“教”讓道于“思”，讓數(shù)學(xué)思維的火花在課堂中綻放

王小林

[摘 要] 本文以蘇州市初二調(diào)研的一道試題為例，反思試卷講評課中該如何以學(xué)生為主體，將教師的“教”讓道與學(xué)生的“思”，讓數(shù)學(xué)思維的火花在課堂中綻放，從而提高課堂教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] 試卷講評；有效教學(xué)；數(shù)學(xué)思維

問題的提出

試卷講評課作為一種重要的課型，在彌補學(xué)生的知識漏洞、完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和方法體系、提高學(xué)生的思維能力方面起著至關(guān)重要的作用. 在試卷講評課中，作為教師，應(yīng)恰當?shù)匕盐铡敖獭钡亩龋瑥亩鴮崿F(xiàn)學(xué)生很好地“思”，“思”出真諦，使課堂的有效性甚至是高效性得以更好地體現(xiàn).

試題與講評建議

題目 （蘇州市2013—2014初二數(shù)學(xué)基礎(chǔ)調(diào)研試題）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，點G是BC邊上任意一點（不同于端點B，C），連結(jié)AG，過B，D兩點作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為點E和點F.

（1）求證：△ABE≌△DAF.

（2）若△ADF的面積為，試求BE-DF的值.

調(diào)研測試的結(jié)果

統(tǒng)計本校初二3個班99名學(xué)生，此題的平均分為（1）班3.5分，（2）班3.3分，（3）班3.1分. 第一問證明三角形全等，幾乎人人會做，這也意味著第二問的平均分約為0.5，0.3，0.1. 換句話說，第二問只有1～2個學(xué)生能正確解答，說明學(xué)生解決這個數(shù)學(xué)問題解得很不理想.

學(xué)生的困惑

在筆者所任教的班級中，有3個學(xué)生答對此題. 通過對30名學(xué)生解題思路回顧與反思的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)解決第二問時遇到的困惑是：△ABE≌△DAF ，BE2+DF2=AF2+DF2=AD2=1，AF·DF=，這三個條件如何轉(zhuǎn)化？由于無法找出“已知”與“所求”之間的“紐帶”，只得中途放棄. 另外，不少同學(xué)表示由于該題是試卷最后一題，根據(jù)“經(jīng)驗”，應(yīng)該很難，就簡單思考后放棄了.

試題的來源

此題來源于蘇科版八上第三章中心對稱圖形P101的習(xí)題12：在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且AE=BF，AF與DE交于點G. 從所給的條件中，你能得出哪些結(jié)論？為什么？

分析 試題的背景與課本習(xí)題大致相同，不同的是試題是對習(xí)題的進一步探究，臺階少了，使學(xué)生沒有了解題的抓手，感到手足無措.

講評過程實錄

師：通過運用AAS不難證明△ABE≌△DAF，從而有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等. 第一問作為第二問的鋪墊，在此基礎(chǔ)上如何求BE-DF的值？

生：因為△ABE≌△DAF，所以BE= AF. 因為AB=AD=1，所以BE2+DF 2=AF 2+DF 2=AD2=1. 因為S= ，所以AF·DF=，（BE-DF）2=（AF-DF）2=AF 2-2AF·DF+DF 2=1-=，所以BE-DF==.

師：通過全等代換，結(jié)合正方形的邊長為1和三角形的面積為，能計算出正確答案. 此解法假如通過換元，其本質(zhì)便是利用ab=和a2+b2=1求（a-b）2的值. 你們能告訴老師，考試時大家的“解題障礙”在哪兒嗎？

生：BE 2+DF 2=AF 2+DF 2=AD2=1，△ADF的面積為，即AF·DF=都能列出來，不過，由于它是最后一題，總覺得應(yīng)該很難，所以就匆匆放棄，沒想到其實……

師：冷靜和細心是考試獲勝的關(guān)鍵因素，只有靜下心來才能成功地找到條件背后的關(guān)系，才能找到正確解決問題的方法.

師：有沒有其他做法？

學(xué)生沉默了些時間……

師：同學(xué)們想了這么長時間，能告訴我在想什么嗎？

生：由△ABE≌△DAF可得到BE=AF，DF=AE，所以BE-DF=EF.

師：那么，如何求EF？

生：通過構(gòu)造“勾股定理弦圖”（如圖2所示），求EF的值相當于求小正方形EFHJ的邊長. 因為△ADF的面積為，所以小正方形EFHJ的面積為1-×4=，所以EF==.

[D][C][A][B][F][E][G][圖2][H][J]

師：能不能在此基礎(chǔ)上自編一道題？

生：簡單！（在圖2的基礎(chǔ)上）延長DF交AB于點K，如圖3所示，能否證明AK=BG？

[D][C][A][B][F][E][G][圖3][H][J][K]

生：可以構(gòu)造全等三角形從而得到對應(yīng)邊相等，可以發(fā)現(xiàn)，與課本習(xí)題剛好形成“逆命題”！

師：精彩！學(xué)以致用，舉一反三. 看來，大家已經(jīng)在不知不覺中進入“題目”了！

至此，這一問題的講評訂正基本結(jié)束了，整個過程都是學(xué)生在思考、相互合作、展示交流，并體會著問題和方法的不斷演變，從而真正地抓住解決問題的方法.

教學(xué)反思

考題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗. 作為教師，我們應(yīng)把數(shù)學(xué)教學(xué)活動的根深植于教材，汲取例題、習(xí)題中的營養(yǎng)，使數(shù)學(xué)教學(xué)這棵大樹永遠年輕；在數(shù)學(xué)教學(xué)的旅途中，不經(jīng)意從例題、習(xí)題中掬起一汪活水，你會驚喜地發(fā)現(xiàn)，在這汪活水深處有一方湛藍的天. 在試卷講評課中，只要教師做一個有心人，處處留意，就可以從教材中找出試題的“原型”，還可以在平時的教學(xué)中“教”會學(xué)生學(xué)會思考這些有用的教學(xué)素材.

1. 試卷講評要挖掘?qū)W生的“試場障礙”

所謂“試場障礙”，是考試時學(xué)生因為緊張、恐懼等心理導(dǎo)致自己不能正確解決問題的一種現(xiàn)象，這個問題如果放在平時練習(xí)也許能夠解決. 試卷講評課中，教師要有效引導(dǎo)學(xué)生正確處理考試心理問題，以及考場里的突發(fā)問題. 如上述試題，即求BE-DF的值，80%的同學(xué)都知道用△ABE≌△DAF，S=以及邊長為1這三個條件，但最后算出正確答案的卻只有1～2人. 問題到底出在哪里？其實是在考場這一特殊環(huán)境下，學(xué)生的心理因素不過硬造成的. 雖然知道BE 2+AE 2=1，AF 2+DF 2=1，AF·DF=，卻不能靈活運用△ABE≌△DAF所帶來的等價轉(zhuǎn)換，這樣的學(xué)生占了大半. 所以，在分析此問題時，筆者認為，教師要“教”，不如引導(dǎo)學(xué)生“思”出問題的關(guān)鍵——利用ab=和a 2+b 2=1求（a-b） 2的值. 學(xué)生只有主動參與解題活動，通過知識同化，思維碰撞，自己“思”得解題方法，才能提高解題技能、提升思維水平、激揚數(shù)學(xué)興趣，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由苦變樂.endprint

2. 試卷講評要挖掘?qū)W生的“解題能力”

本節(jié)課沒有“精彩紛呈”的情景裝飾，也沒有渲染夸獎的浮夸之風(fēng)，而是實實在在落實教學(xué)目標. 通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生的積極參與，旨在促進學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)解題能力. 如果在試卷講評課中，教師對于學(xué)生做錯的題目總是仔細地“教”，“教”思想、“教”方法、“教”變式，那么，學(xué)生的學(xué)習(xí)只能處于初級的模仿階段，缺乏自己的“思考”，遇到新的問題只能“舉步不前”. 事實上，作為學(xué)生，如何學(xué)會自主思考，使新問題迎刃而解，這才是最重要的. 比如，在試卷講評時，筆者不是告知學(xué)生此題考查的知識點，“教”給學(xué)生解題的方法，而是考慮給學(xué)生“思”出問題的關(guān)鍵——“圖形”，通過構(gòu)造“勾股定理弦圖”使問題輕松解決，通過延長DF交AB于K，實現(xiàn)與課本習(xí)題的“回歸”. 讓出時間，讓出空間，從而讓出精彩，這才能真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 所以，教師“少”教一些并不意味著自身或?qū)W生會有損失，相反，教師應(yīng)多讓學(xué)生通過自己的“思”，“思”出本質(zhì)，從而使教學(xué)促進學(xué)習(xí)，而不是控制學(xué)習(xí)效果. 這樣，我們的數(shù)學(xué)課堂定會綻放無窮的魅力！

3. 試卷講評要挖掘?qū)W生的“說題思維”

在試卷講評課中，讓學(xué)生自行說題、解題，有時比教師在講臺上滔滔不絕地“教”，效果更好，因為學(xué)生用自己的思維去分析，更貼近他們的思維習(xí)慣，也更容易被他們理解和接受. 教師則只需點評，關(guān)鍵的地方示范板演. 說題是學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言口述理清思維脈絡(luò)，對知識方法進行選擇加工的知識構(gòu)建過程. 它不僅有利于數(shù)學(xué)知識的鞏固和應(yīng)用，還有利于學(xué)生推理論證思維的形成. 通過說題訓(xùn)練的教學(xué)，讓學(xué)生大膽開口，能很好地暴露學(xué)生思維的全過程，有利于教師隨時掌握知識基礎(chǔ)、能力水平，取得較好的效果. 說題可設(shè)置以下問題鏈：（1）此題的解法是什么，怎么想出來的？（2）難點在哪里？關(guān)鍵是哪一步？（3）能找到更好的解題途徑嗎？能否尋求“一題多解”呢？（4）這種方法能推廣嗎？（5）通過解決這個問題，學(xué)到了什么新知識？從中得到了什么啟發(fā)？這很好地體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)活動是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程”的教學(xué)新理念.

孔子曰：“吾日三省吾身.”作為教師，應(yīng)“日省”如何適度地“教”，給學(xué)生“思”的空間：自主探究，學(xué)會對數(shù)學(xué)知識進行思維加工. 充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，變學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為在教師的引導(dǎo)下實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”的過程，使學(xué)生在潛移默化中獲得知識，學(xué)會方法，真正把學(xué)生從“題海”中解放出來，切實提高教學(xué)活動的有效性！endprint

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本節(jié)課沒有“精彩紛呈”的情景裝飾，也沒有渲染夸獎的浮夸之風(fēng)，而是實實在在落實教學(xué)目標. 通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生的積極參與，旨在促進學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)解題能力. 如果在試卷講評課中，教師對于學(xué)生做錯的題目總是仔細地“教”，“教”思想、“教”方法、“教”變式，那么，學(xué)生的學(xué)習(xí)只能處于初級的模仿階段，缺乏自己的“思考”，遇到新的問題只能“舉步不前”. 事實上，作為學(xué)生，如何學(xué)會自主思考，使新問題迎刃而解，這才是最重要的. 比如，在試卷講評時，筆者不是告知學(xué)生此題考查的知識點，“教”給學(xué)生解題的方法，而是考慮給學(xué)生“思”出問題的關(guān)鍵——“圖形”，通過構(gòu)造“勾股定理弦圖”使問題輕松解決，通過延長DF交AB于K，實現(xiàn)與課本習(xí)題的“回歸”. 讓出時間，讓出空間，從而讓出精彩，這才能真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 所以，教師“少”教一些并不意味著自身或?qū)W生會有損失，相反，教師應(yīng)多讓學(xué)生通過自己的“思”，“思”出本質(zhì)，從而使教學(xué)促進學(xué)習(xí)，而不是控制學(xué)習(xí)效果. 這樣，我們的數(shù)學(xué)課堂定會綻放無窮的魅力！

3. 試卷講評要挖掘?qū)W生的“說題思維”

在試卷講評課中，讓學(xué)生自行說題、解題，有時比教師在講臺上滔滔不絕地“教”，效果更好，因為學(xué)生用自己的思維去分析，更貼近他們的思維習(xí)慣，也更容易被他們理解和接受. 教師則只需點評，關(guān)鍵的地方示范板演. 說題是學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言口述理清思維脈絡(luò)，對知識方法進行選擇加工的知識構(gòu)建過程. 它不僅有利于數(shù)學(xué)知識的鞏固和應(yīng)用，還有利于學(xué)生推理論證思維的形成. 通過說題訓(xùn)練的教學(xué)，讓學(xué)生大膽開口，能很好地暴露學(xué)生思維的全過程，有利于教師隨時掌握知識基礎(chǔ)、能力水平，取得較好的效果. 說題可設(shè)置以下問題鏈：（1）此題的解法是什么，怎么想出來的？（2）難點在哪里？關(guān)鍵是哪一步？（3）能找到更好的解題途徑嗎？能否尋求“一題多解”呢？（4）這種方法能推廣嗎？（5）通過解決這個問題，學(xué)到了什么新知識？從中得到了什么啟發(fā)？這很好地體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)活動是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程”的教學(xué)新理念.

孔子曰：“吾日三省吾身.”作為教師，應(yīng)“日省”如何適度地“教”，給學(xué)生“思”的空間：自主探究，學(xué)會對數(shù)學(xué)知識進行思維加工. 充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，變學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為在教師的引導(dǎo)下實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”的過程，使學(xué)生在潛移默化中獲得知識，學(xué)會方法，真正把學(xué)生從“題海”中解放出來，切實提高教學(xué)活動的有效性！endprint

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3. 試卷講評要挖掘?qū)W生的“說題思維”

在試卷講評課中，讓學(xué)生自行說題、解題，有時比教師在講臺上滔滔不絕地“教”，效果更好，因為學(xué)生用自己的思維去分析，更貼近他們的思維習(xí)慣，也更容易被他們理解和接受. 教師則只需點評，關(guān)鍵的地方示范板演. 說題是學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言口述理清思維脈絡(luò)，對知識方法進行選擇加工的知識構(gòu)建過程. 它不僅有利于數(shù)學(xué)知識的鞏固和應(yīng)用，還有利于學(xué)生推理論證思維的形成. 通過說題訓(xùn)練的教學(xué)，讓學(xué)生大膽開口，能很好地暴露學(xué)生思維的全過程，有利于教師隨時掌握知識基礎(chǔ)、能力水平，取得較好的效果. 說題可設(shè)置以下問題鏈：（1）此題的解法是什么，怎么想出來的？（2）難點在哪里？關(guān)鍵是哪一步？（3）能找到更好的解題途徑嗎？能否尋求“一題多解”呢？（4）這種方法能推廣嗎？（5）通過解決這個問題，學(xué)到了什么新知識？從中得到了什么啟發(fā)？這很好地體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)活動是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程”的教學(xué)新理念.

孔子曰：“吾日三省吾身.”作為教師，應(yīng)“日省”如何適度地“教”，給學(xué)生“思”的空間：自主探究，學(xué)會對數(shù)學(xué)知識進行思維加工. 充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，變學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為在教師的引導(dǎo)下實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”的過程，使學(xué)生在潛移默化中獲得知識，學(xué)會方法，真正把學(xué)生從“題海”中解放出來，切實提高教學(xué)活動的有效性！endprint