課堂，別脫離學生的思維軌跡

范艷華

摘要：數(shù)學學習本質(zhì)上是一種思維活動。數(shù)學教學過程的本質(zhì)是教師指導下的學生的認識實踐過程，是學生的思維經(jīng)過同化、順應，構(gòu)建新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程。教學中教師應該讀懂學生的思維過程，把準學生的思維之脈，順應學生的思維現(xiàn)實，這將有利于學生構(gòu)建良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學思維能力。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學課堂；思維；順應；過程

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）04-0069-04

數(shù)學教學過程的本質(zhì)是教師指導下的學生的認識實踐過程。學生頭腦里原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)與將要學習的新數(shù)學知識結(jié)構(gòu)之間不斷相互作用，學生的思維經(jīng)過同化、順應、構(gòu)建新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。

而在實際的課堂教學中，依然存在著教師只顧循著自己的“設(shè)計思路”牽引學生的思維，忽略學生思維的真實過程的現(xiàn)象。

因此，教師如何在深入了解學生的思維真相的基礎(chǔ)上展開學生真正需要的教學，是我們必須關(guān)注和面對的問題。這意味著教學中教師要順應學生的原始思維、多向思維以及超前思維等思維現(xiàn)實，始終把準學生的思維之脈。

一、順應學生的原始思維

教師在備課時，往往是站在教材的角度，思考知識重點是什么，要求學生掌握什么，而常常忽略學生的原始思維是什么，在教學中將學生生硬地牽入教師預設(shè)的“新軌道”，導致學生的原始思維過程得不到澄清，使學生始終停留在思維困惑中。

再完善的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和思維過程， 教師也無法代替，教師要順著學生的原始思維漸進引導，讓學生在不知不覺中從原始思維走進新的思維。只有當學生的思維真正被啟動起來，才能轉(zhuǎn)化成他們頭腦里的新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。

案例1：蘇教版數(shù)學五年級上冊《小數(shù)乘小數(shù)》教學片段

學生嘗試計算3.6×2.8，然后交流。

生：3.6×2.8=100.8 理由：因為小數(shù)點要對齊。

師：為什么要小數(shù)點對齊呢？

生：因為在小數(shù)的計算時都要把小數(shù)點對齊。

師（一時無語）：哦，請坐下。還有別的想法嗎？……

1.要讀懂學生的原始思維

學生在第四單元已經(jīng)學過《小數(shù)的加減法》，在計算小數(shù)加減法時特別強調(diào)把小數(shù)點對齊也就是把數(shù)位對齊；第七單元《小數(shù)的乘法和除法（一）》中已經(jīng)學過小數(shù)乘整數(shù)，小數(shù)乘整數(shù)時雖然也觀察積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)小數(shù)位數(shù)的關(guān)系，但是從形式上看，小數(shù)乘整數(shù)時，積的小數(shù)點和因數(shù)的小數(shù)點正好也是對齊的。所以當遇到小數(shù)乘小數(shù)時，有一部分學生就直接進行“經(jīng)驗”遷移：列豎式時將因數(shù)的小數(shù)點對齊，然后先按整數(shù)乘法的計算方法算出積，最后再把積的小數(shù)點和豎式中因數(shù)的小數(shù)點對齊。于是就有了上面案例中的情況。

2.要把學生的原始思維作為最好的教學起點

學生出現(xiàn)這樣的結(jié)果，其實有經(jīng)驗的教師是應該可以預設(shè)到的，但往往是教師即使預設(shè)到了也不敢或者不愿正面去應對，常常采取避而不答的態(tài)度。

殊不知，學生的原始思維，正是教學中學生學習的最佳的生長點。上面的案例中學生的原始思維雖然是錯誤的經(jīng)驗遷移，但是其中蘊含著它的合理因素，那就是“小數(shù)乘小數(shù)首先是按整數(shù)乘法的計算方法算出積”，這一步顯然至關(guān)重要。此時，教師要先肯定這位學生的正確之處，然后再這樣追問：“原來是兩個小數(shù)相乘，現(xiàn)在把它們當作整數(shù)相乘，那么乘得的積和原來的積比較發(fā)生了怎樣的變化？如果將積的小數(shù)點和因數(shù)的小數(shù)點對齊，是不是就回到了原來積的大小呢？”在這樣的追問下，學生自然就會在思維上深入一層，從積的變化情況去求索積的小數(shù)點的位置這個關(guān)鍵的問題。在基于學生原始思維基礎(chǔ)上的教學過程中，學生有一種始終被教師尊重和關(guān)注的感覺。在這樣的“感覺”驅(qū)動下，學生的思維會在不知不覺中隨著教師的引導主動深入到更高層次的數(shù)學問題情境，進而得到真正的發(fā)展。

二、順應學生的多向思維

在教學中，面對一個數(shù)學問題，由于學生的先有經(jīng)驗、思維特點、思維水平的不同，往往會有不同的思維方向，進而產(chǎn)生不同的思維結(jié)果。面對學生的多向思維，教師往往只取合乎預設(shè)教學思路的，而去除一些與預設(shè)教學思路不符合的或者有點“旁門左道”的結(jié)果。這樣，表面看來似乎教學推進順利，而實際上，在這樣的教學過程中，一些學生活躍的思維被嘎然“關(guān)住”了。隨著教學的繼續(xù)，這些學生不明白：自己明明想的是對的，為什么老師卻對自己的想法不置可否或者不予理睬呢？試想，在這樣的教學過程中，多少閃亮的思維被教師的“不予理睬”給扼殺了。教學目標的達成難道僅僅是教材知識技能的落實？

案例2：蘇教版數(shù)學五年級上冊《一個數(shù)除以小數(shù)》教學片段

師：7.98÷4.2，這是今天我們要研究的除數(shù)是小數(shù)的除法，顯然目前我們還不會算。你們會將它轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)會算的算式來計算嗎？

生1：我想把它變成798÷42，然后把算出來的商再除以……（學生在思考、在猶豫）除以1000。

其他學生有不同聲音：不對，是除以100。

師：意見不太統(tǒng)一，看來這種方法有點問題。還有不同的想法嗎？

生（在下面輕聲說）：只要把商除以10就可以了。

生2：只要把它變成798÷420，這樣商是不變的。

師（面露欣喜）：你的想法很有道理，你想到了用商不變的規(guī)律來解決這個問題。老師有個小建議，你看用商不變的規(guī)律能不能把它轉(zhuǎn)化成簡單一點的除法？比如我們前面剛學過的小數(shù)除以整數(shù)？

生3（受了教師的暗示恍然大悟）：老師，只要變成79.8÷42就可以了。

師：你真聰明！來說說看，你是怎么想的呢？

生3：只要把被除數(shù)和除數(shù)都乘10，這樣就是小數(shù)除以整數(shù)啦，而且商是不變的。

師：掌聲在哪里？

（學生們鼓掌。）

師：你們看，這么一變，我們就把未知的問題轉(zhuǎn)化成了已知的問題。來，用這樣的方法我們來試著算一算。

（學生嘗試計算。）

1.要打開學生的多向思維

上面案例中，學生出現(xiàn)了三種不同的思維結(jié)果：想法一將除數(shù)是小數(shù)的除法變成整數(shù)除法，發(fā)現(xiàn)商會發(fā)生變化，于是想辦法將商進行還原；想法二將除數(shù)是小數(shù)的除法根據(jù)商不變規(guī)律直接轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，這樣雖與教材的方法不一致，但接近了；于是在教師的“引導”下，就出現(xiàn)了和教材完全一致的方法三，將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。透過學生的多向思維的三種結(jié)果我們可以看到，盡管學生的思維是多向的，方法也各有不同，然而在這些不同中總有著本質(zhì)的相互聯(lián)系，也有著本質(zhì)的共同點：即學生都在設(shè)法將未知的“不能”轉(zhuǎn)化成已知的“能”，把小數(shù)變成整數(shù)。不同的是，想法一想到的先“變”再“還原”，也就是先把除數(shù)和被除數(shù)都變成整數(shù)，觀察分析被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生的變化引起商發(fā)生的變化，再把商“變回來”，但由于變化有點復雜，一時沒有厘清還原的思路。而想法二是直接利用商不變的規(guī)律達成了形式變了而實質(zhì)沒變，想法三其實與方法二基本相同，只是著眼變化的點不同，方法二是將被除數(shù)和除數(shù)都變成整數(shù)，而方法二只要將除數(shù)變成整數(shù)。教師要善于在學生的思維充分被激活的狀態(tài)下，引領(lǐng)學生一起走進新知的探索之旅。

2.要把多向思維作為最好教學深入點

“一切教都是為了不教”，在遇到一個新的數(shù)學問題時，當教師充分激活學生的思維，讓學生將自己的想法“傾囊而出”時，學生的思維之閥就會一下子打開。此時，學生之間還會進行思維的碰撞與啟發(fā)，在交流碰撞的過程中逐步優(yōu)化解決問題策略，提升思維的深度和廣度。

上面案例中，當學生出現(xiàn)想法一又說不清時，教師可以將之記錄下來，然后再傾聽別的想法，于是很自然會出現(xiàn)想法二和想法三。這時，教師就組織學生以學習小組為單位選擇其中一種或幾種方法進行研究，相信學生定能將之闡釋清楚。最后，教師再組織學生比較，這三種方法哪種更優(yōu)。學生有可能會覺得三種方法都不錯。這時，教師可以設(shè)計這樣一組題：37.5÷7.5 0.476÷2.8 4.7÷2.35讓學生繼續(xù)練習。第一題讓學生體會：在小數(shù)位數(shù)相同的情況下，三種方法優(yōu)勢相差無幾。第二題讓學生體會如果要將被除數(shù)和除數(shù)都變成整數(shù)，顯然比較麻煩，只需轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)就可以了。第三題讓學生體會：本質(zhì)是看除數(shù)，目的只需將除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)。通過這三小題的練習比較，學生在計算中自主選擇合理的策略解決實際的數(shù)學問題，明白了解決問題時首先要明確所選思路的方向，然后順著這個方向再選擇合適的策略，同時還要學會策略之間的相互比較，在某個解決策略行不通或者遇上麻煩時，可以對解決問題的思路進行修整，或者改道而行。這樣的過程中，學生習得的不僅是一種新計算的方法，更寶貴的是習得了一種學習數(shù)學的方法。

三、順應學生的超前思維

如果問教師這樣一個問題：“你在備課和上課的過程中，最關(guān)注的是哪一層次的學生？”相信很多教師會回答：“我最關(guān)注的是那一批學得比較慢的學生，我得保證這些學生能掌握新知。”可以看出，這樣的教師責任心很強，班級授課，當然要兼顧到全體，尤其是那一批“學得慢”的學生。在設(shè)定教學目標時我們得保證每個孩子對于“雙基”的落實，即掌握本節(jié)課的基礎(chǔ)知識，形成基本技能。但是，在教學的實際過程中，我們往往會遇到有的學生的思維走在了教師預設(shè)之前，或者遠遠超過了預設(shè)的思維范圍。這樣的時候，教師往往不敢往前跨越，因為怕這樣的超前思維干擾了基本思維的走向，怕這些超前學生“影響”學得較慢的那批學生，使得他們無法落實“雙基”。事實證明其實不然，一部分學生的超前思維，能帶動全體學生的思維走得更遠。

案例3：蘇教版數(shù)學三年級上冊《整百數(shù)乘一位數(shù)的口算》教學片段1

①2×3 6×8 4×7

200×3 600×8 400×7

學生口算后，教師提問：算完這些題你想說什么？

生1：200×3=600中的6和上面的6相同。

生2：6×8=48 6×800只要把上面的48拉下來再添2個0。

師：下面老師先出一題，你們先算再來猜它的上一題或者下一題。我出300×8

生：300×8=2400，下面一題3×8=24.

師：我出5×9=45，猜猜它下面一題可能是什么？

生1：500×9=4500

生2：900×5=4500

生3：500×9=4500

生4：500×900=……四萬五百（第一次超前）

師：（沒有將之板書出來），可以的，但是你們還不會算，算出的這個數(shù)可能你們還不會讀。

片段2：

②分一分 想一想

6×8 30×7 4×90 3×7 400×9 4×9 300×7 4×9

四人小組，把這些算式分一分類，并說說為什么這么分？

師：3×7和4×9都有好朋友，6×8特孤單，你們也來給它找?guī)讉€朋友呢。

生1：6×800=4800

生2：6×80=480

生3：600×8=4800

生4：800×6=4800

生5：600×800（第二次“超前”，仍然是剛才的那個男孩）

師：你堅持還要出這個題，你知道等于多少？試試看。

生5：等于四萬八百。

師：這個數(shù)你不會讀，但你知道大概等于多少。

生5：（自我糾正）四萬八千。

師：（微笑著）下面我們再來練習。

1.要接住學生的超前思維

義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）指出：數(shù)學知識的教學，要注意知識的“生長點”和“延伸點”，要把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識之間關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性。

對于數(shù)學的整體性，我們可以從兩個層面理解：一是知識體系的整體性，二是學生思維的整體性。知識體系的整體性不難理解，但是思維的整體性，這是一個隱性的、基于學生的實際情況而論的體系，具有一定的動態(tài)性和隨機性。

上述案例中，教師預設(shè)的知識技能目標是讓學生在已經(jīng)會口算整十數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上讓學生掌握整百數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，并且特別注重溝通整十數(shù)乘一位數(shù)、整百數(shù)乘一位數(shù)與相對應的一位數(shù)乘一位數(shù)的表內(nèi)乘法的聯(lián)系，借助表內(nèi)乘法來算出整百數(shù)乘一位數(shù)。

讓學生分一分類，給其中一個算式“找朋友”等練習，給了學生充分的思維空間。應該說教師已經(jīng)有了將數(shù)學知識置于整體的數(shù)學知識體系中的思想。但是在放手的同時，教師的心中始終有一個“界限”：本堂課主要教學整百數(shù)乘一位數(shù)，所得的積是三位數(shù)或者四位數(shù)，如果是整百數(shù)乘整十數(shù)或者整百數(shù)乘整百數(shù)，那么已經(jīng)超過了學生對本節(jié)課的認知范圍，所得的積可能學生不會讀，而且算理也超過了本節(jié)課的范圍。因此，當學生思維第一次超前時，教師采取了“這個知識你還不會”加以回避，而當學生思維第二次超前時讓學生試一試，然后暫時擱置。顯然，教師還是不敢越出既定的目標。

學生的思維是具有整體性的，經(jīng)過一系列的溝通練習，思維已經(jīng)由口算一位數(shù)乘一位數(shù)的方法延伸至將其中一個乘數(shù)末尾分別添寫一個0、兩個0、三個0……，或者將兩個乘數(shù)的末尾都添加一個0、兩個0、三個0……這樣的整體體系中。如果此時教師還是將學生拉回界限以內(nèi)，這位“超前”的學生將因為教師無視他的思維結(jié)果而不再“平靜”，他將始終糾結(jié)在這個他認為非常正確的問題上。同時，對于其他學生而言，被激起的“共鳴”也將因為教師的無視而自生自滅。顯然，這是違背學生學習心理和思維發(fā)展規(guī)律的。因此，這個時候，教師要接住學生超前的思維，順勢將學生的思維引進更寬廣的領(lǐng)域。

2.要把學生的超前思維作為教學的延伸點

學生思維“出界”之處，往往就是教學中思維的延伸處。接住并順應著學生超前的思維，對于整個教學過程來講，無疑是一個打開和延伸學生思維的良好契機。

在上述案例中，教師可以果斷接過學生的思維，巧妙帶領(lǐng)學生“超越”過去。當學生說出“500×900=……四萬五百”時，教師可以先將學生舉的這一算式記錄在黑板上，結(jié)果先不寫出，讓學生來辨析一下：這位同學給“5×9=45”找的“500×900”算式朋友和上面的幾個算式有什么不同？（兩個乘數(shù)的末尾都有0）又有什么相同之處呢？（引導學生得出這些算式都和5×9是“好朋友”，也就是乘數(shù)、積之間都有密切的聯(lián)系）。在辨析清楚算式層面的特征以后，可以組織學生討論得出，這個算式的積是多少，并試著讓學生說出自己的思考過程。學生定能找到其中蘊含的規(guī)律，并進一步舉一反三。

這時，盡管沒法完全講清算理，但是，順著學生的思路，當教師接過學生的這一超前思維，在課堂的這一站停留片刻，其他學生的思維也一下子被打開了，最為可貴的是學生習得了在舉一反三中讓思維向深處發(fā)展的能力。從某種意義上說，這應該比讓學生熟練掌握本節(jié)課的口算技能更為重要。

綜上所述，順應學生的思維現(xiàn)實的數(shù)學課堂，學生的思維必然是開放的，是在教師的引導下真正自然生長的，是不受任何現(xiàn)有的“標準答案”桎梏的。這樣的課堂，能讓學生通過具體數(shù)學知識內(nèi)容的學習和各種具體的數(shù)學活動，正確、深入地理解和牢固掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能，構(gòu)建良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學思維能力。這樣的課堂，學生才能真正感受到數(shù)學學習的樂趣，開闊數(shù)學學習的視野。

責任編輯：石萍