在數學自主學習中培養學生的思維能力

成寶娟　石國鳳

【摘 要】數學自主學習是一種讓學生思維舞動起來的學習方法，在數學自主學習中，我們要努力培養學生的推廣思維、類比思維和逆向思維等思維能力，挖掘學生思維潛力。

【關鍵詞】自主學習；推廣思維；類比思維；逆向思維

培根說：數學是思維的體操。我認為，數學自主學習就是一種讓學生思維舞動起來的學習方法。常見的數學思維有：推廣思維、類比思維、逆向思維、歸納思維、發散思維、創新思維、分析思維、抽象思維、質疑思維、邏輯思維、形象思維、組合思維、直覺思維等。當我們把自己當作一個科學家去自主研究數學時，要開拓思路，點燃思維火花，采用多種思維方式去研究數學知識和數學思想方法，培養思維的深刻性、靈活性、敏捷性、多向性、嚴謹性、發散性和獨創性，挖掘思維潛力。

一、善于運用推廣思維

我們對數學的認識，對知識的學習是一個循序漸進、由淺入深、不斷推廣的過程。數學家在數學研究中，許多概念都是通過推廣原有概念而建立的，許多重要定理、公式也是通過對命題的推廣而得到的。推廣是人類發現數學規律的重要工具，是數學研究的基本方法。

比如說，我們在學習自然數時，當我們對自然數的性質、特點、運算規律有了一個深入的認識后，我們可以逐步自主研究出整數、有理數、實數、復數的性質、特點、運算規律，當我們完成對 的推廣時，我們的自主學習能力、研究能力會得到很大的提高，邏輯思維、理性思維、推廣思維、分析思維得到很好的鍛煉。

隨著我們對解一元一次方程和等式的性質的學習，我們可以推導出解二元一次方程組的方法。當我們能夠熟練地解出二元一次方程組的時候，要理解解二元一次方程組的實質是消元，我們利用消元這樣的一個方法，就可以推導出解三元一次方程組、n元一次方程組的方法。同樣，當我們熟練掌握解二次方程降冪的思想時，利用降冪的思想我們就可以推廣出解三次方程、n次方程的方法。利用消元降次的方法我們就可以推廣出n元高次方程組的解法。如果解方程（組）的方法不是通過死記硬背而得到的，不是通過老師灌輸給我們的，而是我們自己研究出來的，那么這樣學到的知識是最深刻、最難遺忘的，終身受益。我們要在復雜的表面現象中，發現并抓住數學問題的規律和本質，培養思維的敏捷性和深刻性、靈活性和嚴謹性。

二、善于運用類比思維

類比思維是通過對一些相似問題或規律進行比較，發現其中的聯系和區別。自主學習的過程中我們可以利用我們熟悉的已知數學知識、數學思想方法類比出未知的知識點。

在數學中，到處都可以用到類比的思想。等差數列和等比數列中滲透著類比的思想方法，映射與函數中滲透著類比的思想方法。在解析幾何中我們可以用類比的思想學習拋物線、雙曲線、圓、橢圓。

類比的思維不僅廣泛應用于數學概念和性質，也廣泛應用于公式結構和解題思路。比如說我們可以由基本求導公式類比出基本微分公式；函數的復合運算滿足結合律，但不滿足交換律，我們可以類比出矩陣與矩陣的乘法也滿足結合律，但不滿足交換律；極限的線性運算規律類比出導數、不定積分、定積分都滿足線性運算規律，Laplace變換和Laplace逆變換也滿足線性運算規律。

三、善于運用逆向思維

逆向思維即“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面進行深入探討、思考的一種思維方式。當順向思維遇到瓶頸時，就可考慮逆向思維。逆向思維能夠突破思維定勢，解放思想、開闊思路。逆向思維在數學中有著廣泛的應用。

數學中的很多運算總是正逆交替，成對出現的，而且可以相互轉化。比如：當我們熟悉指數函數

時，我們可以大膽設置下一個研究方向：指數函數的逆運算是什么呢？由此我們可以推導出對數函數

的定義、運算規律及其應用。利用逆向思維我們還可以學習乘方的逆運算開方，微分的逆運算積分，加法的逆運算減法，乘法的逆運算除法，Laplace變換的逆運算Laplace逆變換。

自主學習數學定理、公式、法則時，要注重它的逆用。比如說基本求導公式、微分公式反過去背就是基本積分公式。平面幾何中的“性質定理”與“判定定理”是互逆的關系。在學習數學定理時我們總是問自己：它的逆命題成立嗎？否命題成立嗎？如果不成立，應該加上、減去或改變一些什么樣的條件才能讓它成立？我們要有意識地、經常性地進行鍛煉，從而促進逆向思維能力的提升、心理素質的優化。

在解題中，有些題目如果從條件入手，則會不知道從哪下手，很難解出，根據正難則反的原則，我們可以進行逆向思考。從問題的結論出發，一步一步逆推到條件，最終得到題目條件或者有關結論。用逆向思維解題時用得最多的是反證法。通常我們先假設結論不成立，再推出與題設、公理或者定義相矛盾的結論，故假設不成立，即證得題目結論正確。

數學思維體現在數學知識的方方面面，所以我們要把培養自己的數學思維能力貫穿于整個數學學習過程中，滲透于每個學習環節中。學習者不應該只滿足于學到多少知識，而更應關注思維能力是否得到了鍛煉和提高。

【參考文獻】

[1]張桂梅.在高等數學教學中培養學生的思維能力[J].教育與職業，2013.（5）.

作者簡介：

成寶娟，女，1981年09月生，咸寧市通山縣人，講師，理學學士學位，研究方向：數學教育與應用

石國鳳，女，1980年08月，咸寧嘉魚人，講師，研究方向：數學教育與應用

基金項目：湖北省教育科學“十二五”規劃課題——數學自主學習教與學的實踐探究（課題編號2013B393）

（作者單位：咸寧職業技術學院機電工程系）