“函數圖象”的第一印象

王斌

摘 要：一次函數的圖象是學生第一次接觸的函數圖象，它不僅對學習一次函數的性質非常關鍵，而且對以后要學習的反比例函數、二次函數都至關重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

關鍵詞：一次函數；函數圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數為什么會有圖象？

2011年版的初中數學新課標開篇第一句話指出：“數學是研究數量與空間形式的科學”。所以一種數量關系，必定有一種相應的空間表現形式，我們可以用七年級第一學期的實數與數軸來進行說明，任何一個實數都可以用數軸上的點來表示，反之，數軸上的一個點都可以表示一個實數，由此形成了一種一一對應的關系。而現在函數是反映兩個變量之間的關系，所以一維的數軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數y的值，由此形成類似于實數與數軸的一一對應關系。

有了函數圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學習”

1.分別選擇若干對自變量與函數的對應值，列在下表（請在空殼內填入合適的數，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發現了什么？把你的發現與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數了？教材是這樣說的：

我們發現，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數圖象中取的非整數點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質上解決問題。

生活中到處有數學，到處存在著數學思想，我們可以從學生熟悉的生活背景引入，讓學生感受到數學無所不在，便于學生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數的圖象（1）的節前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關系。這個例子稍加引導不難看出，一次函數是反映了一種勻速變化的關系，即當自變量x變化相同的幅度，對應的函數值y也變化相同的幅度。一次函數y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數值，這樣也把一次函數中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學習”，當我們描好五個點之后，可以根據一次函數的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變為原來的一半，故函數值的變化幅度也變為原來的一半，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數對應圖象是一條連貫的直線了。

現在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學時教學生對一般的一次函數y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業中發現有時并不簡單。

比如，一次函數y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數更加合適。

課程標準中也指出學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數學老師，我在課堂中盡量多地給學生滲透數學的本質、數學的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數圖象”教學環節的幾點思考[J].中小學數學，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導[J].中小學數學，2013（07）.

[3]中國社會科學院語言研究所詞典編輯室。現代漢語詞典[M].北京：商務印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅

摘 要：一次函數的圖象是學生第一次接觸的函數圖象，它不僅對學習一次函數的性質非常關鍵，而且對以后要學習的反比例函數、二次函數都至關重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

關鍵詞：一次函數；函數圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數為什么會有圖象？

2011年版的初中數學新課標開篇第一句話指出：“數學是研究數量與空間形式的科學”。所以一種數量關系，必定有一種相應的空間表現形式，我們可以用七年級第一學期的實數與數軸來進行說明，任何一個實數都可以用數軸上的點來表示，反之，數軸上的一個點都可以表示一個實數，由此形成了一種一一對應的關系。而現在函數是反映兩個變量之間的關系，所以一維的數軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數y的值，由此形成類似于實數與數軸的一一對應關系。

有了函數圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學習”

1.分別選擇若干對自變量與函數的對應值，列在下表（請在空殼內填入合適的數，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發現了什么？把你的發現與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數了？教材是這樣說的：

我們發現，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數圖象中取的非整數點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質上解決問題。

生活中到處有數學，到處存在著數學思想，我們可以從學生熟悉的生活背景引入，讓學生感受到數學無所不在，便于學生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數的圖象（1）的節前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關系。這個例子稍加引導不難看出，一次函數是反映了一種勻速變化的關系，即當自變量x變化相同的幅度，對應的函數值y也變化相同的幅度。一次函數y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數值，這樣也把一次函數中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學習”，當我們描好五個點之后，可以根據一次函數的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變為原來的一半，故函數值的變化幅度也變為原來的一半，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數對應圖象是一條連貫的直線了。

現在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學時教學生對一般的一次函數y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業中發現有時并不簡單。

比如，一次函數y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數更加合適。

課程標準中也指出學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數學老師，我在課堂中盡量多地給學生滲透數學的本質、數學的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數圖象”教學環節的幾點思考[J].中小學數學，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導[J].中小學數學，2013（07）.

[3]中國社會科學院語言研究所詞典編輯室。現代漢語詞典[M].北京：商務印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅

摘 要：一次函數的圖象是學生第一次接觸的函數圖象，它不僅對學習一次函數的性質非常關鍵，而且對以后要學習的反比例函數、二次函數都至關重要。正所謂良好的開端是成功的一半，一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

關鍵詞：一次函數；函數圖象；思考

無論對人、對事，第一印象都非常重要。一次函數圖象的成功學習也將為以后其他函數圖象的學習做好了堅實的鋪墊。

那么，我們要討論的第一個問題就是：一次函數為什么會有圖象？

2011年版的初中數學新課標開篇第一句話指出：“數學是研究數量與空間形式的科學”。所以一種數量關系，必定有一種相應的空間表現形式，我們可以用七年級第一學期的實數與數軸來進行說明，任何一個實數都可以用數軸上的點來表示，反之，數軸上的一個點都可以表示一個實數，由此形成了一種一一對應的關系。而現在函數是反映兩個變量之間的關系，所以一維的數軸不夠用了，我們就要借助于二維的平面直角坐標來刻畫，用橫坐標對于自變量x的值，縱坐標對于函數y的值，由此形成類似于實數與數軸的一一對應關系。

有了函數圖象的成因之后，我們要解決的問題就是一次函數圖象到底是個什么圖形。

我們先來看一下教材中的處理方法：

“合作學習”

1.分別選擇若干對自變量與函數的對應值，列在下表（請在空殼內填入合適的數，完成表5-5）

表5-5

■

2.分別以表中x的值作點的橫坐標，對應的y值作縱坐標，得到兩組點，寫出用坐標表示的這兩組點。

3.畫一個直角坐標系，并在直角坐標系中畫出這兩組點。

4.觀察所畫的兩組點，你發現了什么？把你的發現與同伴交流。

問題是只描了五個點就能說明函數圖象是一條直線了？或者說這條直線上的點的坐標就一定滿足一次函數了？教材是這樣說的：

我們發現，如圖5-6（圖略），坐標滿足一次函數y=2x的各點（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直線l1上；而坐標滿足一次函數y=2x+1的各點：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直線l2上。反過來，在直線l1或l2上取一些點，這些點的坐標分別滿足y=2x或y=2x+1（你不妨試一試）。

教材中的“取一些點”，“你不妨試一試”并不能讓我滿意，我們知道在函數圖象中取的非整數點有時是有誤差的，它的坐標不一定能滿足函數表達式，而且取點只是驗證，并不能從本質上解決問題。

生活中到處有數學，到處存在著數學思想，我們可以從學生熟悉的生活背景引入，讓學生感受到數學無所不在，便于學生接受和理解。

筆者認為教材5.4一次函數的圖象（1）的節前圖是一個非常好的例子。

課本的圖象反映的是兩名運動員勻速運動中時間與路程的關系。這個例子稍加引導不難看出，一次函數是反映了一種勻速變化的關系，即當自變量x變化相同的幅度，對應的函數值y也變化相同的幅度。一次函數y=kx+b（k≠0）中的k就反映了變化速度，b就反映了起始數值，這樣也把一次函數中最重要的兩個常量搞清楚了。

再回到教材“合作學習”，當我們描好五個點之后，可以根據一次函數的特性分析，因為這五個點橫坐標的變化幅度是相同的（相差1），所以對應縱坐標的變化幅度也相同（相差2），以此類推，當自變量取±3，±4…時，都在同一直線上，然后再分析這些點之間的點，先取相鄰兩點橫坐標的中間值，此時可以這樣分析，橫坐標的變化幅度變為原來的一半，故函數值的變化幅度也變為原來的一半，所以還是在同一直線上，由此類推不難理解，一次函數對應圖象是一條連貫的直線了。

現在剩下最后一個問題了：如何畫一次函數圖象。

既然知道了圖象是一條直線，由“兩點確定一條直線”得出，只要求出兩個點的坐標即可用“兩點法”作圖了。兩點法通過列表、描點、連線三個步驟，可以作出一次函數的圖象，即一條直線。筆者一開始在教學時教學生對一般的一次函數y=kx+b（k≠0）可以選擇點（0，b）和（1，k+b）來畫直線。比如一次函數y=3x+1，取x=0，x=1代入計算得到兩個點（0，1），（1，4）。

但在課后作業中發現有時并不簡單。

比如，一次函數y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，這樣的分數值不好，實際上是取像x=3，這樣3的倍數更加合適。

課程標準中也指出學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而要以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固、深化。

最后，我想說，作為一名數學老師，我在課堂中盡量多地給學生滲透數學的本質、數學的思想，然后才是具體的方法、技巧等，告誡自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗淺的看法，望各位專家批評指正！

參考文獻：

[1]蘇興震.對“一次函數圖象”教學環節的幾點思考[J].中小學數學，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一個誤導[J].中小學數學，2013（07）.

[3]中國社會科學院語言研究所詞典編輯室。現代漢語詞典[M].北京：商務印書館，1997.

（作者單位 浙江省諸暨市浣東初中）

？誗編輯 魯翠紅