在數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

成寶娟　石國鳳

【摘 要】數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)是一種讓學(xué)生思維舞動起來的學(xué)習(xí)方法，在數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)中，我們要努力培養(yǎng)學(xué)生的推廣思維、類比思維和逆向思維等思維能力，挖掘?qū)W生思維潛力。

【關(guān)鍵詞】自主學(xué)習(xí)；推廣思維；類比思維；逆向思維

培根說：數(shù)學(xué)是思維的體操。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)就是一種讓學(xué)生思維舞動起來的學(xué)習(xí)方法。常見的數(shù)學(xué)思維有：推廣思維、類比思維、逆向思維、歸納思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、分析思維、抽象思維、質(zhì)疑思維、邏輯思維、形象思維、組合思維、直覺思維等。當(dāng)我們把自己當(dāng)作一個科學(xué)家去自主研究數(shù)學(xué)時，要開拓思路，點燃思維火花，采用多種思維方式去研究數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性、敏捷性、多向性、嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性和獨創(chuàng)性，挖掘思維潛力。

一、善于運用推廣思維

我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，對知識的學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)、由淺入深、不斷推廣的過程。數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)研究中，許多概念都是通過推廣原有概念而建立的，許多重要定理、公式也是通過對命題的推廣而得到的。推廣是人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要工具，是數(shù)學(xué)研究的基本方法。

比如說，我們在學(xué)習(xí)自然數(shù)時，當(dāng)我們對自然數(shù)的性質(zhì)、特點、運算規(guī)律有了一個深入的認(rèn)識后，我們可以逐步自主研究出整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、特點、運算規(guī)律，當(dāng)我們完成對 的推廣時，我們的自主學(xué)習(xí)能力、研究能力會得到很大的提高，邏輯思維、理性思維、推廣思維、分析思維得到很好的鍛煉。

隨著我們對解一元一次方程和等式的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們可以推導(dǎo)出解二元一次方程組的方法。當(dāng)我們能夠熟練地解出二元一次方程組的時候，要理解解二元一次方程組的實質(zhì)是消元，我們利用消元這樣的一個方法，就可以推導(dǎo)出解三元一次方程組、n元一次方程組的方法。同樣，當(dāng)我們熟練掌握解二次方程降冪的思想時，利用降冪的思想我們就可以推廣出解三次方程、n次方程的方法。利用消元降次的方法我們就可以推廣出n元高次方程組的解法。如果解方程（組）的方法不是通過死記硬背而得到的，不是通過老師灌輸給我們的，而是我們自己研究出來的，那么這樣學(xué)到的知識是最深刻、最難遺忘的，終身受益。我們要在復(fù)雜的表面現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)并抓住數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和本質(zhì)，培養(yǎng)思維的敏捷性和深刻性、靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、善于運用類比思維

類比思維是通過對一些相似問題或規(guī)律進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系和區(qū)別。自主學(xué)習(xí)的過程中我們可以利用我們熟悉的已知數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法類比出未知的知識點。

在數(shù)學(xué)中，到處都可以用到類比的思想。等差數(shù)列和等比數(shù)列中滲透著類比的思想方法，映射與函數(shù)中滲透著類比的思想方法。在解析幾何中我們可以用類比的思想學(xué)習(xí)拋物線、雙曲線、圓、橢圓。

類比的思維不僅廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，也廣泛應(yīng)用于公式結(jié)構(gòu)和解題思路。比如說我們可以由基本求導(dǎo)公式類比出基本微分公式；函數(shù)的復(fù)合運算滿足結(jié)合律，但不滿足交換律，我們可以類比出矩陣與矩陣的乘法也滿足結(jié)合律，但不滿足交換律；極限的線性運算規(guī)律類比出導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分都滿足線性運算規(guī)律，Laplace變換和Laplace逆變換也滿足線性運算規(guī)律。

三、善于運用逆向思維

逆向思維即“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問題的相反面進(jìn)行深入探討、思考的一種思維方式。當(dāng)順向思維遇到瓶頸時，就可考慮逆向思維。逆向思維能夠突破思維定勢，解放思想、開闊思路。逆向思維在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)中的很多運算總是正逆交替，成對出現(xiàn)的，而且可以相互轉(zhuǎn)化。比如：當(dāng)我們熟悉指數(shù)函數(shù)

時，我們可以大膽設(shè)置下一個研究方向：指數(shù)函數(shù)的逆運算是什么呢？由此我們可以推導(dǎo)出對數(shù)函數(shù)

的定義、運算規(guī)律及其應(yīng)用。利用逆向思維我們還可以學(xué)習(xí)乘方的逆運算開方，微分的逆運算積分，加法的逆運算減法，乘法的逆運算除法，Laplace變換的逆運算Laplace逆變換。

自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理、公式、法則時，要注重它的逆用。比如說基本求導(dǎo)公式、微分公式反過去背就是基本積分公式。平面幾何中的“性質(zhì)定理”與“判定定理”是互逆的關(guān)系。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理時我們總是問自己：它的逆命題成立嗎？否命題成立嗎？如果不成立，應(yīng)該加上、減去或改變一些什么樣的條件才能讓它成立？我們要有意識地、經(jīng)常性地進(jìn)行鍛煉，從而促進(jìn)逆向思維能力的提升、心理素質(zhì)的優(yōu)化。

在解題中，有些題目如果從條件入手，則會不知道從哪下手，很難解出，根據(jù)正難則反的原則，我們可以進(jìn)行逆向思考。從問題的結(jié)論出發(fā)，一步一步逆推到條件，最終得到題目條件或者有關(guān)結(jié)論。用逆向思維解題時用得最多的是反證法。通常我們先假設(shè)結(jié)論不成立，再推出與題設(shè)、公理或者定義相矛盾的結(jié)論，故假設(shè)不成立，即證得題目結(jié)論正確。

數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的方方面面，所以我們要把培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，滲透于每個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中。學(xué)習(xí)者不應(yīng)該只滿足于學(xué)到多少知識，而更應(yīng)關(guān)注思維能力是否得到了鍛煉和提高。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張桂梅.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J].教育與職業(yè)，2013.（5）.

作者簡介：

成寶娟，女，1981年09月生，咸寧市通山縣人，講師，理學(xué)學(xué)士學(xué)位，研究方向：數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用

石國鳳，女，1980年08月，咸寧嘉魚人，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用

基金項目：湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)教與學(xué)的實踐探究（課題編號2013B393）

（作者單位：咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程系）