小議初中數學反思性教學

盧文方

摘要：數學反思性教學不僅能使教師成長為研究型的教育者，而且可以幫助學生加深對數學的理解，為他們提供發現的機會，這必將提高他們數學學習的興趣，使數學成為大眾的數學，這也是我們每一位數學工作者義不容辭的責任。

關鍵詞：初中數學;反思性教學;教師

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2014）11-0080

在數學教學過程中，反思性教學具有重要的地位和作用。反思性教學的一個重要特征是“兩個‘學會加速師生共同發展”，在反思性教學中，教學的主體——教師和學生都可以成為反思的實踐者。新課程非常強調教師的教學反思能力，美國著名的學者波斯納提出教師的成長公式是：教師成長=教學過程+反思;我國著名的心理學家林崇德也提出“優秀教師=教學過程+反思”的公式。正如肖川博士所說：“一個有事業心和使命感的教師，理當作為教育的探索者，其探索的最佳門徑就是從自我反思開始。”

因此，數學教師要養成反思的習慣，反思對教材的認識、理解、教學目標的確立、課堂教學的實施等，從多方面多角度引導學生進行反思，使學生學有所思，學有所樂，人人學有用的數學。故筆者結合自己平時的教學實踐從數學教學內容、數學課堂活動和作業附記三方面來談談自己對反思性教學的一些認識。

一、數學內容的反思

1. 揭示數學本質，對概念進行反思

建構主義認為，知識是在原有知識的基礎上，在人與環境的相互作用過程中，通過同化和順應，在“平衡——不平衡——新平衡”中不斷得到豐富和發展，通過個體反思、同學間討論交流，使自身的認知結構得以完善。

例1. 學了實數、無理數概念（無限不循環的小數）后，可讓學生反思。

（1）是無理數嗎？呢？是分數嗎？（讓學生搞清實數的分類）

（2）我們學過的哪些數是無理數？來源于幾方面？（使學生能了解無理數來源于①含π的式子 ?②開不盡方的式子：如，3…… ?③特殊的數：如2.1010010001……（兩個1之間依次多1個零）三方面）

（3）無理數能用數軸上的點表示嗎？如如何表示？

（4）數軸上的點與實數有什么關系？

（5）已知a、b、c對應點在數軸上為：

化簡

這樣使學生能加深無理數、實數概念的理解，并使他們在數的分類中懂得先找無理數比較方便，準確，以減少解題的失誤，還能通過數形結合加深對實數與數軸上點的對應關系和對一個實數幾何意義的理解。

2. 精加工：對公式、定理的反思

反思性數學學習可以說是針對操作性數學學習的，操作性數學學習以學會知識為目的，反思性數學學習以學會學習為目的，這兩種學習形成強烈對照，對于公式、定理的教學更是如此，前者認為學生只要記住公式、定理，然后去套用就可以了，而后者認為需要對公式、定理進行精加工，經過多次地反復思考，深入研究，主動建構，才能真正學會。

例2. 在學習了韋達定理

即 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則 ? ? ? x1+x2=- x1x2=提出對公式的條件和變式等方面進行反思。

反思1 利用韋達定理的條件（a≠0，△≥0）

反思2 若已知兩數和與兩數積，能否構造以這兩數為根的一元二次方程。（y2-（x1+x2）y+x1x2=0）

反思3 ?已知ab≠1且a、b滿足5a2+2006a+8=0，8b2+2006b+5=0，求的值。

根據兩方程中系數特點，能否將兩方程合成一個方程利用韋達定理來解？

3. 突出數學思維方法：對例題、習題的反思

平時我們總是這樣的埋怨：“這道題剛剛講過，學生又做的一塌糊涂。”而學生也常拍著腦袋喊“冤”：“這道題我已經做了好幾次了，怎么一下子又沒做出來。”出現這種現象的原因在于：我們只注重解題的數量，而忽視解題的質量，即輕視解題的過程以及解題后的反思例題、習題是數學知識的應用和對數學知識掌握程度的檢測，教師如果能很好的引導學生對例題、習題進行反思可加深學生對數學知識的理解，更有利于學生對數學知識的靈活運用，能做到舉一反三。

例3. 如圖，有一座拋物線拱橋，在正常水位時，水面AB的寬是20cm，如果水位上升3cm時，水面CD的寬為10cm，建立合適的直角坐標系，求此拋物線的解析式。

這道題的一般解法就是建立平面直角坐標系，而隨著建立坐標系的不同，所得的函數解析式和計算量也不盡相同。這里應引導學生通過比較反思建立如圖所示的坐標系更為簡便。

二、數學課堂教學過程的反思

1. 對教材中知識的形成進行反思

數學課堂教學過程包括教師、學生、教材三個要素，它們之間相互聯系、相互影響、相互制約.反思數學課堂教學過程，就是要深究教學過程中諸因素之間的相互關系、相互作用的過程中存在的問題，并對此提出修正意見，以提高教學質量和保證教學任務的完成。荷蘭著名數學家和數學教育家佛賴登塔爾指出，“反思是數學思維活動的核心和動力”、“通過反思才能使現實世界數學化”。因此，課堂中要注重對教材中知識的反思，尤其要在關鍵的知識點上進行反思。

例4. 在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺機床在工作，我們要設置一個零件供應站p，使這n臺機床到供應站p的距離總和最小，問p設在哪里？

反思1：這是一道實際問題，如何將它轉化成數學問題，可以n取特殊值思考，畫圖

（1）當n=2時 如圖①，p應設在哪里？（A1、A2之間的任何地方）

（2）當n=3時 如圖②（機床A2處）

（3）當n=4，5時，p應設在哪里？

反思2 ：若有n臺機床，p應設在哪里？

當n為奇數時，p應設在處;當n為偶數時，p應設在與之間的任何地方

反思3：根椐上例的結論

如何求x-1+x-2+x-3+……+x-617的最小值？

2. 暴露學生思維過程，對解題思路進行反思

對解題過程的反思，目的在于追求對解題的思路、推理的過程、運算的過程、語言的表述進行優化和簡縮，要暴露其解題過程中的思維活動，及時進行反思、修改、簡縮，從中歸納、總結，使學生自主開闊數學思維的廣度，從多角度、全方位審視數學問題，并逐步優化數學解題中的推理模式。

例5. 已知m滿足m2-5m+1=0，求m2+的值。

學生：方程的求根公式

（思路清晰，但計算繁瑣，大部分同學想到這一方法，既花時間，準確率又不高，筆者叫了幾位學生板演，充分暴露其思維過程。）

師：回顧一下剛才幾位同學的解法，大家覺得如何，有沒有更好的方法？

（將學生的思維過程暴露后，引導學生反思，尋找最佳解法。）

學生反思：由m2-5m+1=0，易判斷方程有兩個不相等的實根，且常數項為1，由根與系數的關系，得此方程兩根互為倒數，即m×=1 m+=-（-5）=5 ∴m2+=（m+）2-2=23

（這種方法挖掘了m的內涵，m與是方程m2-5m+1=0的兩根，并與韋達定理進行了聯系，這也體現了一種發散。能想到是非常了不起的！）

教師：對學生的多種解法，我們除了要比較各自的優劣外，也應允許學生犯錯誤，更要鼓勵其探索反思，這樣才能激發學生自主學習、探求問題的興趣，讓學生體會到最佳解題方法的思維規律。

3. 強調探究過程，對問題的理解進行反思

對于課堂教學中一些疑難點，教師如不借助于一定的探究手段，就不能調動學生思維的積極性，也很難達到預定的目標，只有在數學學習活動中探究其中的問題和答案，不斷調整學生自己的學習策略，建構他們自己對問題的理解，從而提高學生個人的創造力。

例6. 在“由視圖到立體圖形”這一節中，用小立方塊搭一個幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖3和圖4所示。

反思1：這樣的幾何體只有一種嗎？它最小需要多少個小立方塊？最多需要多少個小立方塊？

學生進小組活動，通過嘗試搭小立方塊，相互合作，相互出點子，得到多種答案，并總結出最少需要幾個，最多需要幾個。

反思2：根據主視圖和俯視圖，你能否不通過搭幾何體模型，直接確定它最少需要多少個小立方塊？最多又是多少？

學生進行小組討論，交流總結并概括出：由俯視圖確定小立方塊的擺法，根據主視圖確定每列的最高層次，即每列小立方塊的個數。

最少擺法中所需小立方塊的個數：3+2+1+1+1+1+1=10（圖5）

最多擺法中所需小立方塊的個數：3+3+3+2+2+2+1=16（圖6）

通過反思性教學，利用探究，充分調動學生思維的積極性，將這類較難的問題解決了，而且還從動手操作提升到了理論的高度，使學生學到的知識得以內化。

三、作業附記

所謂作業附記是指把反思的內容附在作業后，可有督促學生對所學內容及時反思，也可以讓教師及時了解學生對本節課的掌握情況。

如學生A說，“老師，剛開學的第一個星期發覺自已學的不是很認真，上課有時要走神，沒有了上學期的那股沖勁，很擔心自己數學成績要下降，我該怎么辦？”

這位學生實際上是在反思學習態度。我的評語是：你有這樣的意識，說明你已經很不錯了，老師也相信你能克服，你自己想想是否是這些方面的原因：1. 開學了，你那份懶散的心有沒有收回？2. 是不是受到上學期期末考的刺激？（這位同學上學期真的是很認真，可期末考成績不如意）3. 上課聽的懂嗎？ 此后，我還跟她面對面的交談，她重新拾回了學習的信心！

還有一些同學專門整理出了一本訂錯本，把做錯的作業訂正在上面，而且還把反思附在后面，如學生B說，在-這題中我們應注意以下幾點：①（a-b）2=（b-a）2而a-b=-（b-a）;②分數線還具有括號的功能，應減去分子的整體，加一個括號，即 ?-（2a2b+1）;③計算結果應是最簡分式。

這是一位基礎一般的學生的附記，她先把作業本中的錯解照抄回來，然后正確的解做旁邊，對照得出來3大注意點從中可以說明她是多么認真的在訂錯，而且還以她獨特的方式來掌握這些容易錯的地方，我把它推廣到全班去，果然計算題正確率有很大的提高。

數學教學中反思關鍵要靠教師的示范、引導，但重要的是要學生自己學會反思，并在數學學習中自己自覺地進行反思，逐漸形成一種反思的意識和習慣，這樣教師的“教”可以成功的實現最終的“不教”。

（作者單位：浙江省諸暨市楓橋鎮中 311800）