例談初中數學課堂追問有效性的提升策略

徐江

摘 要： 課堂追問是數學課堂教學中常用的教學手段.有效的課堂追問既能促進學生對問題的深入思考，催生探究的意識，又有助于教學目標的實現，使課堂教學效果最優化，從而整體提高課堂教學效率.如何提高初中數學課堂教學的有效性？本文從把握追問的時機、設計有效的追問練習兩大維度進行了策略實踐，并對實踐的效果進行了進一步的分析.

關鍵詞： 數學課堂 有效追問 教學策略

一、研究問題的緣起

（一）教育理論的明確要求

2011年版《新課程標準》指出，數學教學活動必須建立在學生的認識發展水平和已有的知識經驗基礎之上.教師應調動學生的學習積極性，向學生提供充分從事教學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解并掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.提問是課堂教學經常采用的一種教學手段，其目的是引導學生獨立思考，創造性地完成學習任務.但是，學生的回答，往往缺乏多角度、深層次的思考，有時由于多方面的原因，思維還會處于停滯狀態.這時就需教師善于運用“問”的藝術，尤其是運用“追問”激活學生的思維，啟發、引導他們更有深度、更有廣度地思考，不斷促進思維的創新.

（二）數學課堂追問低效現象

1.“追問”的目的性不明確.

聽到公開課上很多追問流于形式，往往不同的情景卻問相同的問題：“為什么呢？”“還有嗎？”無目的的追問和脫離教學內容的追問，實際上是浪費學習時間，易引起學生概念混淆.

2.沒有確定好“追問”的對象.

有些課堂中即時生成或對學生的思維要求較高的追問往往只有優等生能夠說出答案，教師也沒能及時把問題涉及面廣泛化，以引起不同層次學生的思考，就匆匆以教師自己解釋的方式帶過或干脆沒了下文.

3.沒有把握好“追問”的時機.

很多教師設計的問題很好，只是沒有問在最適合的時機，當然也沒能夠把問題的有效性最大限度地發揮出來.

4.“追問”過于“寬泛”，達不到預期效果.

在課堂教學過程中，教師往往下大力氣設計了“問”，卻因為問題的梯度太大，沒有問到點子上，把本身已經有層次的問題，問得學生一頭霧水.

二、數學課堂教學中追問有效性的提升策略

（一）概念闡釋

所謂追問，顧名思義就是追根究底地問.它是針對某一內容或某一問題，為了使學生弄懂弄通，在已提出問題學生也有了一定的理解之后又再次補充和深化、窮追不舍地一問再問，直到學生能夠理解透徹甚至出新出彩地問.因此，提高課堂追問的有效性是實施課堂有效教學、實現教學目標的重要手段.

（二）追問有效性的提升策略

1.把握恰當的追問時機——機不可失.

（1）在錯誤時追問——撥亂反正

“學生的錯誤都是有價值的”.的確，錯誤是學生最樸實的思想、最真實的經驗，往往是一種鮮活的教學資源，教師應該善于挖掘和發現錯誤背后隱藏的教育價值，引導學生從錯中求知，從錯中探究.

【例1】九年級下“直線與圓的位置關系”的教學片段：

師：已知A為⊙O上一點，B為⊙O外一點，順次連接點A、B、O，得△ABO，且sinB=■，能否判定直線AB和⊙O相切？試說明理由.

（出示了題目后，許多學生大聲回答“相切”，這時老師先找一位學生說明理由。）

生1：因為sinB=■，所以△ABO是直角三角形，即OA⊥AB.所以AB是⊙O的切線.

師（追問）：為什么sinB=■，△ABO就是直角三角形呢？

生1：（理直氣壯地）因為sinB=■，所以∠B=30°，所以∠O=60°，所以∠OAB=90°，并且可以畫出相對應的圖形（如圖1）.

圖1

師（追問）：∠B=30°，為什么就能推出∠O=60°呢？

生1：（有些不耐煩）因為是在直角三角形中，所以∠B=30°得出∠O=60°.

師（追問）：哪里說明是在直角三角形中了？若已給出△ABO是直角三角形了，還需要根據∠B=30°，∠O=60°證明∠OAB=90°嗎？

生1：這很簡單，因為sinB=■，銳角三角函數值是只能在直角三角形中求出來的，所以△ABO是直角三角形.

（許多學生已經明白了錯誤所在，紛紛開始議論了.這時，教師找其中一名學生回答.）

師：你有其他想法嗎？

生2：還不知道是不是直角三角形，就默認是直角三角形.

師（追問）：對呀！那么sinB=■能說明什么呢？

生2：只能說明∠B=30°，其他的角度還不能確定.

對于學生做對一個題目不是難事，難的是教師發現錯誤后不斷追問，從而挖掘到事物的本質的過程.追問不是一般的對話，對話是平鋪直敘地交流，而追問是對事物的深刻挖掘，是逼近事物本質的探究，是促進學生思考的催化劑.在辨誤教學中，只是讓學生判斷對或錯是不夠的，要通過教師的有效追問，讓學生明白對或錯的成因，找出問題的癥結，從而有利于從本質上理解數學知識，解決數學問題.

（2）在歧義處追問——去偽存真

當代科學家、哲學家波普爾說：“歧義中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素.”歧義是正確的先導，有時歧義比正確更具有教育價值.教學中，我們可將“拒絕”隱藏在巧妙的追問中，通過追問的語氣、追問的角度引導學生對偏頗的解讀，讓學生自己認識并糾正錯誤，即“自識廬山真面目”.

【例2】教學“平方根”這一內容，學生初步理解了“如果一個數的平方等于a，那么這個數就是a的平方根”這一概念，教師安排求81、0.0625的平方根后又出示了一個判斷題：（1）9的平方根是3，（2）3是9的平方根.學生的判斷各不相同.endprint

師：你能對你的觀點加以說明嗎？

生：剛剛我們得到81的平方根是9與-9；0.0625的平方根是0.25與-0.25，所以9的平方根是3與-3，所以1題是錯的.

生：他舉的例子太特殊了，不能把所有的數都包括在內.

師追問：那你想怎么說？

生：我們可以這樣說“一個正數有兩個平方根，它們是互為相反數的關系”.

師：那對于第二個問題呢？

生：根據生1的方法，9與-9是81的平方根；0.25與-0.25是0.0625的平方根；3與-3是9的平方根.所以第二題是錯的.

生：我不這樣認為，因為3的平方等于9，所以3就是9的平方根.

師：為什么此時可以不說那個負值呢？

生：從平方根的概念上我們就可以得到“一個數的平方等于a，那么這個數就是a的平方根”即：x■=a，x就是a的平方根，x可以是一個正的數也可以是一個負的數.

師再次追問：你能就此題再舉一個例子嗎？

生：-4是16的平方根.

教師以自身特有的敏銳和機智在捕捉到學生學習過程中的“差錯”（歧義）后，善于發現這“差錯”（歧義）背后的教育價值.適時追問，暴露學生的思維過程，利用學生的認知沖突，讓學生通過辯論，自己去探索產生錯誤的原因，引領他們修正錯誤，去偽存真，提升認識，從而得出正確結論.

（3）在疑難處追問——柳暗花明

由于受知識經驗的負遷移的影響，學生的思維有時會遭遇障礙或產生矛盾，導致思維的鏈條斷裂.而有矛盾處，往往是有疑處，也是難點處，破解難點等于提高學習質量，這時需要教師的引領.教師應針對學生的思維矛盾沖突及時追問，啟迪學生心智，推波助瀾，鼓勵創新，搭建起思維跨越的平臺，以彌補斷裂處，從而開拓解題思路.

【例3】在學完“切線長定理”，共同解決了課本例題后，教師出示練習：

Rt△ABC中，∠C=90°，BC，AC，AB的長分別是a，b，c，求△ABC的內切圓半徑r.

結合范例，學生很容易想到解題思路：如圖2，在設Rt△ABC的內切圓與三邊分別相切于點D、E、F，連接OD、OE、OF，則OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB.可證明四邊形0ECD為正方形，內切圓半徑r=CD=CE，從而得到r=■.

圖2

師：還有其他答案嗎？

有位學生站起來激動地說：“我還有一種不同的答案.”

師（欣喜地）：請說說你的思路.

生：如圖3，連接OD、OE、OF，已知⊙O的半徑為r，由S■+S■+S■=S■得■ar+■br+■cr=■ab，整理得r=■.

圖3

頓時教室里一片沸騰，同一題目，怎么會有不同答案呢？有的學生列舉了一些特殊的值來驗證，如3、4、5，5、12、13等，計算結果一致，但說不出所以然來.

究竟為什么呢？學生都把渴求的目光投向了老師.教師故弄玄虛：“同學們，這兩個結果真的不一樣嗎？，能不能相互轉化？”

學生似乎有所醒悟，可還是不知如何下手.

師：這個三角形的邊有何特定關系？

生（大部分學生）：滿足勾股定理，噢，知道了！

以下是學生的兩種代表性思路：

思路1：把c=■代入r=■并經過分母有理化得

r=■=■=■.

思路2：由a■+b■=c■變形得（a+b）■-2ab=c■即ab=■，將其代入r=■得r=■=■=■.

師：可見，兩個結果都是正確的，它們僅是外在形態上的差異，其本質是一致的，是能“歸一”的.

再次追問：同學們，既然兩個結果僅是外在形態上的差異，你能從這兩個式子相等發現什么？

學生面面相覷，然后似有所悟，動手整理，不一會學生歡呼雀躍：證明出勾股定理.以下是他們的共同成果.

由r=■和r=■得■=■，整理得（a+b-c）（a+b+c）=2ab，即（a+b）■-c■=2ab，化簡得a■+2ab+b■-c■=2ab，即a■+b■=c■.

好課是問出來的，課堂追問真的能追出一片精彩，三次追問，激起學生的活性因子，催化出學生的求解思路.教師有意識的追問，不僅促使學生積極主動思考，還不經意間培養學生的創新意識和探究能力.

（4）在意外時追問——推波助瀾

蘇霍姆林斯基曾說：“教學的技巧并不在于預見課的所有細節，在于根據當時的具體判斷，巧妙地在學生的不知不覺中作出相應的變動.”高超地捕捉學生思維閃光點的能力是教師教學水平的集中體現.其實這些意外事件是學生獨立思考后瞬間的創造，是張揚個性的最佳途徑.因此，面對學生的“意外”，我們應耐心傾聽，睿智追問，開啟學生智慧.

【例4】在《數學》七年級上“一元一次方程的應用”時的教學片段：

師：小強和小明每天堅持跑步，小強每秒跑6米，小明每秒跑4米，如果他們站在200米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？

生1：設x秒后兩人相遇，則所列方程為（6+4）x=200或6x+4x=200.

生2：老師，可不可以用方程6×2x-2x=200來解？

師：（很意外，停頓了片刻追問）你是怎么想的？

生2：假如小明也是每秒跑6米，那么兩人x秒內所跑的路程為6×2x米，實際上小明每秒比小強少跑2米，因此再減去2x米就正好是兩人在x秒內所跑的路程和200米.

師：真是與眾不同的想法，還有類似創意的思考嗎？

生3：也可以列為4×2x+2x=200.

這是一個精彩、有價值而又令人回味的教學片段.學生提出的問題很新穎且富有價值，完全在教師的意料之外.教師及時抓住意外進行追問，因勢利導，順水推舟，引導學生深入研究和思考，讓課堂在看似不和諧的表象中生成精彩.endprint

2.設計有效的追問練習——對癥下藥.

（1）設置“陷阱”練習——步步為營

所謂初中數學“陷阱題”，是指學生在數學解題時容易“上當受騙”的題目.“陷阱題”與常規題不同，它具有較大的迷惑性和較好的隱蔽性.通過對這類題目的訓練和考查，很容易發現學生數學思維上存在的缺陷，教師此時再結合有效追問，不僅可以及時糾正學生當前的錯誤，而且可以矯正學生知識掌握不準確、考慮問題不全面等不良思維習慣.

【例5】已知：關于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

（先讓學生獨立計算一會，然后再請學生回答）

生1：由于方程有兩個不相等的實數根，所以△=（■）■-4k≥0，解得k≤2.

師追：不錯，不知還有沒有別的什么條件要滿足的呢？

生2：哦，因為題目說是關于x的一元二次方程，所以說二次項系數k≠0，即答案是k≤2且k≠0.

師追：很好，還有要補充的嗎？

生3：（興奮）還必須使■x中的被開方數2k+4x≥0，這樣才有意義，所以結果應該是-2≤k≤2，且k≠0.

師追：（鼓掌）非常好.還有要進一步補充的嗎？

眾生：沒有啦！

師追：誰來總結一下這個題的解題思路？

生4：（舉手回答）首先，因為關于x的一元二次方程kx■+■x+1=0有兩個不相等的實數根，所以△=（■）■-4k≥0，得k≤2..其次題中還有兩個隱含條件：其一，原方程是一元二次方程，二次項系數必須不為0，所以k≠0；其二，方程中還出現了二次根式，其被開方數必須大于或等于0，所以2k+4≥0，解得k≥-2，最后綜合得到k的取值范圍是-2≤k≤2，且k≠0；

師：非常精彩的回答，以后這類隱含的條件陷阱可千萬別再掉進去哦.

教師針對學生某些不良習慣（粗心、片面、混亂等），設置一些針對性“思維型陷阱”，并讓學生經歷：陷入“陷阱”——沖出“陷阱”——再陷入“陷阱”——再從新“陷阱”中沖出來——這一過程，使學生的認識過程經歷了螺旋式上升過程，完善了認知結構，掌握了擺脫“陷阱”的方法，深化了認知過程.并引導學生分析陷入“陷阱”的原因，使學生“吃一塹”、“長一智”，從中訓練、培養學生嚴謹、有序、靈活變通的全面思維素質.為以后的數學學習奠定良好的思維基礎.

（2）設置一題多解練習——小題“大”做

數學教學的目的不僅要求學生掌握好數學的基礎知識和基本技能，還要求發展學生的能力，培養他們良好的個性品質和學習習慣.在實現數學教學目的的過程中，當學生獲得一定成果時教師適當地追問和拓展引申，可以激發學生發現和創造的強烈欲望，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維，培養學生的發散思維能力，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響.

【例6】在復習“數與式”專題時的一個教學片段：

師：已知a、b滿足ab=1，那么■+■=？搖 ？搖？搖？搖請同學們獨立思考2分鐘后交流.

生1：答案是1.因為a、b滿足ab=1，所以可以用特值法.取a=1，b=1代入原式，得■+■=1.

師：很好，“小題小做”，特殊值法是解決這道填空題很好的選擇.但是，還有其他方法嗎？

生2：由ab=1得a=■，代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

生3（興奮地）：把b=■代入所求式子得到的結果應該也是1.因為在■+■中a、b調換位置后得到的式子與原來的式子是一樣的.

師：對，很好，這兩位同學觀察得很仔細.本題所求式子中有兩個未知數a和b，利用已知條件，通過“代入”，把兩個未知數變成了一個未知數，最后還得到了一個常數.他們運用的是我們數學上常用的什么思想？

眾生：消元.

這時學生的“消元”意識被激活了，接著又出現了另外一種思路：

生4：將1=ab代入所求式子得：■+■=■+■=■+■=1.

此時，教室里響起了熱烈的掌聲.

師（欣賞地）：很好.這種方法非常巧妙.誰還有不同的方法？

生5：

先通分，得：■+■=■+■=■=■，

再把1=ab代入得■=■=1，

教室里又一次響起熱烈的掌聲.

一位一直低頭演算的學生忽然站起來說：我還有一種方法.

教師：那說說你的方法.

生6：■+■=■+■=■+■=1.

課室里再一次響起熱烈的掌聲.

然后老師帶領學生挖掘出蘊含在各種方法中的共性——利用已知條件，通過“代入”達到“消元”的目的.

學生在課堂上高漲的參與熱情讓老師感慨良多.如果老師在學生講出“特值法”后就不再追問“還有其他的方法嗎”，就不能激發學生找到后面的多種解法，浪費一個很好地練習“一題多解”的機會，而適當的一題多解，可以溝通知識間的聯系，幫助學生加深對所學知識的理解，促進思維的靈活性，提高解決問題的能力，讓其品嘗到學習成功的快樂.

（3）設置一題多變練習——八面玲瓏

【例7】《數學》八年級下“特殊四邊形的專題復習”教學片段：

問題1：如圖7，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是AD邊上的中點，請在對角線BD上找一點M，使得AM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖7

師：同學們，以前有沒有遇見過類似的問題？

生（齊答）：有，“將軍飲馬”問題.

師（追問）：誰來說說，這個將軍該怎么走，為什么要這樣走？endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學對基礎知識的理解非常到位.那么，同學們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質.下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現在BE不在直角三角形中，需要構造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學會構造個直角三角形.那么如何構造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學又借助不同的輔助線構造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學們都很會思考，也把握住了解題的關鍵，即構造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結合條件與結論思考，求A點坐標的實質是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應邊相等，對應角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應為（-2，0）.

師：讓我們繼續思考第二個問題，假設Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發現呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設直線CM′函數解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質，又綜合運用知識求解.當遇到類似的問題時，同學們可假設它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發現哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發現解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學生的思維品質，體現了學生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質上是對問題的有效拓展，更具內涵，既可以充分考查學生前面的學習成效，又可以充分提高學生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現了學生的主體地位

學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.而傳統教學認為：“師者，傳道、授業、解惑也.”教學時，教師往往注重自身的教，而忽視學生的學，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學生處于被動地位.在教學中讓學生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據學生情況適時引導、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發展的過程.課堂追問教學的實施，使得學生主動學習，發自內心深處的思考，學生的主體地位及教師的主導地位真正體現出來.

（二）點燃了學生的思維火花

由于受知識、經驗的局限，學生對問題的認識常表現出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現象，不能發現問題的本質.為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發，強調思維的發散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學的思維方法，搭設思維跳板，幫助學生拓廣思考的視角，從多個角度發散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續思考，從而得到新的發現.智慧的追問是教師對課堂教學的一種深度把握，促使學生不斷拓展和加深理解所學知識，對于揭示知識的本質，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學生的探究能力

新課標強調學生學習的重心不再僅僅放在學會知識上，而是轉到學會學習、掌握方法和培養能力上.數學探究能力的培養和提高能為今后的學習鋪平道路，平時的課堂教學中學生經常在教師的引導、追問下就能不斷發現新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領學生反思解法，改進方法，層層探究.學生探究的過程其實就是創新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導下由學生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學中實施有效的追問能讓學生積極地參與到學習過程中，自主探索，積極思考，大膽發表自己的觀點，讓學生在自主探索中獲得不斷發展，原有的學習探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數學新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1.

[2]初中數學新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構建生命課堂——初中數學課堂有效追問研究[J].中小學教學研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數學課堂教學追問的時機[J].中學數學雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學對基礎知識的理解非常到位.那么，同學們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質.下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現在BE不在直角三角形中，需要構造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學會構造個直角三角形.那么如何構造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學又借助不同的輔助線構造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學們都很會思考，也把握住了解題的關鍵，即構造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結合條件與結論思考，求A點坐標的實質是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應邊相等，對應角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應為（-2，0）.

師：讓我們繼續思考第二個問題，假設Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發現呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設直線CM′函數解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質，又綜合運用知識求解.當遇到類似的問題時，同學們可假設它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發現哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發現解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學生的思維品質，體現了學生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質上是對問題的有效拓展，更具內涵，既可以充分考查學生前面的學習成效，又可以充分提高學生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現了學生的主體地位

學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.而傳統教學認為：“師者，傳道、授業、解惑也.”教學時，教師往往注重自身的教，而忽視學生的學，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學生處于被動地位.在教學中讓學生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據學生情況適時引導、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發展的過程.課堂追問教學的實施，使得學生主動學習，發自內心深處的思考，學生的主體地位及教師的主導地位真正體現出來.

（二）點燃了學生的思維火花

由于受知識、經驗的局限，學生對問題的認識常表現出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現象，不能發現問題的本質.為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發，強調思維的發散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學的思維方法，搭設思維跳板，幫助學生拓廣思考的視角，從多個角度發散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續思考，從而得到新的發現.智慧的追問是教師對課堂教學的一種深度把握，促使學生不斷拓展和加深理解所學知識，對于揭示知識的本質，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學生的探究能力

新課標強調學生學習的重心不再僅僅放在學會知識上，而是轉到學會學習、掌握方法和培養能力上.數學探究能力的培養和提高能為今后的學習鋪平道路，平時的課堂教學中學生經常在教師的引導、追問下就能不斷發現新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領學生反思解法，改進方法，層層探究.學生探究的過程其實就是創新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導下由學生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學中實施有效的追問能讓學生積極地參與到學習過程中，自主探索，積極思考，大膽發表自己的觀點，讓學生在自主探索中獲得不斷發展，原有的學習探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數學新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1.

[2]初中數學新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構建生命課堂——初中數學課堂有效追問研究[J].中小學教學研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數學課堂教學追問的時機[J].中學數學雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint

生1：……兩點之間線段最短.

師：這位同學對基礎知識的理解非常到位.那么，同學們對上面這道題有思路了嗎？

生2：利用菱形的對稱性，因點A關于BD的對稱點是點C，所以AM=MC，于是AM+ME的最小值就是M的最小值，即CE的長就為最短距離，并且最短距離CE的長是3■.

師（追問）：你是如何求的，請說明解題過程？

生3：因為∠ADC=60°，易證△ADC是等邊三角形，而點E為AD中點，故有CE⊥AD，于是在Rt△ECD中，用勾股定理求解即可.

師：看來，問題的解決是利用了直角三角形的性質.下面我們將題目稍作變化.

（追問）問題2：如圖8，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ADC=60°，點E是DC邊上的中點，請在AC上找一點M，使得DM+ME的值最小，并求出這個最小值.

圖8

師：本題中，DM+ME的最小值即BE的長，又該如何求呢？

生4：老師，現在BE不在直角三角形中，需要構造一個直角三角形.

師（追問）：講得好，沒有直角三角形的時候，要學會構造個直角三角形.那么如何構造呢？

生5：如圖9，連接AE，因為E是等邊三角形一邊上的中點，所以∠EAC=30°，從而有∠EAB=90°.這樣，BE就在直角三角形EAB中了，而EA=3■，AB=6，則由勾股定理可得BE=3■.

（緊接著，其他同學又借助不同的輔助線構造出直角三角形）

圖9

師：真是八仙過海，各顯神通！同學們都很會思考，也把握住了解題的關鍵，即構造一個所求邊所在的直角三角形.好！讓我們再做進一步研究.

（追問）問題3：將正方形ABCD放置在如圖10所示的直角坐標系中，點P為AB中點，點B的坐標為（8，0），連接CP，將△BCP沿CP對折，使點B落在y軸的M點，且M的縱坐標為4.

圖10

（1）求點A的坐標；

（2）請在x軸上找一點Q，使得△CMQ的周長最短，并求出點Q坐標及最短周長.

師：請結合條件與結論思考，求A點坐標的實質是什么？折疊又能告訴我們什么？

生6：求A點坐標就是求OA或OP的長，折疊可以得對應邊相等，對應角相等.

師：很好！從幾何問題的解決策略來看，尋找所求元素的三角形，并研究這些元素之間的關系是最基本、最重要的方法.從這個角度分析，你找到解決問題的方法了嗎？

生7：找到了.根據對稱，可以得到MP+OP=BP+OP=8，這樣，設OP=x，則MP=8-x，于是由勾股定理可得x■+4■=（8-x）■，求得x=3，所以A點坐標應為（-2，0）.

師：讓我們繼續思考第二個問題，假設Q在x軸上的某一位置，請畫圖試一試，看看又有什么新的發現呢？

生8：無論Q在哪里，CM的長總是不變的.

生9：這樣一來，求周長的最小值實際上就是求MQ+CQ的最小值，這與我們前面所研究的問題是一樣的.

師：請說說具體的解題過程？

生10：由于點關于x軸的對稱點M′（0，-4），則Q點就是CM′與x軸的交點，設直線CM′函數解析式是y=kx-4，把C（8，10）代入解析式，可得k=■，于是y=■x-4.令y=0，則x=■，故Q點的坐標為（■，0），而由勾股定理可得，CM′=2■，所以△CMQ的最短周長就為CM′+CM=2■+10.

師：解釋得很好，既看到問題的本質，又綜合運用知識求解.當遇到類似的問題時，同學們可假設它在某個固定的位置，看看此時的情況，再逐步改變它的位置，以便發現哪些量是不變的，哪些量是變化的，又是怎樣在變的，從而發現解決問題的有效辦法.

從問題1到問題2的追問，教師將問題進行了橫向遷移，提高了學生的思維品質，體現了學生的主體參與性.從問題2到問題3的追問，實質上是對問題的有效拓展，更具內涵，既可以充分考查學生前面的學習成效，又可以充分提高學生綜合運用知識的能力.

三、研究的效果分析

（一）體現了學生的主體地位

學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.而傳統教學認為：“師者，傳道、授業、解惑也.”教學時，教師往往注重自身的教，而忽視學生的學，時常扮演“老夫子”角色，成為課堂的“主角”，學生成為“配角”，使得課堂主次顛倒，學生處于被動地位.在教學中讓學生主動嘗試、自主探索、合作交流，教師根據學生情況適時引導、有效追問.這樣便形成了師生交往，積極互動，共同發展的過程.課堂追問教學的實施，使得學生主動學習，發自內心深處的思考，學生的主體地位及教師的主導地位真正體現出來.

（二）點燃了學生的思維火花

由于受知識、經驗的局限，學生對問題的認識常表現出孤立、膚淺的思維特征，不能進一步深層次思考問題，常常停留在表面現象，不能發現問題的本質.為此教師要善問、巧問，從一題多問、問題串等不同形式出發，強調思維的發散性，增強思維的靈活性，順其自然地激活課堂.而此時進行的“追問”主要是教師及時地提供科學的思維方法，搭設思維跳板，幫助學生拓廣思考的視角，從多個角度發散，在廣闊的空間中搜尋，并在更高層次上繼續思考，從而得到新的發現.智慧的追問是教師對課堂教學的一種深度把握，促使學生不斷拓展和加深理解所學知識，對于揭示知識的本質，拓寬思維廣度和深度有著重要的意義.

（三）提高了學生的探究能力

新課標強調學生學習的重心不再僅僅放在學會知識上，而是轉到學會學習、掌握方法和培養能力上.數學探究能力的培養和提高能為今后的學習鋪平道路，平時的課堂教學中學生經常在教師的引導、追問下就能不斷發現新問題并給出問題的解決方法，然后糾正方法，改進提高，最終真正解決問題.在問題的解決過程中，教師還通過不斷追問引領學生反思解法，改進方法，層層探究.學生探究的過程其實就是創新的過程，在這個過程中，知識與能力的獲得不是依靠教師進行強制灌輸，而是在教師的追問和引導下由學生主動探索、主動思考、親自體驗出來的.課堂教學中實施有效的追問能讓學生積極地參與到學習過程中，自主探索，積極思考，大膽發表自己的觀點，讓學生在自主探索中獲得不斷發展，原有的學習探究能力就會得到較大的提高.

參考文獻：

[1]初中數學新課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.1.

[2]初中數學新課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.2.

[3]陳新蕓.實施有效追問構建生命課堂——初中數學課堂有效追問研究[J].中小學教學研究，2010.05.

[4]趙緒昌.把握數學課堂教學追問的時機[J].中學數學雜志，2010.10.

[5]陸慕萍.課堂教學如何實施有效追問.百度文庫，2011.10.18.http：//wenku.baidu.com/view/47346c6ba98271fe910ef947.html..endprint