淺談如何挖掘 數(shù)學(xué)問題中的 “隱含條件”

呂建軍

摘?要：數(shù)學(xué)問題中的隱含條件直接決定著數(shù)學(xué)問題能否有效解決。因而尋覓數(shù)學(xué)問題中的隱含條件，了解隱含條件的各種形式，掌握隱含條件的發(fā)現(xiàn)、分析方法，從題目的各種文字、各種數(shù)學(xué)模型、各種數(shù)學(xué)圖形中挖掘出隱含條件，就顯得非常重要。本文對(duì)隱含條件的挖掘和運(yùn)用進(jìn)行了一些粗淺的探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；隱含條件；挖掘

所謂“隱含條件”是相對(duì)“顯性條件”而言的，是數(shù)學(xué)問題中已知條件沒有明確指出，且對(duì)解決問題起到關(guān)鍵作用的一些條件。由于它的原因，許多學(xué)生解題失誤或解題困難，失去不必要失去的分?jǐn)?shù)，但若能引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，認(rèn)真觀察，充分挖掘隱含條件，并充分利用條件，積極拓展解題思路，優(yōu)化解題過程，對(duì)提高學(xué)生解題能力是十分重要的。

挖掘隱含條件，必須具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、多樣的解題技巧和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。運(yùn)用隱含條件，要恰到好處，運(yùn)用自如，才能使解題水到渠成，結(jié)論完美自然。我認(rèn)為，可以從下面四個(gè)方面去挖掘。

一、在數(shù)學(xué)問題語言中挖掘隱含條件，尋找解題思路

數(shù)學(xué)語言簡潔精練、形式多變，表達(dá)形式包括文字、符合、圖形等。數(shù)學(xué)語言的巧妙組織，構(gòu)造出千差萬別的數(shù)學(xué)問題，在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，要靈活將各種形式的數(shù)學(xué)語言互相轉(zhuǎn)化，使隱含條件在問題中一步步呈現(xiàn)出來，要認(rèn)真多角度思考，找尋解題思路。

例如2009年江西高考試題：若不等式9-x2≤k（x+2）-2的解集為區(qū)間［a，b］，且b-a=2，則 k=_。

這是一個(gè)帶有根式的不等式的解的問題，因其中含有k，a，b三個(gè)字母參數(shù)，乍看起來無從下手。如果仔細(xì)審題，挖掘問題考查實(shí)質(zhì)及k，a，b關(guān)系，試用圖形來描述，就能尋找到問題的條件、結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。從圖形上看，問題的實(shí)質(zhì)是滿足一條直線在半圓上部時(shí)且?guī)в袟l件限制時(shí)的直線的斜率。

解：原不等式兩邊看成是兩個(gè)函數(shù)，左邊是y= 9-x3，其圖象是圓心在原點(diǎn)，半徑是3的上半圓；右邊是 y=k（x+2）- 2，其圖象是經(jīng)過定點(diǎn)（-2，

）的一條直線，因?yàn)樵坏仁降慕饧牵踑-2，a］，由圖象可以看出x應(yīng)該取區(qū)間［1，3］時(shí)才滿足原不等式，此時(shí)直線必過半圓上的點(diǎn)（1，2 2），代入直線，得k=2。

二、在數(shù)學(xué)問題概念中挖掘隱含條件，尋找解題捷徑

數(shù)學(xué)概念通常是隱含條件的隱藏之處。要挖掘隱含條件，必須對(duì)概念的含義進(jìn)行解剖，揭開其表象，抓住其實(shí)質(zhì)，從而將問題簡化，找到解決問題的有效方法。

例如：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3和5，與y軸點(diǎn)的縱坐標(biāo)是15，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

求二次函數(shù)解析式的方法很多，通過對(duì)題目已知條件的分析，函數(shù)圖象過三點(diǎn)（3，0），（5，0），（0，15） ，設(shè)出二次函數(shù)的一般式，用待定系數(shù)法，列a，b，c三元方程組解。但是進(jìn)一步分析，可得與x軸兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是3，5，這可看做是一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，于是隱含條件顯現(xiàn)出來，可利用二次函數(shù)解析式的“兩根式”很快解題。

三、在數(shù)學(xué)問題質(zhì)疑中挖掘隱含條件，做到查漏補(bǔ)缺

有些數(shù)學(xué)問題，按慣常的思路求解，會(huì)造成一些增根，也可能造成失根。這些常見的錯(cuò)誤往往都是因?yàn)闆]有發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件。如果對(duì)解題過程中某些帶有疑點(diǎn)的問題充分分析，帶著疑點(diǎn)審視問題的條件和結(jié)論，從而挖掘隱含條件，問題就能及時(shí)得到準(zhǔn)確的解答。

例如：求過點(diǎn)（2，3）且與（x+1）2+

y2=9相切的直線方程。

有許多學(xué)生由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程y-3=k（x-2），由直線與圓相切定義，圓心到直線距離等于半徑3，解得k=0，所以切線方程為y=3。但仔細(xì)考慮點(diǎn)在圓外，過圓外一點(diǎn)的切線一共有兩條，而本題是一條，說明失去一條，為什么呢？帶著疑問分析失根原因，經(jīng)過思考，可知問題出在“直線的斜率”，直線斜率有的存在，有的不存在，設(shè)點(diǎn)斜式時(shí)，把不存在斜率的忽略了，還有一條是x=3。

四、在數(shù)學(xué)問題的“顯性”條件中挖掘“隱性”條件，做到正確求解

有些數(shù)學(xué)問題，常常會(huì)設(shè)計(jì)一些“陷阱”，有些隱含條件是已知條件的變式，須將已知條件適當(dāng)變形，挖掘內(nèi)在實(shí)質(zhì)，就不難發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)涵的秘密，做到正確求解。

例如：求y=log2（x2-2x-3）的單調(diào)增區(qū)間是_ 。

學(xué)生知道這是考復(fù)合函數(shù)的知識(shí)，由內(nèi)外函數(shù)的復(fù)合規(guī)律，得到［1，+∞］，但這個(gè)答案是錯(cuò)誤的，原因是忽略定義域，正確答案是［3，+∞］。隱含條件沒有挖掘出來，造成錯(cuò)誤。

在數(shù)學(xué)解題中，需要學(xué)生多角度地去挖掘隱藏在題中的各種隱含條件，經(jīng)過不斷的訓(xùn)練和總結(jié)，對(duì)問題進(jìn)行深入淺出的分析，提高思維能力和解決問題的能力，才能在解題中保持勝利。

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