這是一個良性循環(huán)的過程。

就從上述解題應(yīng)用動靜置換的思想為例，以此類推，此方法在幾何問題中同樣也能大顯身手。案例4：如圖5，已知邊長為a的正三角形ABC，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上移動，C在第一象限，求OC的最大值。按照常規(guī)分析由于A，B動導(dǎo)致C點(diǎn)動，那么對初中生而言本題甚至無法入手，即使對于高中生也是有很大的困難，但如果能意識到O與C動靜只是相對而言，并且進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)由于∠AOB=90°，所以，點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，這樣動靜置換，先讓△ABC定下來，意味著C點(diǎn)定下，而O在以AB為直徑的圓上，那么這問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離最大值問題。這是學(xué)生熟悉的模型，那么除了這種動靜置換方法以外，是否還有其他的方法？于是開始對答案進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)OC的最大值為■+■a，在如圖中，若取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，顯然有OC≤OM+MC=■+■a，由于頂點(diǎn)A、B可以在x軸、y軸的正半軸上滑動，故當(dāng)O，M，C三點(diǎn)共線時上式取等號，所以O(shè)C的最大值為■+■a，限于篇幅，請大家自行思考：1、為什么要取AB的中點(diǎn)？2、如果把正三角形改成正方形以至正多邊形是否還有類似的結(jié)論？3、可否應(yīng)用這種動靜置換的思想解決多動點(diǎn)問題？

以上只是本人對教學(xué)反思的一點(diǎn)體會，教而不研則淺，研而不教則空。要想提高課堂效率，教師必須不斷學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中不斷反思，才能不斷提高自身教研水平，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]康宇.直覺的魅力[J].中學(xué)生數(shù)學(xué) 2011（11）：1-2.

[2]楊俊林.例談數(shù)學(xué)解題反思的收獲[J].中學(xué)生數(shù)學(xué) 2011（2）：8-9.