重視數學中數形結合思想的運用培養學生創新能力

黃曰東

摘 要：華羅庚先生說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”數形結合，巧妙地將數量關系、空間形式有機結合，分析代數意義的同時又揭示幾何意義，有助于把握數學問題本質，提高學生的解題能力。

關鍵詞：高中數學;數形結合;問題;參數

數形結合的本質就是用“以數輔形”“以型輔數”的方式將圖形關系、幾何位置、空間形式、數量關系綜合起來使得問題具體化、簡單化。本文結合筆者多年的數學教學經驗，闡述了數形結合思想的重要性和具體措施，使得學生提高自身對數形結合的運用，培養他們的創新能力。

一、數形結合思想的意義

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”“數”“形”亦是最先研究的數學對象，正確地運用數形結合思想很重要。

（1）有利于數學概念的理解。數學概念往往過于繁雜、單調、難理解，利用數形結合可以深化學生對概念的解讀。一是能優化學生對知識體系的梳理，數形結合使得學生的知識結構系統化，有益于對知識的運用。二是化抽象為具體，運用數學結合，為數學概念賦予文字、圖形解釋，有助于學生對知識的理解，讓學生易于理解和接受。

（2）有助于解決數學問題。在做數學題目時，學生常常找不到突破點，對于有難度的大題、思考題常常露怯，這也是許多學生學不好數學的關鍵。數形結合不一定是解題方法，但可以作為很好的思維策略，在解題受阻時可以成為很好的解題突破口。很大程度上，數形結合思想是解決問題的導向。學生具有個體性，有的學生思維能力強思考問題時間短，有的學生則比較弱思維鏈常常冗雜且無序性，數形結合能很好地將問題直觀化、簡單化、模型化，有利于形成圖形、數式模塊，提高學生整體的解題速度，有助于思維能力的提高。做題時很多題目都是通過直觀的圖形得到啟發，然后稍加計算推導解決問題的，結合了豐富的直觀圖形實現了由直觀形象到抽象邏輯思維的飛躍，也鍛煉了學生將復雜問題簡化為直觀形象思維的能力，培養了學生的直覺思維。

二、 運用數形結合需注意的問題

（1）合理設置參數，實現數形轉化。數形結合思想的關鍵就是聯系圖像和數學語言，靈活實現幾何問題數化或代數問題幾何化。參數能刻畫事物變化的狀態，揭示變化因素內在聯系，所以恰當地引進參數設置參數，利用圖形可以簡化解題過程。

【例題】已知正四棱錐S-ABCD（如圖1）的側面與底面的夾角為？茁，相鄰兩側面的夾角為a，求證：cosa=-cos2？茁。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

【分析】要證明cosa=-cos2？茁，就先要求出a、？茁的余弦，在圖形中可以連AC、BD交于O，連SO;取BC中點F，連SF、OF;作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO= ？茁，∠DEB=a。這時關鍵就是設置參數，根據圖形分析，可以設BC=a，表示出SF、SC，又因為BE=■，而BE、SF、SC都有含a、？茁式子表示，最后根據余弦定理就可證明cosa=-cos2？茁。

要注意的是：很多時候，參數只是個輔助，設而不求。所以，不要害怕設置參數怕解不出來。圖像是突破口，設哪些因素為參數可以通過圖形分析出來，要把握好兩者的結合。

（2）確定參數的取值范圍。常常解題要用到參數，但切記在設置參數的同時就要把參數取值范圍給寫出來，以免解出的答案不符合值域要求。

【例題】若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內有唯一解，求實數m的取值范圍。

【分析】首先注意的就是參數x是有范圍的，3-x>0-x2+3x-m>0-x2+3x-m=3-x即得出3-x>0（x-2）2=1-m，此時可以設新的函數y，y1=（x-2）2，x∈（0，3）和y2=1-m，并畫出圖2，通過圖形可以直觀地看出有兩種情形：當1-m=0，或當1≤1-m<4，就能求出m的范圍。

（3）明確代數特征、代數概念、幾何意義。明確概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征十分重要，對數學題目中的條件和結論有一定的分析和理解能力。教師要有機結合和利用，注重概念與圖形的綜合。

例如在學習集合的時候，為了讓學生更好地理解，我先介紹了一種表示方法維恩（Venn）圖，用封閉曲線的內部表示集合，先讓學生畫出兩封閉曲線存在的位置關系圖。無疑有四種，如圖3。接著，引導他們用集合語言加以描述，發現①沒有公共的部分，即集合A、B沒有共同的元素;②有公共的部分，即集合A、B有共同的元素;③A完全在B的內部;④A與B重合，即集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們把集合A叫做集合B的子集。通過維恩（Venn）圖的直觀表示，學生就能理解一些抽象概念，接著再用相似的方法介紹“子集”“真子集”“集合相等”等概念，就使學生體會了數形結合的思想。

本文主要講述的是“以形助數”“以數輔形”的數形結合思想，當然還有其他解題思維方法如函數與方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等。總之，數學課堂要求我們教師要不斷滲透數學思想方法，多方面培養學生的創新能力，進而提高高中數學的教學質量。

（江蘇省射陽縣高級中學）