打開數學思路?搖 奠定學習基礎

蔡冬英

［摘要］ 要幫助學生順利地進入初中數學學習的狀態，關鍵還在于教師要通過自身的努力，幫助學生打開初中數學的學習思路，進而為學生學好初中數學奠定堅實的基礎，本文試以“有理數的除法”教學為例，談談筆者的思考與做法.

［關鍵詞］ 初中數學；學習基礎；數學思路

對于剛進入初中的學生而言，數學學習是一個不小的挑戰，因為會出現大量的在小學數學成績優異而到了初中后學習成績不佳的現象. 究其原因不外乎兩個：一是初中數學的教學內容相對于小學而言，更多、更難；二是學生的學習方法來不及改變，舊壺裝新酒，不是那個味！而從問題解決的角度來看，要幫學生順利地進入初中數學學習的狀態，關鍵還在于教師要通過自身的努力，幫助學生打開初中數學學習的思路，進而為學生學好初中數學奠定堅實的基礎. 本文試以“有理數的除法”教學為例，談談筆者的思考與做法.

學生的學習準備分析

為了打開學生的數學思路，在本節知識教學之前有必要對學生的學習準備情況進行分析，分析包括學生的知識基礎、學生的思維基礎兩個方面.

先談學生的知識基礎. 學生此前已經學過了有理數的概念以及有理數的加減與乘法，其中在有理數的概念學習中，由于教學情境的創設等作用，學生知道了引入負數的必要性，從而擴大了對數的理解；由于引入了數軸，從而擴大了對數形結合的理解. 在有理數相加減的學習中，學生已經意識到了有理數的加減一方面與自然數的加減關系一樣，具有運算與逆運算的關系，同時由于擴充到有理數范圍，因此又有了超越自然數相加減的內涵.

再談學生的思維基礎. 由于此前的數學學習方法積淀，學生對四則運算非常熟悉，因此，學習了有理數的加減乘之后，學生已有學習有理數除法的心理準備和心理預期，這為本知識的學習提供了良好的動機，而且這種動機來自于尋找知識的圓滿與平衡，其作用遠大于教師通過情境創設來激發學生學習動機的效果. 而由于意識到有理數的除法與乘法應當是逆運算的關系，因此相當一部分學生已經對此問題有了自己初步的思考，并對運算法則作了初步的探究，甚至會出現不少學生能夠自主進行有理數除法運算并且得到正確結果卻說不出具體運算規則的情形.

結合上面的分析可以發現，教師在實際教學中的主要著力點不在于復雜情境的創建，也不在于教學過程中無微不至的講解，關鍵在于通過適當的問題激發學生已有的知識與思維基礎，通過有效的引導打開學生探究有理數除法的思路，并在此過程中通過顯性或隱性的教學提醒，幫助學生建立數學學習的認識，形成一定的初中數學學習策略，以為后面數學知識的學習服務.

教師的教學設計實施

在實際教學中，本節內容的教學可分為以下三大環節：一是新課引入環節；二是規則探究環節；三是知識應用環節. 考慮到與闡述主題的一致性，下面重點論述前兩個環節.

1. 新課引入環節

面對傳統教學思路與新課程背景下的教學取向，本節的引入有兩種選擇：一是基于前面所學的有理數的知識；二是重新創建一個新的生活情境. 考慮到本知識從難度上講學生并不難接受，因此從教學的效益角度看，筆者選擇了第一種思路.

本環節設計的問題環節有：首先通過“有理數的乘法法則是什么”的問題，引發學生思考，此處，要注意少數“學困生”的表現，確保他們在此基礎階段不出問題；然后提出第二個問題：當初學習有理數的加法與減法時經過了什么樣的思路？提出這個問題的目的在于，讓學生意識到有理數的減法是建立在有理數加法的基礎之上. 需要做的一個過細工作是，要讓學生明確理解“減去一個有理數，就是加上這個有理數的相反數”（要順便復習一下相反數的概念，確保每一個學生都掌握這一思路）；最后，從認知策略的角度提出一個問題：為什么有理數的減法與加法之間可以實現這樣的轉化？回答此問題的目的在于，明確“逆運算”的概念，以初步打開下面有理數除法法則的研究思路.

有了上面的基礎，結合一兩個有理數乘法的例子，教師可以順勢提問：現在大家已經掌握了有理數加減乘的運算規則，還差一個什么呢？從而將教學引向下一個環節.

2. 規則探究環節

教師可以先出示兩至三個除法例子，如9÷（-3）；（-9）÷3等. 學生在面對這兩個算式時一般會有這樣的想法（可以通過學生在下面的輕聲討論知道）：如果是9÷3就好了，現在多了個負號，應當怎樣計算呢？這些問題的提出往往意味著研究動機的存在. 教師此時應當注意，學生這樣的思路其實還暴露出了思維上的另一個盲區，即由于對四則運算的熟練，學生已經忽略了除法最為本質的理解，而將這種理解還原出來，則是打開學生探究思路的一個關鍵. 于是教師可以這樣提醒學生：對于第一個式子而言，我們現在看起來是要知道9除以-3的結果（停頓片刻，讓學生理解一下這句話）……實際上換一個說法，就是要知道哪個數乘-3等于9（再停頓片刻，讓學生理解一下這句話）……此處的兩次停頓非常重要，因為這一提醒實際上就是在幫學生尋找通過對乘法的理解去尋找除法的規則，是第一次將有理數的除法與乘法聯系起來. 于是學生的思維對象就由9÷（-3）=？變成了 ？×（-3）=9.

根據教學中的實際反應，學生的思路一般有兩個（思路的多元性恰恰證明了學生的思路已經被打開）：部分學生立即反應出此式中的“？”應當為-3，這是利用有理數的乘法規則得出的結果；也有部分學生會經歷一段“彎路”：“？”不可能是3，因為3×（-3）=-9，然后才想到-3，再經過轉換之后，學生就可以得到9÷（-3）=-3這一結論. 剛剛進行的是分析的第一步，無論是從歸納的角度看，還是從邏輯的角度講，此時都不宜直接得出有理數除法的規則，因而還需要讓學生繼續分析其他的例子. 待兩至三個例子分析結束之后，學生意識當中就會初步浮現有理數除法的規則，但這種規則還難以形成準確的數學語言，因而需要教師繼續引導：9÷（-3）=9×（？）. 這一等式的出現要設計成濃墨重彩的一筆，要在黑板或多媒體上凸顯出來，以將學生的注意力全部吸引過來！而學生的回答一般也應當是迅速得答出－■！然后思路就清晰了，即教師引導學生尋找-3與－■的關系，于是倒數關系也就明晰地出現在了學生的思維里. 在其他例子的輔助之下，這一工作必須再進行一至兩次的重復，以幫助學生形成一種規律感.

至此，有理數除法中“除以一個數就是乘以這個數的倒數”的結論呼之欲出. 下面要進行的工作就是由特殊向一般轉變，尋找有理數除法規則的符號表達，即a÷b=a×■，至于本式中b≠0這一條件的得出，對學生而言倒不是問題.

至于知識應用，此處要做一個提醒，即應用不能只是規則的直接應用，也可以從有理數除法規則證明得出的角度去設計一些問題，以讓學生回顧、鞏固知識發生的過程，這樣不僅可以幫助學生加深對結論的認識，還可以幫助學生加深對學習策略的認識，這對以后數學知識的學習有好處.

教學的總結、反思、前瞻

總結并反思這段教學設計和教學過程我們會發現，其中對于學生而言有價值的地方在于，所有的探究過程與結果的得出都不是教師給出的，而是學生自主得出的. 在這個過程中，教師只發揮了指引的作用，而學生的主體地位卻得到了體現. 但對于筆者而言，反思到這一步仍然意猶未盡，因為將這段教學過程與以往的教學過程進行比較，還是發現了其他一些認識，如如果遵循從頭到尾的講授并經過部分習題的訓練，學生最后也能掌握這一知識（這就是一開始說本知識不難的一個依據），但在這樣的教學過程中，學生所表現出來的學習積極性是不佳的，到了后面其他知識的學習中，教師依然要費大把的力氣去講授. 而遵循這一教學思路，并在后面的知識學習中繼續堅持，我們會發現，學生上數學課時的積極性提高了，在知識建構的過程中也會提出自己的見解. 相比之下，后者顯然更能促進學生自主地建構數學知識，這也意味著學生數學學習的思路被打開了，從而一個堅實的數學學習基礎也就奠定成功了.

同時，在這段教學中也有一些細節是備課時所沒有注意到的，比如上面提到的學生的兩種思路中，后一種就出乎筆者的意料，因為筆者總認為既然已經掌握了乘法規則，那自然就應該直接反應出-3的結果，而事實上有少數學生仍從最初的學習出發，用嘗試的方法在出錯之后才發現正確的結果，這說明對學生的研究仍然有過細的工作要做.

因此，展望將來的初中數學教學，筆者覺得要堅持的是這樣幾點：一要堅持研究學生的知識基礎，因為只有研究了學生的知識基礎，才能準確地判斷自己在課堂上什么時候該講，該講到什么程度；二要研究學生的數學思維規律，因為數學學習異于其他學科的學習，不能完全遵照一般的心理規律來看待數學教學. 而一旦把握了學生學習數學的規律，那在實際教學中就可以如魚得水、游刃有余.