淺談初中數學發散思維的訓練

李雪松

摘要：通過對發散性思維定義的理解，介紹發散思維的4個特性，并根據這些特性介紹一些如激發求知欲、轉換角度思考、一題多解、變式引申、轉化等訓練方法。并將這些方法運用到實際的教學中，從而提高教學質量，有效地訓練學生的發散思維。

關鍵詞：發散思維 特性 訓練

長期以來，我們的初中數學教學都是遵循教材上的呈現過程，按照一個固定的模式傳授給學生，而學生早已習慣于按照書上寫的和教師講授的方式去思考，但是這對于基礎知識、基本技能的學習是可以的，但這并不能激發學生的數學學習興趣，更不用說培養學生的創新能力了，可是發散思維的實質就是創新。要想培養學生的發散思維就要從思維的積極性、求異性、廣闊性、聯想性等發散思維的特性入手。因此，在數學教學中我們要有意識地抓住這些特性來訓練學生的發散性思維，這也是提高數學教學質量的有效途徑。下面我就結合教學實例來介紹幾個數學發散思維的訓練。

一、激發求知欲，訓練思維的積極性

思維的循規蹈矩是影響發散思維的障礙，而思維的積極性是攻破思維循規蹈矩的克星。而學生思維積極性的激發往往在一節課的引入部分，因此，在教學中我經常利用“障礙性引入”“沖突性引入”“問題性引入”“趣味性引入”等方法，以激發學生對新知識、新方法的探求欲望，這有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

例如，在學習“平方根的定義”時，我們可以問學生“誰的平方是9？”他們很容易就能答出+3或-3，我們接下來可以問“誰的平方是3？”學生就答不出來了。到底是哪個數呢？讓學生帶著這個“謎”，看完平方根的概念后，再來討論平方根，最后結合自己對概念的理解舉例介紹平方根，經過這樣一個過程，學生就真正掌握了平方根的定義，從而使學生的學習情緒在獲得新知識中始終處于興奮狀態，這樣有利于思維活動的積極開展與深入探尋。

二、轉換角度思考，訓練思維的求異性

培養學生的發散思維，其重要的一點就是要讓學生改變已有的思維定式，從多方位、多角度去思考問題，這也就是思維的求異性。所以要培養和訓練學生的抽象思維能力，必須要注重培養思維的求異性，使學生逐漸可以從多角度、多方位來思考和解決問題。

例如，計算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，若學生不注意觀察式子的特點，就按照有理數的運算法則進行計算是可以的，只是過程比較繁瑣且易出錯。應要求學生變換角度思考，從6，7，1這三個數的關系去思考，那么就可將式子中的6變形為（7-1），這樣就可以利用我們學過的平方差公式了，問題也就迎刃而解了。

三、一題多解、變式引申，訓練思維的廣闊性

發散思維的又一個顯著特性是思維的廣闊性。在我們的實際教學中經常會遇到一些學生對所學的數學知識往往是只知其一，不知其二的情況，稍有變化，就不知所措的情況。要想改變這種思維的狹隘性，在課堂訓練中我們可以嘗試反復進行一題多解、變式引申，分組討論等訓練，這樣可以開拓學生的解題思路，不僅培養了學生的思維能力，還訓練了學生的言語表達能力。

例如，試探究∠ADC與∠A，∠B，∠C之間的關系，讓學生嘗試用多種作輔助線的方法來證明。

證法一：利用三角形的外角與和它不相鄰兩內角的關系（圖1）

延長AD交BC邊于點E，∠AEC=∠A+∠B，∠AEC+∠C=∠ADC，

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC。

證法二：仿照法一延長CD交AB邊于F點.（圖略）

證法三：連接BD并延長到E。（圖2）

∠EDC=∠EBC+∠C，∠ADE=∠A+∠ABE

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

證法四：利用平行線性質來進行證明（圖3）

∠EDC=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

過點A做BC∥EF，過點D做BC∥MN，則EF∥MN，∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

這樣既加深了對相關定理和性質的理解，又訓練了學生思維的靈活性。讓學生通過訓練不斷探索解題的途徑，使思維的廣闊性得到不斷的發展。

四、轉化思想，訓練思維的聯想性

聯想思維是發散思維的顯著標志。訓練思維的聯想性就是要讓學生在思考解題思路時，能用數學轉化的思想，使解題思路簡捷，即達到一題多解的目的。讓學生的思維過程真正實現由此及彼，由表及里，進而尋求問題解決的最佳途徑、最佳效果，而這些思路、結果的獲得需要直覺聯想和類比，才能獲得成功。

例如，為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看成一個整體，令x2-1=y，由此原方程變為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，也就是x2-1=1，和x2-1=4。這樣一個看似在初中階段我們無法求解的一元四次方程，就轉化成了兩個一元二次方程，這使學生領悟到轉化的巨大魅力，也讓學生體會到了成功的樂趣。

總之，在數學教學中，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是培養學生靈活多變的解題思維，這樣既能提高教學質量，又達到了培養能力、發展智力的目的。讓學生真正地對數學感興趣并愛上學數學。

參考文獻：

[1]王桂芹，潘吉富.試論數學中發散思維.松遼學刊，1994（2）.

[2]戴月.數學教學與“發散思維”訓練，黃河水利教育，1996（3）.

[3]王振家.學生發散思維的培養，丹東師專學報，1999.

[4]項昭義.一題多解.京華出版社，1999.

（責編 田彩霞）

摘要：通過對發散性思維定義的理解，介紹發散思維的4個特性，并根據這些特性介紹一些如激發求知欲、轉換角度思考、一題多解、變式引申、轉化等訓練方法。并將這些方法運用到實際的教學中，從而提高教學質量，有效地訓練學生的發散思維。

關鍵詞：發散思維 特性 訓練

長期以來，我們的初中數學教學都是遵循教材上的呈現過程，按照一個固定的模式傳授給學生，而學生早已習慣于按照書上寫的和教師講授的方式去思考，但是這對于基礎知識、基本技能的學習是可以的，但這并不能激發學生的數學學習興趣，更不用說培養學生的創新能力了，可是發散思維的實質就是創新。要想培養學生的發散思維就要從思維的積極性、求異性、廣闊性、聯想性等發散思維的特性入手。因此，在數學教學中我們要有意識地抓住這些特性來訓練學生的發散性思維，這也是提高數學教學質量的有效途徑。下面我就結合教學實例來介紹幾個數學發散思維的訓練。

一、激發求知欲，訓練思維的積極性

思維的循規蹈矩是影響發散思維的障礙，而思維的積極性是攻破思維循規蹈矩的克星。而學生思維積極性的激發往往在一節課的引入部分，因此，在教學中我經常利用“障礙性引入”“沖突性引入”“問題性引入”“趣味性引入”等方法，以激發學生對新知識、新方法的探求欲望，這有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

例如，在學習“平方根的定義”時，我們可以問學生“誰的平方是9？”他們很容易就能答出+3或-3，我們接下來可以問“誰的平方是3？”學生就答不出來了。到底是哪個數呢？讓學生帶著這個“謎”，看完平方根的概念后，再來討論平方根，最后結合自己對概念的理解舉例介紹平方根，經過這樣一個過程，學生就真正掌握了平方根的定義，從而使學生的學習情緒在獲得新知識中始終處于興奮狀態，這樣有利于思維活動的積極開展與深入探尋。

二、轉換角度思考，訓練思維的求異性

培養學生的發散思維，其重要的一點就是要讓學生改變已有的思維定式，從多方位、多角度去思考問題，這也就是思維的求異性。所以要培養和訓練學生的抽象思維能力，必須要注重培養思維的求異性，使學生逐漸可以從多角度、多方位來思考和解決問題。

例如，計算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，若學生不注意觀察式子的特點，就按照有理數的運算法則進行計算是可以的，只是過程比較繁瑣且易出錯。應要求學生變換角度思考，從6，7，1這三個數的關系去思考，那么就可將式子中的6變形為（7-1），這樣就可以利用我們學過的平方差公式了，問題也就迎刃而解了。

三、一題多解、變式引申，訓練思維的廣闊性

發散思維的又一個顯著特性是思維的廣闊性。在我們的實際教學中經常會遇到一些學生對所學的數學知識往往是只知其一，不知其二的情況，稍有變化，就不知所措的情況。要想改變這種思維的狹隘性，在課堂訓練中我們可以嘗試反復進行一題多解、變式引申，分組討論等訓練，這樣可以開拓學生的解題思路，不僅培養了學生的思維能力，還訓練了學生的言語表達能力。

例如，試探究∠ADC與∠A，∠B，∠C之間的關系，讓學生嘗試用多種作輔助線的方法來證明。

證法一：利用三角形的外角與和它不相鄰兩內角的關系（圖1）

延長AD交BC邊于點E，∠AEC=∠A+∠B，∠AEC+∠C=∠ADC，

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC。

證法二：仿照法一延長CD交AB邊于F點.（圖略）

證法三：連接BD并延長到E。（圖2）

∠EDC=∠EBC+∠C，∠ADE=∠A+∠ABE

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

證法四：利用平行線性質來進行證明（圖3）

∠EDC=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

過點A做BC∥EF，過點D做BC∥MN，則EF∥MN，∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

這樣既加深了對相關定理和性質的理解，又訓練了學生思維的靈活性。讓學生通過訓練不斷探索解題的途徑，使思維的廣闊性得到不斷的發展。

四、轉化思想，訓練思維的聯想性

聯想思維是發散思維的顯著標志。訓練思維的聯想性就是要讓學生在思考解題思路時，能用數學轉化的思想，使解題思路簡捷，即達到一題多解的目的。讓學生的思維過程真正實現由此及彼，由表及里，進而尋求問題解決的最佳途徑、最佳效果，而這些思路、結果的獲得需要直覺聯想和類比，才能獲得成功。

例如，為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看成一個整體，令x2-1=y，由此原方程變為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，也就是x2-1=1，和x2-1=4。這樣一個看似在初中階段我們無法求解的一元四次方程，就轉化成了兩個一元二次方程，這使學生領悟到轉化的巨大魅力，也讓學生體會到了成功的樂趣。

總之，在數學教學中，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是培養學生靈活多變的解題思維，這樣既能提高教學質量，又達到了培養能力、發展智力的目的。讓學生真正地對數學感興趣并愛上學數學。

參考文獻：

[1]王桂芹，潘吉富.試論數學中發散思維.松遼學刊，1994（2）.

[2]戴月.數學教學與“發散思維”訓練，黃河水利教育，1996（3）.

[3]王振家.學生發散思維的培養，丹東師專學報，1999.

[4]項昭義.一題多解.京華出版社，1999.

（責編 田彩霞）

摘要：通過對發散性思維定義的理解，介紹發散思維的4個特性，并根據這些特性介紹一些如激發求知欲、轉換角度思考、一題多解、變式引申、轉化等訓練方法。并將這些方法運用到實際的教學中，從而提高教學質量，有效地訓練學生的發散思維。

關鍵詞：發散思維 特性 訓練

長期以來，我們的初中數學教學都是遵循教材上的呈現過程，按照一個固定的模式傳授給學生，而學生早已習慣于按照書上寫的和教師講授的方式去思考，但是這對于基礎知識、基本技能的學習是可以的，但這并不能激發學生的數學學習興趣，更不用說培養學生的創新能力了，可是發散思維的實質就是創新。要想培養學生的發散思維就要從思維的積極性、求異性、廣闊性、聯想性等發散思維的特性入手。因此，在數學教學中我們要有意識地抓住這些特性來訓練學生的發散性思維，這也是提高數學教學質量的有效途徑。下面我就結合教學實例來介紹幾個數學發散思維的訓練。

一、激發求知欲，訓練思維的積極性

思維的循規蹈矩是影響發散思維的障礙，而思維的積極性是攻破思維循規蹈矩的克星。而學生思維積極性的激發往往在一節課的引入部分，因此，在教學中我經常利用“障礙性引入”“沖突性引入”“問題性引入”“趣味性引入”等方法，以激發學生對新知識、新方法的探求欲望，這有利于激發學生的學習動機和求知欲。在學生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導他們一環接一環地發現問題、思考問題、解決問題。

例如，在學習“平方根的定義”時，我們可以問學生“誰的平方是9？”他們很容易就能答出+3或-3，我們接下來可以問“誰的平方是3？”學生就答不出來了。到底是哪個數呢？讓學生帶著這個“謎”，看完平方根的概念后，再來討論平方根，最后結合自己對概念的理解舉例介紹平方根，經過這樣一個過程，學生就真正掌握了平方根的定義，從而使學生的學習情緒在獲得新知識中始終處于興奮狀態，這樣有利于思維活動的積極開展與深入探尋。

二、轉換角度思考，訓練思維的求異性

培養學生的發散思維，其重要的一點就是要讓學生改變已有的思維定式，從多方位、多角度去思考問題，這也就是思維的求異性。所以要培養和訓練學生的抽象思維能力，必須要注重培養思維的求異性，使學生逐漸可以從多角度、多方位來思考和解決問題。

例如，計算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，若學生不注意觀察式子的特點，就按照有理數的運算法則進行計算是可以的，只是過程比較繁瑣且易出錯。應要求學生變換角度思考，從6，7，1這三個數的關系去思考，那么就可將式子中的6變形為（7-1），這樣就可以利用我們學過的平方差公式了，問題也就迎刃而解了。

三、一題多解、變式引申，訓練思維的廣闊性

發散思維的又一個顯著特性是思維的廣闊性。在我們的實際教學中經常會遇到一些學生對所學的數學知識往往是只知其一，不知其二的情況，稍有變化，就不知所措的情況。要想改變這種思維的狹隘性，在課堂訓練中我們可以嘗試反復進行一題多解、變式引申，分組討論等訓練，這樣可以開拓學生的解題思路，不僅培養了學生的思維能力，還訓練了學生的言語表達能力。

例如，試探究∠ADC與∠A，∠B，∠C之間的關系，讓學生嘗試用多種作輔助線的方法來證明。

證法一：利用三角形的外角與和它不相鄰兩內角的關系（圖1）

延長AD交BC邊于點E，∠AEC=∠A+∠B，∠AEC+∠C=∠ADC，

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC。

證法二：仿照法一延長CD交AB邊于F點.（圖略）

證法三：連接BD并延長到E。（圖2）

∠EDC=∠EBC+∠C，∠ADE=∠A+∠ABE

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

證法四：利用平行線性質來進行證明（圖3）

∠EDC=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

過點A做BC∥EF，過點D做BC∥MN，則EF∥MN，∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADM，∠MDC=∠C

則∠ADM+∠MDC=∠EAD+∠C=∠B+∠A+∠C

所以∠A+∠B+∠C=∠ADC

這樣既加深了對相關定理和性質的理解，又訓練了學生思維的靈活性。讓學生通過訓練不斷探索解題的途徑，使思維的廣闊性得到不斷的發展。

四、轉化思想，訓練思維的聯想性

聯想思維是發散思維的顯著標志。訓練思維的聯想性就是要讓學生在思考解題思路時，能用數學轉化的思想，使解題思路簡捷，即達到一題多解的目的。讓學生的思維過程真正實現由此及彼，由表及里，進而尋求問題解決的最佳途徑、最佳效果，而這些思路、結果的獲得需要直覺聯想和類比，才能獲得成功。

例如，為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看成一個整體，令x2-1=y，由此原方程變為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，也就是x2-1=1，和x2-1=4。這樣一個看似在初中階段我們無法求解的一元四次方程，就轉化成了兩個一元二次方程，這使學生領悟到轉化的巨大魅力，也讓學生體會到了成功的樂趣。

總之，在數學教學中，不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是培養學生靈活多變的解題思維，這樣既能提高教學質量，又達到了培養能力、發展智力的目的。讓學生真正地對數學感興趣并愛上學數學。

參考文獻：

[1]王桂芹，潘吉富.試論數學中發散思維.松遼學刊，1994（2）.

[2]戴月.數學教學與“發散思維”訓練，黃河水利教育，1996（3）.

[3]王振家.學生發散思維的培養，丹東師專學報，1999.

[4]項昭義.一題多解.京華出版社，1999.

（責編 田彩霞）