重視培養學生的數學思想

杜正穗

摘 要：數學思想是數學教學的精髓和重要內容，是指導學生掌握數學知識和方法的靈魂，歷來是數學教學的難點和重點，其形成廣泛的遷移效果對學生影響深遠。“授人以魚不如授人以漁”。對幾種常用的數學思想展開探討，以期對切實提高學生的數學素養和能力有所裨益。

關鍵詞：數學思想；函數；數形結合

中學數學內容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點，對大部分學生來說，解題中容易出現思維障礙，解題效率低，從而影響學習興趣、潛能和能動性。在數學學習中，單純靠題海戰術盲目操練是很難獲得理想成績的，學生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運用數學思想武裝自己，并有效地加強攻擊題型能力，以下重點介紹三種常用的數學思想。

一、函數與方程思想

1.函數思想：解決問題時在變量之間建立相應關系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養成嚴謹的邏輯思維，并應注意從變化中尋找不變量，這正是數學研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結構，提煉結構組塊，立足教材基本例題、習題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應題型，加強對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數量關系入手，將問題中已知量和未知量之間的數量關系通過適當設立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程（組），這種思想在代數、幾何及生活實際中（如，最佳經濟批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應用。

3.函數與方程思想：數學問題簡單歸納是由等式或不等式構成，所以將兩者有機的結合有利于培養學生具有良好的數學素質和嚴密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實際應用可舉量本利分析）真正領悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學生解題狀況來進行講解、分析，從而讓學生發現自己存在的問題，以及對知識點掌握的牢固情況與運用水平的高低。分析問題時，可把直線與圓的相關知識點作詳盡地描述。攻擊點是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個定點進行控制的方法。圓寫成標準圓結構，相當于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關題型具有致命功效。解決問題可設：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當直線l與圓相切時獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個值，從而得出結論。

二、化歸與轉化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎知識和教材題目抓實，才能解決新定義、新概念的創新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉化思想是把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把抽象問題轉化為具體問題，把新穎問題轉化為原始問題，把未解決的問題轉化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉化思想進行演繹：由已知條件可設x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉化成 （cosθ+2）+sinθ，復合成一個三角函數同樣也能得出結論。可以從代數推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構建函數思想，體現出數學不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現為數學思想及能力的有機結合，其培養要分層次進行，先由基礎開始，逐步提高數學素養與運算求解能力，進而掌握好化歸與轉化思想。

三、數形結合思想

解決問題時，代數問題中的“數”與幾何問題中的“形”有機地結合起來，借助于數的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數，總而言之“數可入微，形很直觀”，這就是數形結合思想。從圖象特征出發可以實現數與形的自然結合，也正是中學數學教學中一種非常重要的思想方法（如實際應用中的盈虧平衡點）。以下側重從解析幾何、代數函數這兩方面淺談數形結合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時知識點的累積和充分理解，是培養學生創造性、主動性、能動性最有力的數學工具之一。

2.代數函數：控制其范圍，利用其性質破解出圖象（指數函數、對數函數、冪函數的組合函數），范圍、性質、圖象三者要有機結合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質，三者兼顧將代數函數高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調區間，提出問題可培養學生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發探索新方法、新思想，從而發現問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數、平面向量、不等式等問題，數形結合依然有高屋建瓴之態勢。古人云“會當凌絕頂，一覽眾山小”，數學思想是數學知識在更高層次的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的獲取、發展和應用的過程中。如果說數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想則是數學意識的中流砥柱，只能領會、運用，屬于思維的范疇。

數學知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓練、提高”四大環節，學生的數學思想才會在真正意義上有所獲取。創新是一個民族的靈魂，學生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學科綜合型、代數推理型等）逐步體會，解決新穎題型關鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉化、檢驗探索、構造模型等策略探尋新問題的原始模型，進而使數學思想發揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數學思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學科知識交匯與綜合、強調運算能力、深入挖掘教材，充分發揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進行拓展和引申，最后就是要加強數學思想方法的訓練，鍛煉學生思維的廣度和深度、靈活性和獨創性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿職業學校）

編輯 郭曉云

摘 要：數學思想是數學教學的精髓和重要內容，是指導學生掌握數學知識和方法的靈魂，歷來是數學教學的難點和重點，其形成廣泛的遷移效果對學生影響深遠。“授人以魚不如授人以漁”。對幾種常用的數學思想展開探討，以期對切實提高學生的數學素養和能力有所裨益。

關鍵詞：數學思想；函數；數形結合

中學數學內容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點，對大部分學生來說，解題中容易出現思維障礙，解題效率低，從而影響學習興趣、潛能和能動性。在數學學習中，單純靠題海戰術盲目操練是很難獲得理想成績的，學生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運用數學思想武裝自己，并有效地加強攻擊題型能力，以下重點介紹三種常用的數學思想。

一、函數與方程思想

1.函數思想：解決問題時在變量之間建立相應關系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養成嚴謹的邏輯思維，并應注意從變化中尋找不變量，這正是數學研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結構，提煉結構組塊，立足教材基本例題、習題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應題型，加強對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數量關系入手，將問題中已知量和未知量之間的數量關系通過適當設立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程（組），這種思想在代數、幾何及生活實際中（如，最佳經濟批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應用。

3.函數與方程思想：數學問題簡單歸納是由等式或不等式構成，所以將兩者有機的結合有利于培養學生具有良好的數學素質和嚴密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實際應用可舉量本利分析）真正領悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學生解題狀況來進行講解、分析，從而讓學生發現自己存在的問題，以及對知識點掌握的牢固情況與運用水平的高低。分析問題時，可把直線與圓的相關知識點作詳盡地描述。攻擊點是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個定點進行控制的方法。圓寫成標準圓結構，相當于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關題型具有致命功效。解決問題可設：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當直線l與圓相切時獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個值，從而得出結論。

二、化歸與轉化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎知識和教材題目抓實，才能解決新定義、新概念的創新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉化思想是把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把抽象問題轉化為具體問題，把新穎問題轉化為原始問題，把未解決的問題轉化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉化思想進行演繹：由已知條件可設x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉化成 （cosθ+2）+sinθ，復合成一個三角函數同樣也能得出結論。可以從代數推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構建函數思想，體現出數學不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現為數學思想及能力的有機結合，其培養要分層次進行，先由基礎開始，逐步提高數學素養與運算求解能力，進而掌握好化歸與轉化思想。

三、數形結合思想

解決問題時，代數問題中的“數”與幾何問題中的“形”有機地結合起來，借助于數的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數，總而言之“數可入微，形很直觀”，這就是數形結合思想。從圖象特征出發可以實現數與形的自然結合，也正是中學數學教學中一種非常重要的思想方法（如實際應用中的盈虧平衡點）。以下側重從解析幾何、代數函數這兩方面淺談數形結合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時知識點的累積和充分理解，是培養學生創造性、主動性、能動性最有力的數學工具之一。

2.代數函數：控制其范圍，利用其性質破解出圖象（指數函數、對數函數、冪函數的組合函數），范圍、性質、圖象三者要有機結合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質，三者兼顧將代數函數高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調區間，提出問題可培養學生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發探索新方法、新思想，從而發現問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數、平面向量、不等式等問題，數形結合依然有高屋建瓴之態勢。古人云“會當凌絕頂，一覽眾山小”，數學思想是數學知識在更高層次的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的獲取、發展和應用的過程中。如果說數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想則是數學意識的中流砥柱，只能領會、運用，屬于思維的范疇。

數學知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓練、提高”四大環節，學生的數學思想才會在真正意義上有所獲取。創新是一個民族的靈魂，學生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學科綜合型、代數推理型等）逐步體會，解決新穎題型關鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉化、檢驗探索、構造模型等策略探尋新問題的原始模型，進而使數學思想發揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數學思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學科知識交匯與綜合、強調運算能力、深入挖掘教材，充分發揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進行拓展和引申，最后就是要加強數學思想方法的訓練，鍛煉學生思維的廣度和深度、靈活性和獨創性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿職業學校）

編輯 郭曉云

摘 要：數學思想是數學教學的精髓和重要內容，是指導學生掌握數學知識和方法的靈魂，歷來是數學教學的難點和重點，其形成廣泛的遷移效果對學生影響深遠。“授人以魚不如授人以漁”。對幾種常用的數學思想展開探討，以期對切實提高學生的數學素養和能力有所裨益。

關鍵詞：數學思想；函數；數形結合

中學數學內容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點，對大部分學生來說，解題中容易出現思維障礙，解題效率低，從而影響學習興趣、潛能和能動性。在數學學習中，單純靠題海戰術盲目操練是很難獲得理想成績的，學生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運用數學思想武裝自己，并有效地加強攻擊題型能力，以下重點介紹三種常用的數學思想。

一、函數與方程思想

1.函數思想：解決問題時在變量之間建立相應關系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養成嚴謹的邏輯思維，并應注意從變化中尋找不變量，這正是數學研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結構，提煉結構組塊，立足教材基本例題、習題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應題型，加強對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數量關系入手，將問題中已知量和未知量之間的數量關系通過適當設立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程（組），這種思想在代數、幾何及生活實際中（如，最佳經濟批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應用。

3.函數與方程思想：數學問題簡單歸納是由等式或不等式構成，所以將兩者有機的結合有利于培養學生具有良好的數學素質和嚴密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實際應用可舉量本利分析）真正領悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學生解題狀況來進行講解、分析，從而讓學生發現自己存在的問題，以及對知識點掌握的牢固情況與運用水平的高低。分析問題時，可把直線與圓的相關知識點作詳盡地描述。攻擊點是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個定點進行控制的方法。圓寫成標準圓結構，相當于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關題型具有致命功效。解決問題可設：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當直線l與圓相切時獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個值，從而得出結論。

二、化歸與轉化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎知識和教材題目抓實，才能解決新定義、新概念的創新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉化思想是把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把抽象問題轉化為具體問題，把新穎問題轉化為原始問題，把未解決的問題轉化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉化思想進行演繹：由已知條件可設x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉化成 （cosθ+2）+sinθ，復合成一個三角函數同樣也能得出結論。可以從代數推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構建函數思想，體現出數學不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現為數學思想及能力的有機結合，其培養要分層次進行，先由基礎開始，逐步提高數學素養與運算求解能力，進而掌握好化歸與轉化思想。

三、數形結合思想

解決問題時，代數問題中的“數”與幾何問題中的“形”有機地結合起來，借助于數的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數，總而言之“數可入微，形很直觀”，這就是數形結合思想。從圖象特征出發可以實現數與形的自然結合，也正是中學數學教學中一種非常重要的思想方法（如實際應用中的盈虧平衡點）。以下側重從解析幾何、代數函數這兩方面淺談數形結合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時知識點的累積和充分理解，是培養學生創造性、主動性、能動性最有力的數學工具之一。

2.代數函數：控制其范圍，利用其性質破解出圖象（指數函數、對數函數、冪函數的組合函數），范圍、性質、圖象三者要有機結合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質，三者兼顧將代數函數高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調區間，提出問題可培養學生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發探索新方法、新思想，從而發現問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數、平面向量、不等式等問題，數形結合依然有高屋建瓴之態勢。古人云“會當凌絕頂，一覽眾山小”，數學思想是數學知識在更高層次的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的獲取、發展和應用的過程中。如果說數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想則是數學意識的中流砥柱，只能領會、運用，屬于思維的范疇。

數學知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓練、提高”四大環節，學生的數學思想才會在真正意義上有所獲取。創新是一個民族的靈魂，學生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學科綜合型、代數推理型等）逐步體會，解決新穎題型關鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉化、檢驗探索、構造模型等策略探尋新問題的原始模型，進而使數學思想發揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數學思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學科知識交匯與綜合、強調運算能力、深入挖掘教材，充分發揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進行拓展和引申，最后就是要加強數學思想方法的訓練，鍛煉學生思維的廣度和深度、靈活性和獨創性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿職業學校）

編輯 郭曉云