高中常用數學方法例談

張翔

摘 要：本文對高中常用的數學方法和數學邏輯方法進行例談，掌握這些方法，有利于提高解題能力。

關鍵詞：高中常用 數學方法 解題能力

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A 文章編號：1673-3791（2014）02（c）-0109-01

1 數學方法

凡是有助于提高數學學習質量、學習效益的程序、規則、技巧及調控方式均屬于數學方法。高中常用的數學方法有：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法等，掌握這些方法，有利于提高解題能力。

1.1 配方法

例1：1求y=x+的最小值——

解析：y=x+=x-1++1=（+）2+因為≥0，所以當=0時，ymin=+=1。

評注：二次函數或形如F（x）=a[f2（x）+bf（x）+c]類的函數的值域問題，均可用配方法。

1.2 換元法

例2：已知a、bR，a2+b2≤4，求證|3a2-8ab-3b2|≤20。

證明：因為a、bR，a2+b2≤4，故可設a=rcosθ，b=rsinθ，其中0≤r≤2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|≤5r2≤20，所以原不等式成立。

評注：三角代換是最常見的變量代換，凡條件為，x2+y2=r2或x2+y2≤r2或±=1均可用三角換元。

1.3 待定系數法

例3：求焦點在坐標軸上，且經過點M（2，-）和點N（-1，）的橢圓的標準方程。

解析：設橢圓標準方程為+=1（A>0，B>0，A≠B） 因為橢圓經過（2，-）和（-1，）兩點。所以+=1，+=1 解得A=8，B=4，故所求橢圓的標準方程是+=1。

評注：由題設條件，橢圓的焦點在哪個坐標軸上，不明確，而橢圓的標準方程有兩種形式，為了計算方便，可設方程為+ =1（A>0，B>0，A≠B），這樣不必考慮焦點位置，直接可求出方程。

1.4 數學歸納法

例4：試比較（n+1）2與3n（nN+）的大小

解析：當n=1時，左=（1+1）2=4，右=31=3，所以左>右；當n=2時，左=（2+1）2=9，右=32=9，所以左=右；當n=3時，左=（3+1）2=16，右=33=27，所以左<右；當n=4時，左=（4+1）2=25，右=34=81，所以左<右。由此猜想，當n≥3，nN時，（n+1）2<3n，下面用數學歸納法證明：

假設n=k（k≥3）時，命題成立，即（k+1）2<3K；那么n=k+1時，3k+1=3.3K>3 （k+1）2，下面只需證3（k+1）2>（k+2）2，即證3k2+6k+3>k2+4k+4，即證2k2+2k>1；又k≥3，不等式2k2+2k>1顯然成立。因為n=k+1時，猜想成立，由歸納假設知當n≥3時（n+1）2<3n。

評注：“歸納，猜想、證明”是一種符合由特殊到一般，由具體到抽象規律的科學研究方法，其過程是：根據題目條件給出的或通過計算得出的有限個事例進行觀察、試驗、歸納、猜想出符合規律的結論，然后用數學歸納法證明。

1.5 參數法

例5：一條直線被兩直線L1：4x+y+6=0，L2：3x-5y-6=0截得的線段的中點恰好是坐標原點，求該直線的方程。

解析：設所求直線與L1、L2的交點分別是A、B設A（x0，y0）。

因為AB的中點是坐標原點，所以B（-x0，-y0），又因為A、B分別在直線L1、L2上；所以4x0+y0+6=0 ①-3x0+5y0-6=0 ② ①+②得x0+6y0=0；即點A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點，故所求直線的方程為x+6y=0

評注：“設而不求”是化簡運算的一種十分重要的方法，它在高中數學中的應用十分廣泛。

1.6 消去法

例6：已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP1，求線段PP1中點M的軌跡。

解析：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），則x=x0，y=，因為P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以x02+y02=4，將x0=x，y0=2y代入上述方程得x2+4y2=4，即+y2=1，故點M的軌跡是一個橢圓。

評注：本題在求點M（x，y）的軌跡方程時，不是直接建立關于x、y之間關系的方程，而是先尋找x、y與中間變量x0、y0之間的關系，利用已知關于x0、y0之間關系的方程，得到關于x、y之間關系的方程，這種利用中間變量求點的軌跡如果很難直接入手，用綜合法比較困難，如在證明不等式時，我們可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備那么就可以斷定原不等式成立，這種證明方法通常叫做分析法。

1.7 綜合法

是從已經證明過的不等式為基礎，再利用不等式的性質推導出所要求證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。

1.8 反證法

即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

2 結語

高考題十分重視對數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的思想方法。這是因為教學思想方法比數學基礎知識有較高的地位和層次，在日常學習中，同學們不能僅僅只看課本上的漢字加幾個字母，不能僅僅停留在看和聽的初級階段，更重要的是要挖掘課本中涉及到的數學思想方法，體會教材編寫意圖，努力揭示“知識背后的知識”，提煉出知識本身內含的思想方法，并用這些思想方法去分析問題、解決問題，形成解題能力，提高教學素質。

參考文獻

[1] 牛冬梅.數學教學中幾種常見的思想方法[J].考試周刊，2010（48）：67-68.

[2] 辛長紅.高中常用數學思想方法的教學探究[D].延邊大學，2010.