初中數學開放型習題的編制與教學實踐研究

陳麗

摘 要： 對于初中數學學科來說，其開放型習題的編制與教學研究是至關重要的，是近幾年中考命題的熱點之一。為了培養學生數學能力，必須學會以客觀的視角審視其發展中的不足之處。本文就初中數學開放型習題編制中的不足，對其開放型習題的特征、功能、編制原則、開放型習題編制的常見策略及對初中數學開放型習題常見教學策略進行探討。

關鍵詞： 初中數學教學 開放型習題 編制 教學實踐

“數學”是一門能夠鍛煉學生學習能力，培養學生素質的學科。隨著我國教育的不斷改革，對初中數學的開放型習題的編制和教學都有了新的要求。讓數學開放型習題不斷推進學校對學生的素質教育，成為培養學生自主創新能力的有效途徑。那么在教材還沒有提供足夠的開放型習題之前，如何得到更多更好的開放型習題是教師在教學過程中碰到的一個實際問題。

數學開放型習題編制的可行性方案很多。筆者認為無論是改造陳題還是自編創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放型習題的目的進行，開放型習題應當隨著使用目的和對象的變化而改變，作為常規問題的補充。適合學生研究性學習的開放型習題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點。下面我談談看法與體會。

一、開放型習題的特征

所謂開放型習題，是指那些條件不完整、結論不確定的試題，其顯著的特征是答案的多樣性和多層性。它的表現形式主要有三種：條件的開放、結論的開放、解題方法的開放。我認為開放型習題綜合性強，解題方法靈活多變，結果往往具有開放性，因而對思維的靈活性、發散性有較高的要求，能夠有效考查學生的數學能力和創新能力。因此它是近幾年中考命題的熱點之一。我們可以通過觀察、比較、分析、綜合甚至猜想，展開發散性思維，充分運用已學過的數學知識和數學方法，經過歸納、類比、模擬、聯想構建模型等推理手段，得出正確的結論。

二、開放型習題的功能

美國加利福尼亞州教育部于1989年指出了開放型習題的五個功能：為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數學觀表達的機會，這和他們的數學發展是一致的；要求構建他們自己的反映，而不是選擇一個簡單的答案；允許學生表達他們對問題的深層次理解，這在多項選擇中是無法做到的；鼓勵學生用不同的方法解決問題，反過來提示老師用不同的方法解釋數學概念；開放型習題的模式是數學課堂教學的基本成分。

筆者經過教學試驗和理論研究，認為數學開放題有以下作用：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解答；沒有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發現，但求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索；在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結論；常常通過實際問題的提出，主體必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型；能激起多數學生的好奇心，每一個學生都可以參與解答過程，而不管他屬于何種程度和水平；教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的角色是示范者、啟發者、鼓勵者、合作者。

三、開放型習題編制的基本原則

1.科學性原則。

試題作為幫助學生提高能力、鞏固知識的工具，受到了廣泛關注，然而，對于一份合格的試題來說，其科學性的編制是非常重要的，這在一定程度上可以提高所編制的試題質量，所以在編制開放性試題的時候，相關的編制人員要做到：

（1）把握好出題的范圍

由于試題的目的是讓學生更好地鞏固數學課本中的知識，因此出題人一定要正確審視試題的地位，在出題過程中不能以自我為中心。出題人一定要結合學生所學數學課本中的內容，把數學課本中的要求作為出題的基本依據，使試題的內容能夠正確體現數學教學中的核心內容。

（2）保證試題的準確度

作為學生重點選擇的輔導材料，初中數學開放型習題的編制人員一定要有強烈的責任感，保證試題質量。在出題過程中，一定要專心，避免錯誤的出現，比如語言表達的歧義，錯別字的出現，或者題目條件不完整。為了有效避免這一現象的出現，應該加強其中的監督環節，或者制定相關的措施，提高編寫人員的責任感，在撰寫過程中仔細認真。

2.開放性原則。

由于中國教育事業的不斷發展，初中數學開放型習題的編制人員在實踐中漸漸發現傳統的試題模式已經不再適用于當前學生的學習，因此將試題逐漸向開放型出題方向靠攏。由于初中開放型試題具有答案不唯一的特點，在一定程度上可以提高學生學習數學的自主創新能力，幫助學生不斷陷入深深思考中，不斷尋求新的解決問題的途徑。那么在編制題目的過程中，必然要以開放型習題為主。在習題編寫過程中，遵循開放性的原則是很重要的。

3.適切性原則。

由于學生在學習過程中水平并不是一樣的，因此對于初中數學開放型習題的編制人員來說，一定要充分考慮學生的學習特點，對開放型習題進行一個難易梯度的分布排版。這樣一來，學生就感覺題目具有一定的趣味性，從而更主動地深入思考問題，運用發散性思維，尋找不同的解題思路，遵循適度、貼切的編制原則可以有效幫助學生更好地學習初中數學知識。

四、開放型習題編制的策略

1.從封閉題出發引申出開放題。

我們平時所用習題大多具有完備的條件和確定的答案，故被稱為封閉題——常規題，在原有封閉性問題基礎上，使學生的思維向縱深發展，發散開去，能夠啟發學生有獨創性的理解，就有可能形成開放題。在研究性學習中首先呈現給學生封閉題，解答完之后，進一步引導學生進行探究，如探究更一般的結論，探究更多的情形，或探究該結論成立的其他條件，等等。如對于八下《5.1多邊形1》中四邊形內角和定理的教學，我首先讓學生在一張紙上任意畫一個四邊形，剪下它的四個角，把它們拼在一起（四個角的頂點重合）。或讓學生利用拼圖的方法（如圖），通過實驗、觀察、猜想得到：四邊形的內角和為360°。

2.以某一典型例、習題為背景編制開放題。

以某一典型例、習題為背景編制開放題可以加深學生對例、習題的理解，提高學生分析問題、解決問題的能力。以八年級數學下冊課本P39例3為原形可編制如下的開放題：有一塊邊長為a的正方形鐵皮，計劃制成一個有蓋的長方體鐵盒，使得盒蓋與相對的盒底都是正方形。如圖（1）、（2）給出了兩種不同的裁剪方案（其中實線是剪開的線跡，虛線是折疊的線跡，陰影部分是余斜），問哪一種方案制成的鐵盒體積更大些？說明理由。（接縫的地方忽略不計）

這是以楊輝三角形類似的性質為知識依托編制出的開放題，學生在解答該題的過程中出現了許多有創見的方法，顯示出開放題在培養學生思維的靈活性、發散性和深刻性方面具有獨特的優勢，可以使學生樹立學好數學的信心。

4.以某一數學概念、定理、公理為依據，編制開放題。

在美國國家科學教育標準中，探究也指學習過程。它是一種積極的學習過程——“學生去做的事，而不是為他們做好的事”。換句話說，就是讓學生自己思考怎么做甚至做什么，而不是讓學生接受教師思考好的現成的結論。數學中的定理、公理等是數學學習的重要內容，圍繞定理、公理等我們可以設計適當的開放性問題，讓學生進行探究，通過自己的努力發現一般規律，體驗研究的樂趣。如在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是？搖 ？搖。

我們以平行四邊形的判定為依托編制數學開放題，通過上述開放問題的研究，師生合作交流，共同探究發現了平行四邊形的判定定理。從而讓學生經歷了數學“再創造”的過程，培養了學生的探究能力。

5.以體現或重現某一數學研究方法而編制開放題。

數學家的研究方法蘊涵深刻的數學思想，在數學研究性學習中讓學生親身體驗數學家的某些研究，做小科學家，點燃埋藏在學生心靈深處的智慧火種。以此為著眼點編制開放題，其教育價值更是不言而喻的。

在概率論發展史上，對頻率穩定性的研究占有一定的篇幅，在學生學習概率統計內容時，讓學生設計驗證頻率穩定性的試驗，親自體驗概率的統計含義，了解概率統計對隨機現象統計規律進行歸納研究的方法。如編制開放題“硬幣落地問題”：全班38人每人擲硬幣10次的游戲，問：每個人正面朝上的概率及全班同學正面朝上的概率。

這樣的問題從理論上可以保證答案的無限性，解題者可以盡情地發揮聰明才智，探究問題中蘊含的內在規律，用于教學是極好的問題材料。從考生的解答中我們看到思維的多向性，如果在研究性學習中使用并允許學生相互討論、相互補充，解答將會更多更精彩。

6.以實際問題為背景，體現數學的應用價值編制開放題。

以實際問題為背景，編制出設計類型的開放題，用于研究性學習，可以培養學生的創新精神和實踐能力。如第17屆國際數學教育心理會議的公開課問題：“在一塊矩形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，要使花壇的面積為矩形面積的一半，請給出你的設計。”這是一道公認的開放題，花圃的圖案形狀沒有規定性的要求，解題者可以進行豐富想象，充分展示幾何圖形的應用，這種以實際問題為背景編制的開放題往往有趣而富有吸引力。

將數學開放題作為數學學習的一種載體，首先必須有適合的問題。在教育教學實踐中，只要我們能夠大膽創新，勇于探索，不落窠臼，數學開放題將會不斷涌現，必將促使充滿活力和創造力的學生積極參與，也必將成為研究性學習的重要載體。

五、開放型習題常見教學策略

由于初中數學開放型習題是初中數學教育的一種新的教學題型，在中考中備受歡迎，因此受到了社會的廣泛關注。在日常教育教學中，如果授課老師能夠將開放型習題帶入課堂，那么不僅會提高學生學習數學的趣味性，而且會不斷地激發學生學習數學的熱情，提高學生的思維能力、創新能力、探究能力。

1.改革數學課堂，參與上變被動為主動。

（1）激趣：讓學生樂于接受開放題

興趣是最好的老師，只有學生對開放性的數學題型感興趣，才能夠投身于數學學習過程中。由于開放性的題型并沒有固定的答案，需要學生充分地發散思維，進行多種方式的解答，因此，首先要讓學生對數學開放習題有一個正確的認識。初中數學老師可以在上課之前篩選一些具有開放性的題目，上課的時候將題目展示給學生，讓學生獨立思考之后，進行小組合作學習。在討論交流的過程中，每個學生把自己的解題思路講給組內人員聽，小組長記錄，之后老師讓各組代表上講臺前闡釋本組的答案，讓其他小組的人員進行補充及評價。實踐證明，這樣的授課方式會極大地激發學生解答數學開放性問題的興趣和熱情。當然，在此過程中，初中數學老師一定要多鼓勵學生，不要急于斷定學生在解答過程中的錯誤，給學生學習的勇氣和信心。這樣，學生就會在學習中保持積極樂觀的學習態度，從而樂于探究數學開放性題。

（2）鋪階：讓學生主動探究開放題

由于不同年級的學生接受題目難度的程度不同，因此不同年級的數學教學老師一定要把握好“循序漸進”的教學原則。

八年級的學生對開放型習題有了一定的了解，老師在教學過程中應該逐漸給學生增加難度，增加新類型的開放型習題。如在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何輔助線的前提下，要想該四邊形成為矩形，只需再加上的一個什么條件（填上你認為正確的一個答案即可）。這類題目可以發散學生的思維，思考題目的各種可能性，從而激發學生的探索欲。但是由于這類題目在七年級就有所涉及，因此學生可能感覺不到新穎，因此數學教師要緊緊抓住學生喜歡自我挑戰的心理，添加一些比較新穎又有一定難度的題目。

2.改變題型結構，形式上變單一為多樣。

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