對人教版初中數學教材“銳角三角函數”部分的分析

陳術金

摘 要： 初中數學中“銳角三角函數”部分的教學對中學生打好幾何基礎有著極其關鍵的作用，對學生一生的幾何能力也至關重要。可見，搞好這部分內容的教學是極其必要和重要的。本文對人教版教材中這部分內容作教學分析，給同行作參考。

關鍵詞： 初中數學教學 三角函數 基礎內容 正弦函數

初中數學中“銳角三角函數”部分的教學對中學生的幾何基礎有著極其關鍵的作用，雖然初中生之前有過一些幾何知識的初步了解，但這一部分仍然對初中生的幾何知識起奠基作用，對他們一生的幾何能力有著至關重要的影響。可見，搞好這部分內容的教學是極其必要和重要的。筆者對人教版教材中這部分內容作教學分析，給同行作參考。

一、教材分析

1.內容總體安排

本章的主要內容是銳角三角函數的概念（主要指正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數解直角三角形，這些內容是中學階段三角學的基礎知識。本章內容是在同學們學習了相似三角形、勾股定理和函數等有關知識的基礎上研究的，這些知識是學習本章內容的直接基礎。

本章內容分為兩節，第一節主要內容有三部分：一是學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念；二是研究了幾個特殊角（30°，45°，60°）的三角函數的求法；三是介紹了用計算器求銳角三角函數的方法。第二節首先主要研究了直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的知識；然后通過具體的實例說明了解直角三角形的應用，并總結出用三角函數的知識解決實際問題的一般過程。這個過程強調了數學建模的構建，凸顯了數學建模的思想，強化了數形結合思想。可以說第一節是第二節內容的基礎，后面的內容是第一節內容的應用，通過第二節的學習，鞏固和提高了學生對基礎內容的認識，使同學們對函數的概念及其本質有了更深層次的認識。

2.本章知識大致結構

從生活中的實際問題出發，引出三角函數，進一步著手解決銳角三角函數問題，最后，由解決問題的方法又回到生活中的實際問題中，引導學生解決具體問題。

3.課程目標

知識技能：（1）提高實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數，由已知三角函數的值求它對應的銳角；（2）能在簡單條件下（已知一邊和一銳角或兩邊）解直角三角形；（3）能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。

數學思考：（1）能收集、選擇和處理不同三角形中的相關信息，通過對比、歸納，抽象出銳角三角函數的概念；（2）在銳角三角函數概念的形成過程中，發展數感和符號感，發展抽象思維能力；（3）經歷銳角三角函數概念的形成過程，初步形成對應與函數思想。

解決問題：（1）能結數形和數字等信息發現并提出數學問題；（2）能嘗試評價不同三角函數之間的差異；（3）在概念的形成與應用中，學會與人合作，并與他人交流思維過程與結果；（4）通過解直角三角形在生活中的應用，提高解決實際問題的能力，發展應用意識。

情感與態度：（1）通過三角函數概念的建立及其應用，體驗數字、符號是有效地描述現實世界的重要手段，認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具；（2）在解決直角三角形的廣泛應用中，體驗學習數學的樂趣，增強參與數學活動的自覺性、積極性；（3）進一步體驗數學活動中充滿著探索與創造；（4）在計算器的使用中，體驗現代信息技術的價值。

從以上描述可以看出，對目標的要求不僅停留在知識技能方面，還特別注重讓學生參入數學活動的過程性方面。注重數學應用意識的形成和培養，將教學目標的實現有機地融入到精心創設的情境中、過程中和應用中。上述目標涵蓋了數學課程目標的各個緯度，體現了新課程的價值追求。

4.學習重點和難點

本章的重點是銳角三角函數的概念和直角三角形的解法；學生學習的難點是銳角三角函數的概念，因為銳角三角函數的概念反映了一個銳角的度數與實數值之間對應的函數關系，這種角與數之間的對應關系，以及sinA，cosA，tanA等函數的符號表示方法，學生都是第一次接觸，理解和認識起來都有一定的難度。學習本章的關鍵是結合圖形，遵循“從特殊到一般，從實踐探索到證明”的方式呈現正弦函數概念，在學生通過實驗、觀察、歸納、猜想等求知過程的基礎上，建立起角度與數值之間的對應關系，從而正確掌握銳角三角函數的概念，真正理解直角三角形中邊、角之間的關系。

二、學情與學法分析

1.常見的認知誤區和思維障礙

（1）不能正確理解三角函數的意義及表示方法；不能正確區分正弦函數、余弦函數和正切函數，在實際計算中出現混淆現象。

（2）由于過于依賴計算器，記錯特殊角（30°，45°，60°）的三角函數。

（3）在解直角三角形時，錯用直角三角形中的邊與角之間的關系。

（4）混淆坡度與正弦函數。

（5）解決實際問題時，對于通過審題建立數學模型，學生普遍感到困難。

2.學法指導

（1）對于三角函數概念的教學，要突出正弦函數概念的教學，其他兩個三角函數的概念可引導學生通過類比學習。要結合圖形，通過計算、推導，讓學生理解∠A的“對邊和斜邊的比值”僅與∠A的大小有關，在給出正弦函數概念之前，要留給予學生充分的時間和空間，引導他們經歷知識再發現的過程，在這個過程中理解、掌握正弦函數的本質。在給出了正弦函數、余弦函數、正切函數的概念后，引導學生歸納規律，以便記憶和應用，避免出現混淆的現象。如，三角函數的定義都是比值，其中正弦函數、正切函數的“分子”都是“對邊”；正弦函數、余弦函數的“分母”都是“斜邊”；正切函數的定義中沒有“斜邊”，等等。

（2）對于30°，45°，60°角的三角函數，要引導學生按照教材里“思考”欄目中給出的兩塊三角板問題，結合具體的圖形，自己計算出來，以“合作交流”的形式，先讓學生自己找規律，然后相互交流，發現這些比值之間的規律，這樣便于形成長久記憶。

（3）在解直角三角形時，能根據較復雜的圖形，找到或通過添加輔助線構造出欲求元素所在的直角三角形，結合圖形，根據已知元素及三角函數的概念正確選擇邊與角的關系。

（4）適當增加坡度與正弦函數的辨析題目，讓學生在實際練習中對二者加以理解與區別。

（5）在解決實際問題時，結合具體的題目，養成良好的審題習慣：一邊讀題，一邊畫圖或在給定的圖形中準確找到對應的信息。特別強調解題的思路是構造直角三角形。

參考文獻：

[1]孫曉天，孔凡哲，劉曉玫.空間觀念的內容及意義與培養[J].數學教育學報，2002（02）：33-35.

[2]孫曉天.情景數學的內容和特點介紹一套題材新穎的5-8年級數學教材[J].數學通報，2001（10）：18-22.

[3]林少杰.數學教學內容的非線性結構及其教學策略[J].教育導刊，2002（02）：54-56.

[4]丁爾升.再接再厲 探索創新——在中國教育學會中學數學教學專業委員會20周年紀念會上的講話[J].課程·教材·教法，2003（03）：22-25.