概念的發展與迷思分數

曹雅玲

【摘要】分數一詞來自拉丁文的“ frangere”，意義是指分開，通常用來描述一個被分開的全體之部分.分數的發明最初即是為了因應各種測量上的需要，而“分數”的概念也與我們的生活關系密切，日常生活中我們常有分東西的經驗，例如把一個蛋糕分成幾塊，或是把一些鉛筆平分給幾個小朋友等，在分的過程中，往往會考慮到要如何分？可以分得多少？或是在測量物體的長度時會遭遇到所使用的單位度量并不能剛好量完的情形，諸如此類的問題都跟分數的概念有密切的關系.“分數”就成了數學教材中極為重要的一員.

【關鍵詞】分數概念；小學數學；教學方法

目前的小學數學中，分數概念的學習是課程的重點之一，主要原因為：（1）兒童具備基本的分數概念后，才能進一步發展有理數概念；（2）兒童在比較兩個分數的次序關系時，須考慮分數的等價關系，借由分數的學習，兒童能增進等價的觀念；（3）分數概念的了解有助于學生處理有關分數的四則運算問題；（4）分數和許多重要的數學概念（如比、比例、機率、小數、百分率等）有密切的關聯性，而這些概念是兒童學習基礎科學知識所必需.由此可見分數在數學中的重要性.學童在學習分數時若發生困難，將會影響未來數學的學習.因此，教師若能事先了解分數概念之發展，診斷出學童是否有正確之分數概念，以為教學上之參考.

皮亞杰等人（ 1960）使用連續量的具體物研究4 ～7歲兒童對面積的分割行為，以探討兒童如何建構部分與整體的關系，來形成分數的概念.作者歸納 Ning （1992）、皮亞杰（1960）等人的觀點，認為兒童在了解分數運算之前必須具有下列4個子概念，分別敘述如下：

（一）對單位量的認知

處理分數問題最重要的一個概念就是單位量的指認，例如：學生在回答一盒鉛筆有12 支，其中的一支是幾盒的問題時，能夠回答十二分之一盒；或者是一盒鉛筆有12 支時，學生能夠將1[]6盒視為12支鉛筆的六等份中的 一份，就是2支鉛筆；2[]6盒視為12支鉛筆的六等份中的兩份，就是4 支.學生在解題時，能夠將給定的單位量內容視為一支整體，在分辨所給定的單位（盒）和單位分量（支）之間的關系后，再予以分割.

（二）應分完而且沒有余數的等分割概念

處理完分數問題另一個重要的概念就是必須有一個可以除盡的全體才有分數的思考，學生開始接觸正式的分數課程時，大多從分東西的經驗出發，然后才以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此學生認為幾分之幾就是要做“分”的動作，而且分完沒有剩余.例如：一箱飲料有24 罐時，1[]4箱就是6 罐，2[]4箱是12 罐.因為6罐是一份，1 箱剛好是4 等份.

（三）具有部分與整體間的關系

處理分數問題重要的概念必須了解分數的意義，避免忽略了分數是要對整體進行等分割的活動.分數是具有部分與整體間的關系，學生能視分數 a/b 為一個數，且a 為整數b 的部分（連續量情境）或a為集合b 的子集（離散量情境）.例如：一箱飲料有24 罐時，1[]4箱是6 罐，因為6 罐為1 份，1 箱剛好是4 份，1[]4箱是4 份當中的其中 1 份.因此，兒童具有等比例運思與等值分數的概念.

（四）單位分量（數）的確認

處理分數問題重要的概念也包含單位分量（數）的確認.當兒童操作了再細分的部分概念或子分割時，他們了解到此細分的部分是全體的一部分，同時這一個細分的部分本身也是一個可以再細分的全體，因為分數是從全體而來，其全體始終不變.

但是從過去的研究顯示，分數是學生學習數學的一個絆腳石，其本身所具備的多重意義，經常是造成學生學習分數困難的重要原因之一.對學生而言，分數是一個非常抽象的概念，不容易與日常生活經驗相連接，因為它所涉及的是一種基準化的能力，與往后的數學學習有極大相關，因此教師如何教，才能培養學生基準化的能力，進而有效地發展分數概念，獲得分數數感，并且把分數應用到問題的情境上是教師們需要努力的目標.在小學階段的數學大都是分析具體物的性質以形成概念，教師不應為了趕進度而省略了一些具體的操作過程，或將公式口訣視為教學法寶，因而錯過了一些生活可用的寶貴題材，因為數學源于日常生活的需要，能與生活相關聯的知識才是活知識，也唯有與兒童生活相呼應的學習內容，才會引起學生的興趣.就小學高年級的數學而言，分數的學習是他們的一個痛點，尤其是進入分數乘除法中，更是暈頭轉向，分析其教材內容，多數涉及了兩量間的關系，再加上分數所賦予它的意義有所不同，導致學生有如此大的挫折感，如何幫助學生確實讓研究者有些困擾.作者基于多年來的教學與研究經驗發現，教學內容一旦涉及分數概念的文字題時，學生的表現總是不如人意，尤其是在分數乘除法運算上更是屢屢受挫，歸究其原因發現，學生無法正確地掌握兩量關系為分數倍的情境經驗，所以作者認為學生是否擁有分數基準化能力常是影響分數乘除法運算的重要因素.根據學者的研究顯示，學生之所以分數學習及運算上有很大困難，其原因是學生對分數概念難以理解，分數符號與分數意義疏離，只會機械式地使用分數算則或套用口訣來解題，但卻不了解算則的意義.本文將研究者多年來在課室教學中的經驗及綜合各學者的相關研究文獻，歸納學生在分數四則運算中的一些迷思概念，分述如下：

（1）僅停留在“起始單位分數”（initial unit fraction ）的階段，并未到達可復制的“單位分數階段”.不了解異分母加法需將分母通分的概念及技巧，例如將1[]2+1[]3，學生直接將分母加分母、分子加分子，就像在處理整數加法時一般，完全不去注意分數的表示方式，像這樣的學生，并不了解不同分母的分數表示其分割數不相同，因此，進行兩個不同分母分數的合成分解時，必須先找出這兩個分數的共測單位（共同的測量單位）.

（2）在無完整分數概念下，以背誦“口訣”來進行解題.總結教學的經驗發現一個共通的現象是學生在計算方面的技巧非常熟練，但卻不能理解分數的真正意義.最明顯的例子就是，計算1[]A除以1[]B時，為什么要將1[]B倒過來再與1[]A相乘呢？大部分的教師都會請學生記住這個運算方式，很少人會在課堂上探究其中的原因，也或許是教師本身的分數知識欠佳所造成.分數的意義會隨其應用的情境不同而有不同的解釋，它的形態多變又與其他數學知識有密切的關聯，使得無論是學生或是身為教學者的成人都容易產生多種的迷思概念.分數是一個非常抽象的概念，其學習的過程沒有整數概念來得長，所以在學生無法快速吸收的狀況下，背誦“口訣”.

（3）數與量的概念無法區別.分數的數與量概念出現混淆，如：一瓶 5公升的果汁，喝掉了整瓶果汁的2[]3，還剩下多少公升？當學生的解題為 5-2[]3時，學生無法理解2[]3在此是一個運算子，而將它視為是一個量.

（4）異分母的合成分解在通分上有困難.學生在對分數的意義不了解的情況下，胡亂使用分數算則，不知使用等值分數、通分等基本概念，因此在分數轉換成假分數或者是在處理分數計算的過程中，便容易導致錯誤的發生，影響了分數的學習；當學生在等值分數及因數倍數的概念發展不完全時，一旦面對分數的合成與分解時，必定會慌了手腳，因為異分母的合成分解是定位在尋找共測單位的基礎上，而共測單位的分母必為被加（減）數及加（減）數分母公倍數.

（5）基準量與比較量相混淆.學生對兩量之間關系的比較所易犯的迷思是，先出現的數先寫，例如：小明喝了112杯的鮮奶，小英喝了214杯的鮮奶，請問小英喝的鮮奶是小明的幾倍？學生在解此題時常常忽略了基準量是小明，而直接將先出現的數112 寫在算式的前項，后提到的數214 則寫在后項.

（6）離散量與單位量相混淆.當單位分數所指內容物為離散量時，如果內容物個數大于分母時，學生較為可能發生解題錯誤，尤其是當題目中同時包含兩個單位時，學生分數運算便明顯地受到干擾.

（7）大數除以小數.高年級學生分數概念的發展時，有部分學生在內容物小于整數量時，常常依舊以大數除以小數來解題，他們并不知道以真分數來表示相對比較的結果.例如：甲的 7 倍是3，乙的5倍是2，請問甲乙兩數共多少？學生很容易以7÷ 3來求得甲數，以5÷2 來求得乙數.

Behr等人（1983）則設計了一個有理數教學的概念架構，依此架構先教等分及部分整體概念，再教比、運算子、商、測量，最后才教等價分數、乘法、解題和加法 （如圖）.

有理數教學的概念架構 （Behr al.，1983）

此外，Kierren （1988）提供如何進行有效的有理數知識概念的建構，由具體事實到較抽象概念的階層，建構了一個有理數知識的概念結構，此知識系統可以分成下列幾個層次：（1）具體事實——生活中可以觀察的一些現象，例如將蘋果切成兩份、把10顆糖果平分給兩人等等是具體事實.局部概念——由具體事實所抽象出來的基層概念，如公平、快慢等等為局部概念.（2）有理數的第一階層的概念——等分、等值、單位.這三個建構使得兒童能解決與分數有關的問題.（3）有理數的第二階層概念——測量、商、比、和運算子.（4）純量與函數的關系.（5）乘法結構及形式化的乘法.（6）形式化的加法與形式化的乘法.（7）有理數體——完整的形式化系統，抽象代數所探討的領域.目前小學課程中，先由等分來引入分數概念，學生理解的階層約到第三層.對于這樣的概念結構，教師需有深入的了解才能依學生的認知發展適當地進行教學.

在教學上，課程的設計必須符合學生的認知發展，課程的深淺必須依照概念發展的順序進行編排，讓學生由最基本最易學習的概念開始學習.依據Lesh，Post & Behr（1987）的表征結構，老師在教學時，應強調實物表征、具體操作物表征、圖形表征、口語表征、符號表征之間的聯結，因為學生在學習同分母真分數的加減法時，已是一、二年級或三年級了，此時學生已漸漸脫離需要實物與具體操作物的時期，因此老師在教學時可以同時加強圖形表征、口語表征、符號表征之間的聯結.同時也應讓學生了解，當老師在評量時，可以運用他在課堂上所熟悉的圖形表征或者把口語表征文字化來說明他所了解的概念，才不會出現上述大部分學生只寫算式，不知道如何表達他的概念性知識.教師的任務在于幫助學生能有意義及有效的學習，一般認為分析學生的迷思概念可以了解學生的內在概念，能使教師更清晰地了解學生的心理運作，對于教學策略的修正、補救教學的實施有相當大的幫助.因此，面對學生分數學習成效不佳的問題，教師應對此作深入的了解，才能針對學生在分數學習上可能遭遇的困難加以防范，并對其所產生的錯誤加以診斷.此外，教師需努力加強自身的分數知識和分數教學知識，然后設計適當的教學方案，并注意在設計問題時，應包含由各個類型出發的題目，以提升學生的學習成效.以抽象的分數概念教學來說，與其在黑板上講得口沫橫飛，倒不如讓學生多一點“玩”的經驗，以量杯、直尺、拼板，甚至繩子或棍子，讓學生“玩”出比例的概念，從中體會分數運算的法則，像這樣從學生的先備經驗及生活經驗出發，目的是要引出學生對數學的感覺，有了這種參與、討論、對話及實作的感覺后，數學興趣自然提升，然后再來講解分數運算及實際例題等，可能會有比較好的學習效果.

總而言之，學生在學習分數運算的過程中障礙重重，教師有必要針對其運算上的迷思點追溯到問題的源頭，采取有效的教學來幫助學生.在分數加減運算上，學生需先能理解等值分數及通分的意義，并能尋求共測單位，才能進一步解決異分母的合成分解問題；在分數乘除運算上，亦應先由單位量轉換及等分割的觀點來引導學生成功解題，必要時再引入成人的分數運算法則，讓學生能知其所以然.