讓“逆”在數學解題中充分體現

陳天紅

摘要：逆向解題思維是數學解題思維中的一種重要思維模式，它是在解題探索中，從對立統一的角度把握數學知識的內在聯系，能克服在解決數學問題時出現的思維定勢、方法刻板等現象，利于解題的敏捷性和靈活性、廣闊性和深刻性、獨立性和創造性，是體現數學解題與實踐應用的良好過渡.在提高逆向思維能力的過程中，從逆向解決簡單的練習鞏固入手，逐步形成較為完整的逆向解題思維體系。

關鍵詞：數學解題；逆向思維；培養

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）24-0231-02

逆向思維是指根據一種觀念（概念、原理、思想）、方法及研究對象的特點，從它的相反或否定的方面去進行思考，以產生新的觀念.在數學解題中，通常是從已知條件到結論的思維方式，然而，有部分數學問題若按照順向思維方式則是比較困難的，而且常常伴隨較大的運算量，有時甚至無法解決.在這種情況下，只要我們多注意思維的逆向性，正難則反，常會使問題簡化，收到令人滿意的效果。

1.在數學解題中培養逆向思維的重要性

在學習和研究數學的過程中，有機地、適當地注意從所考慮的數學問題的相反方面或否定方面進行思考，從對立統一的角度把握數學知識的內在聯系，有利于澄清對某些數學概念的模糊認識，更深刻、更透徹地理解教材，鞏固所學知識，并能克服在解決數學問題時出現的思維定勢、方法刻板等現象，從而大大地培養了解決數學問題的能力。

1.1打破思維定勢的局面。由于逆向思維的特點主要表現在：善于從不同的立場，不同的角度，不同的層次和不同的側面去進行探索，當某一思路受阻礙時，能夠迅速地轉移到另一種思路上去，從而使問題得到順利解決.因而，它就打破了人們長期學習過程中，解決由此及彼的單一訓練思維模式，從而改變了學生知識上的缺陷和思維過程中單向定勢的頑固習慣.因此，逆向思維對數學解題能力的影響主要表現在以下幾個方面。

1.1.1有利于解題的敏捷性和靈活性。通常在解決數學問題時不能一次找到正確的解題思路，需要及時、靈活地進行思維轉換、再次探索，而逆向思維則正是以其逆向性和雙向性來探索問題，這樣就可以形成從多角度去研究問題的情境，那么解決問題的速度就自然提高，時間也因而縮短，這就恰當地反映了思維的敏捷性和靈活性.反之，如果長久堅持一種習慣了的、有迷惑力的、然而確實也是錯誤的單一思維模式，就會浪費精力、貽誤時間，并且加劇思維的遲鈍.同時，還應注意逆向思維解題要涉及一系列定理、公式、規律性例題的逆運用，正難則反，常常會使問題得到簡化，經常性地注意這方面的訓練對人們用簡單問題去解決復雜問題可是很有啟發。

1.1.2有利于解題的廣闊性和深刻性。我們知道思維的逆向是建立在比較好的正向思維基礎上，它是一般、簡單思維的拓展和加深，有利于溝通知識內部之間的聯系，是形成良好知識系統的重要工具.比如：逆向思維可以將一個知識點否定，去考慮與之相反的知識點所涉及的問題，因而它就不只是涉及解原問題，還包括了解與原問題相關的系列問題，在此揭露了逆向思維有利于解題的廣闊性和深刻性。

具體地，解題的廣闊性是指能從眾多的知識領域和多方面的題型出發來解決問題，是思路開闊而全面的表現.逆向解完一道題后，再考慮解該題的基本特征與特殊因素，進行多角度的觀察、聯想、找到更多的思維通路，領會更多逆向思維的妙處，這是有助于培養解題的廣闊性。

而解題的深刻性則表現在能透過表面現象和外部聯系，揭露題目的本質，進而深入的考慮問題.逆向解完一道題后，反思題目特征，加深對題目的本質領悟，抓住逆向思維在解決問題中的可逆之處，從而獲得一系列的逆向解題思路成果，這也正培養了人們解題的深刻性。

1.1.3有利于解題的獨立性和創造性。逆向解題思維是相對于習慣思維而言的，也就是從事物的相反方向來考慮問題的思維方法，它常常與事物常理相悖，起到出奇不意的效果.因此，在獨創性解題思維中，逆向思維可是最活躍的部分。

解題的獨立性是指在解題過程中獨立思考、獨立檢查，有根據地作出肯定或否定質疑的品質.逆向解一道題時，要認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并，哪些過程又可以轉換，解題中的"逆"是否合情合理.顯而易見，逆向思維是培養解題獨立性的良好途徑。

而解題的創造性是指在解題過程中，能以獨特的心理操作方式來展開解題思維，是其解題成果新穎、與眾不同的品質.逆向解題時，思考此題要求的結論，能否從其它的角度重新審視題目，得出更加簡捷優美的解法，因而逆向思考有助于培養解題的創造性。

1.2體現知識"質"的飛躍。在解題意識上，如果懷著為了解題而解題的觀點就失去了素質教育的意義.創新教育呼喚數學知識應用于實踐、應用于生活，而利用逆向思維解題，利于人們把解決此類型題目的思維應用于生活，或許這就是人們在生活實踐中的一種必要思維了.因而不僅表現了數學題飛出了課本，連解題思想、解題方法也飛出了課本。

如這樣一個題：小遠買了1角錢的郵票和2角錢的郵票共100張，一共花了17元錢，問他買了1角和2角郵票各多少張？解決此問題時，先假設買來的100張全是2角的郵票，那么總錢數應為2×100=200（角）=20（元）.可實際上小遠只花了17元錢，比假設少了3元錢，這是因為其中有1角錢的郵票.若有一張1角的郵票，總錢數就少了1角.由此可求出1角郵票張數為3（元）=30（角），30÷1=30（張）.則2角郵票張數為：100-30=70（張）。

因而用逆向思維來解決生活中的問題是簡單而且必要的.實際上，逆向思維就是一種求異思維，正確運用逆向思維不僅是解題本身的需要，也間接表露出生活實踐的需要.

2.如何培養在解題中的逆向思維能力

對逆向思維的培養首先要體會逆向思維解題的重要性，當然并非正向思維就是一種陳舊的思維形式，逆向思維是建立在正向思維的基礎之上的，它離不開正向常規思維，我們要重視正向思維的訓練，與此同時加強逆向思維的訓練，克服思維定勢，要認識到這是實在的與數學解題有著密切聯系的思維形式。

其次，培養逆向思維要重視互逆概念的比較，互逆公式的使用，加強分析法、反證法等重要方法的訓練，并且還有如運算與逆運算、函數與反函數、分析與綜合、順證與反證等都為逆向思維的培養提供了豐富的材料，以利于揭示逆向思維的解題規律。

2.1在概念中滲透逆向思維。在學習數學概念的過程中，要注重相關概念對應的逆向問題，以培養雙向考慮問題的習慣.在數學教材中，很多概念都可以提出逆向問題，譬如乘法公式、分母有理化等，注意對這些重要概念逆向提問，學生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透切，更能培養學生養成逆向考慮問題的好習慣。

有時還可以針對某些概念舉出逆向運用的簡單例子，讓學生們獨立的、自覺的去探索這些簡單問題的解法，讓他們在概念逆運用的過程中有逆向解題這么一個意識.這樣在遇到一些難度較大、而正面解決又比較困難的數學問題時，就會自然的改變思考角度，從反面入手試試，這樣或許會出現柳暗花明的境地。

2.2在公式、定理、法則中滲透逆向思維。公式、定理、法則的運用有正向的，也有逆向的，人們往往對正向運用比較熟悉，錯誤較少，而對其逆運用常不習慣，錯誤較多，并容易形成消極的思維定勢.為了解決這個問題，要求在剛開始學習公式、定理、法則時就引起高度重視，并還要從最簡單的公式、定理、法則的逆運用開始。

在學習公式過程中應注意公式的順用與逆用，以及公式的"聚合"與"展開".學了某一公式的順用之后，緊接著舉一些該公式逆用的例子，可以給學生一個完整的印象.如學會用公式a2=|a|解題后，應練習用|a|=a2解題的相應例子，這對培養解題逆向思維很有益處.關于公式的"聚合"與"展開"，我們知道有的公式從左到右是"展開"，如（a±b）2=a2±2ab+b2，而有的從左到右是"聚合"，如a2±2ab+b2=（a±b）2.我們不僅要求會對"展開"的公式"聚合"，還要求會對"聚合"的公式進行"展開"，并且這兩個過程在解決較復雜的數學問題時更需要表現出應用自如.這樣可是培養逆向思維能力的有效途徑.

當然不是所有定理的逆命題都是正確的，但對于那些可逆定理書中只給了一部分，而另一部分教材中沒有直接給出，卻在解題中應用到了，如根的判別式的逆定理、韋達定理的逆定理等.因此，引導學生探求定理的逆命題的正確性，不僅能使學生學到的知識更加完備，而且激發了學生逆向思維的培養。

最后在運算法則中也涉及逆向思維，如加法和減法、乘法和除法、乘方和開方等都是一對對互為逆運算，它們彼此相互依存，共同反映某種變化中的數量關系.同時通過這些簡單運算法則的逆向運算，加快了逆向思維在解題中的運算速度，增強了在解題中的逆向意識。

2.3在簡單的練習鞏固中滲透逆向思維。如果一開始在那些較抽象、有一定難度的數學題中應用逆向思維不僅本身有一定難度，對培養逆向思維能力也沒有多大的積極作用.這就要求我們從簡單的、基本的練習入手應用逆向思維.逆向解題思維的訓練是一個持久的過程，需要精心安排練習，題目應由簡單到復雜、由單一到多向進行轉化.在完成這些練習之后有明顯的逆向解題思路，感覺到逆向解題所獨有的妙處，在激發學生興趣的過程中，而有效地訓練他們的逆向思維。

3.結論

培養學生的雙向思維是創新教育的重要目的，而逆向解題思維則是雙向思維的重要組成部分.因此，理解逆向解題思維的重要性勢在必行，認識到它是打破消極思維定勢的重要工具，能夠靈活地將書面知識、數學題庫運用于生活實踐.在其具體運用多向性上，要求我們找到逆向解題各分類的思維入向口，有很清晰的思維過程.這就涉及到由基本知識入手，由簡單練習入手，它不是訓練一兩題就達到較好效果，需要眾多的練習鞏固以及長期堅持才能把握逆向解題的思維精華，日益形成一套完整的逆向解題思維系統。