初中數學開放性習題的常見類型及其解題策略

李燕京

摘要：初中數學新課程倡導學生在數學學習中將確定的事實、探究真理的方法和創造性態度融為一體，而數學開放性習題因其開放性、創新性的特點，體現了新課程的精神，逐步成為中考試題設計的新趨勢。本文旨在明確初中數學開放性習題的常見類型和解題策略，以期幫助學生順利解答好這類習題。

關鍵詞：初中數學；開放性習題；常見類型；解題策略

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0108-02

初中數學開放性習題就是指那些條件不完善，結論不明確、不惟一，解法無限制，能夠給學生以較大認知空間的題目。這類習題不僅體現了新課程的創新精神，而且在中考試題中的比重逐年加大，從而在客觀上要求初中數學教師強化對開放性習題常見類型和解題策略的研究。以便更好地指導學生綜合運用所學知識，機智地通過分析、比較、判斷、猜想等思維方式，尋找多種解法，探求多種結論，完善初中數學在啟發認知、發展智力，培養創新精神和創新能力等方面的功效。

一、開放性習題的常見類型

為了讓學生對開放性習題有系統的認識，我們有必要對其在初中數學中的常見類型做具體的剖析，以深化學生的感性認識，

1.條件開放型：此類試題結論給定，條件未知或未全，需要解題者依據給出的結論，探求、分析與結論相適應的條件。

例1：如右圖，AB=DB，∠1=∠2，請填上一個你認為合適的條件，使△ABC≌△DBE，則需添加的條件是

。顯然，適合的條件包括：BC=BE；∠A=∠B；AE=DC等。

2.結論開放型：此類題型給出了限定條件，但答案不確定或不唯一，需要解題者充分應用題中的所給信息條件，合理推想、聯想，透徹分析，探索出可能得到的結論。

例2：已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD且AB=6cm，CD=8cm，求弦AB與CD之間的距離。

由于題設條件僅僅給出了弦AB∥CD，并未指出它們與圓心O的位置關系，所以根據多圖性可以畫出以上兩種不同的圖形：由圖（1）可求得AB與CD之間的距離為1cm；由圖（2）可求得AB與CD之間的距離為7cm。

3.條件和結論同時開放型：這類習題沒有給定條件和結論，要求學生根據習題提供的信息，通過推理、分析、總結，發現其中隱藏的數學規律和相應結論。

例3：8名同學分乘兩輛轎車駛向機場，在距離機場15公里的地方，有一輛轎車發生了故障，此時離飛機停止檢票還有42分鐘的時間，尚能夠正常行駛的轎車加上司機限乘5人，轎車的平均行駛速度為每小時60公里，在這種情況下，8名同學能否在飛機停止檢票前趕到機場。該問題的癥結所在是：在只有一輛車的情況下，當第一批同學駛向機場，剩下的幾名同學是在原地等待，還是步行了一段路程？顯然，存在上述兩種走法，結果也就出現了不同。

4.聯想開放性型：此類題型以聯想作為出發點，通過類比相似的題目探尋解題思路和方法，在聯想和比較中發現解題的捷徑。

例4：（基本題）如下圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，

求證：DC是⊙O的切線。

二、開放性習題常用的解題策略

要順利解決開放性習題，掌握一般性的解題策略尤為重要。

1.由特殊到一般。抓住題目給出的特殊數量、線段、角或位置，以此為切入點探尋隱藏在題目中的條件和信息，逐步認清題目本質，總結、概況出內在規律。

2.類比猜想。解題時聯想與此相似的題目的解題思路和方法，比較異同，開放思維，大膽猜想，小心論證，尋求解題思路。

3.分類討論。對于條件和結論都處于開放狀態的習題，按照題型的分類，在分析和聯想的過程中分析、發現解題思路。

4.正反推理。對于開放性試題中出現的“存在性問題”，先假設被考查探索的數學對象存在，然后利用題設條件及有關性質，加以肯定或否定。

初中數學開放性習題是新課程背景下開發學生思維、培養學生良好個性品質的有效手段。初中數學教師要從素質教育的高度認識開放性習題的內涵何外延，潛心探索開放性習題的表現形式與解決策略，以期通過開放性習題的有效解決，激發學生的思維活力，促進學生數學綜合素質的快速提升。

參考文獻：

[1]倪高文.試論開放性問題教學策略在初中數學教學中的應用[J].新課程，2012，（10）.

[2]張建軍.初中數學“開放性問題”教學的研究與探討[J].教育界，2113，（21）.

[3]楊書亮.淺談初中數學開放性試題的教學[J].中國科教創新導刊，2013，（35）.endprint

摘要：初中數學新課程倡導學生在數學學習中將確定的事實、探究真理的方法和創造性態度融為一體，而數學開放性習題因其開放性、創新性的特點，體現了新課程的精神，逐步成為中考試題設計的新趨勢。本文旨在明確初中數學開放性習題的常見類型和解題策略，以期幫助學生順利解答好這類習題。

關鍵詞：初中數學；開放性習題；常見類型；解題策略

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0108-02

初中數學開放性習題就是指那些條件不完善，結論不明確、不惟一，解法無限制，能夠給學生以較大認知空間的題目。這類習題不僅體現了新課程的創新精神，而且在中考試題中的比重逐年加大，從而在客觀上要求初中數學教師強化對開放性習題常見類型和解題策略的研究。以便更好地指導學生綜合運用所學知識，機智地通過分析、比較、判斷、猜想等思維方式，尋找多種解法，探求多種結論，完善初中數學在啟發認知、發展智力，培養創新精神和創新能力等方面的功效。

一、開放性習題的常見類型

為了讓學生對開放性習題有系統的認識，我們有必要對其在初中數學中的常見類型做具體的剖析，以深化學生的感性認識，

1.條件開放型：此類試題結論給定，條件未知或未全，需要解題者依據給出的結論，探求、分析與結論相適應的條件。

例1：如右圖，AB=DB，∠1=∠2，請填上一個你認為合適的條件，使△ABC≌△DBE，則需添加的條件是

。顯然，適合的條件包括：BC=BE；∠A=∠B；AE=DC等。

2.結論開放型：此類題型給出了限定條件，但答案不確定或不唯一，需要解題者充分應用題中的所給信息條件，合理推想、聯想，透徹分析，探索出可能得到的結論。

例2：已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD且AB=6cm，CD=8cm，求弦AB與CD之間的距離。

由于題設條件僅僅給出了弦AB∥CD，并未指出它們與圓心O的位置關系，所以根據多圖性可以畫出以上兩種不同的圖形：由圖（1）可求得AB與CD之間的距離為1cm；由圖（2）可求得AB與CD之間的距離為7cm。

3.條件和結論同時開放型：這類習題沒有給定條件和結論，要求學生根據習題提供的信息，通過推理、分析、總結，發現其中隱藏的數學規律和相應結論。

例3：8名同學分乘兩輛轎車駛向機場，在距離機場15公里的地方，有一輛轎車發生了故障，此時離飛機停止檢票還有42分鐘的時間，尚能夠正常行駛的轎車加上司機限乘5人，轎車的平均行駛速度為每小時60公里，在這種情況下，8名同學能否在飛機停止檢票前趕到機場。該問題的癥結所在是：在只有一輛車的情況下，當第一批同學駛向機場，剩下的幾名同學是在原地等待，還是步行了一段路程？顯然，存在上述兩種走法，結果也就出現了不同。

4.聯想開放性型：此類題型以聯想作為出發點，通過類比相似的題目探尋解題思路和方法，在聯想和比較中發現解題的捷徑。

例4：（基本題）如下圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，

求證：DC是⊙O的切線。

二、開放性習題常用的解題策略

要順利解決開放性習題，掌握一般性的解題策略尤為重要。

1.由特殊到一般。抓住題目給出的特殊數量、線段、角或位置，以此為切入點探尋隱藏在題目中的條件和信息，逐步認清題目本質，總結、概況出內在規律。

2.類比猜想。解題時聯想與此相似的題目的解題思路和方法，比較異同，開放思維，大膽猜想，小心論證，尋求解題思路。

3.分類討論。對于條件和結論都處于開放狀態的習題，按照題型的分類，在分析和聯想的過程中分析、發現解題思路。

4.正反推理。對于開放性試題中出現的“存在性問題”，先假設被考查探索的數學對象存在，然后利用題設條件及有關性質，加以肯定或否定。

初中數學開放性習題是新課程背景下開發學生思維、培養學生良好個性品質的有效手段。初中數學教師要從素質教育的高度認識開放性習題的內涵何外延，潛心探索開放性習題的表現形式與解決策略，以期通過開放性習題的有效解決，激發學生的思維活力，促進學生數學綜合素質的快速提升。

參考文獻：

[1]倪高文.試論開放性問題教學策略在初中數學教學中的應用[J].新課程，2012，（10）.

[2]張建軍.初中數學“開放性問題”教學的研究與探討[J].教育界，2113，（21）.

[3]楊書亮.淺談初中數學開放性試題的教學[J].中國科教創新導刊，2013，（35）.endprint

摘要：初中數學新課程倡導學生在數學學習中將確定的事實、探究真理的方法和創造性態度融為一體，而數學開放性習題因其開放性、創新性的特點，體現了新課程的精神，逐步成為中考試題設計的新趨勢。本文旨在明確初中數學開放性習題的常見類型和解題策略，以期幫助學生順利解答好這類習題。

關鍵詞：初中數學；開放性習題；常見類型；解題策略

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0108-02

初中數學開放性習題就是指那些條件不完善，結論不明確、不惟一，解法無限制，能夠給學生以較大認知空間的題目。這類習題不僅體現了新課程的創新精神，而且在中考試題中的比重逐年加大，從而在客觀上要求初中數學教師強化對開放性習題常見類型和解題策略的研究。以便更好地指導學生綜合運用所學知識，機智地通過分析、比較、判斷、猜想等思維方式，尋找多種解法，探求多種結論，完善初中數學在啟發認知、發展智力，培養創新精神和創新能力等方面的功效。

一、開放性習題的常見類型

為了讓學生對開放性習題有系統的認識，我們有必要對其在初中數學中的常見類型做具體的剖析，以深化學生的感性認識，

1.條件開放型：此類試題結論給定，條件未知或未全，需要解題者依據給出的結論，探求、分析與結論相適應的條件。

例1：如右圖，AB=DB，∠1=∠2，請填上一個你認為合適的條件，使△ABC≌△DBE，則需添加的條件是

。顯然，適合的條件包括：BC=BE；∠A=∠B；AE=DC等。

2.結論開放型：此類題型給出了限定條件，但答案不確定或不唯一，需要解題者充分應用題中的所給信息條件，合理推想、聯想，透徹分析，探索出可能得到的結論。

例2：已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD且AB=6cm，CD=8cm，求弦AB與CD之間的距離。

由于題設條件僅僅給出了弦AB∥CD，并未指出它們與圓心O的位置關系，所以根據多圖性可以畫出以上兩種不同的圖形：由圖（1）可求得AB與CD之間的距離為1cm；由圖（2）可求得AB與CD之間的距離為7cm。

3.條件和結論同時開放型：這類習題沒有給定條件和結論，要求學生根據習題提供的信息，通過推理、分析、總結，發現其中隱藏的數學規律和相應結論。

例3：8名同學分乘兩輛轎車駛向機場，在距離機場15公里的地方，有一輛轎車發生了故障，此時離飛機停止檢票還有42分鐘的時間，尚能夠正常行駛的轎車加上司機限乘5人，轎車的平均行駛速度為每小時60公里，在這種情況下，8名同學能否在飛機停止檢票前趕到機場。該問題的癥結所在是：在只有一輛車的情況下，當第一批同學駛向機場，剩下的幾名同學是在原地等待，還是步行了一段路程？顯然，存在上述兩種走法，結果也就出現了不同。

4.聯想開放性型：此類題型以聯想作為出發點，通過類比相似的題目探尋解題思路和方法，在聯想和比較中發現解題的捷徑。

例4：（基本題）如下圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30°，

求證：DC是⊙O的切線。

二、開放性習題常用的解題策略

要順利解決開放性習題，掌握一般性的解題策略尤為重要。

1.由特殊到一般。抓住題目給出的特殊數量、線段、角或位置，以此為切入點探尋隱藏在題目中的條件和信息，逐步認清題目本質，總結、概況出內在規律。

2.類比猜想。解題時聯想與此相似的題目的解題思路和方法，比較異同，開放思維，大膽猜想，小心論證，尋求解題思路。

3.分類討論。對于條件和結論都處于開放狀態的習題，按照題型的分類，在分析和聯想的過程中分析、發現解題思路。

4.正反推理。對于開放性試題中出現的“存在性問題”，先假設被考查探索的數學對象存在，然后利用題設條件及有關性質，加以肯定或否定。

初中數學開放性習題是新課程背景下開發學生思維、培養學生良好個性品質的有效手段。初中數學教師要從素質教育的高度認識開放性習題的內涵何外延，潛心探索開放性習題的表現形式與解決策略，以期通過開放性習題的有效解決，激發學生的思維活力，促進學生數學綜合素質的快速提升。

參考文獻：

[1]倪高文.試論開放性問題教學策略在初中數學教學中的應用[J].新課程，2012，（10）.

[2]張建軍.初中數學“開放性問題”教學的研究與探討[J].教育界，2113，（21）.

[3]楊書亮.淺談初中數學開放性試題的教學[J].中國科教創新導刊，2013，（35）.endprint