優化概念教學 促進有效學習

李珍

摘 要：概念的教學貫穿于數學教學過程的始終，充分經歷概念形成過程，突出概念本質，豐富概念外延是當前新課程下概念教學的根本要求，這樣的概念教學才是扎實有效的。本文結合案例，反思當前概念教學的現狀，結合自己的教學經驗，從“創設情境，感知概念”、“自主探索，生成概念”、“步步為營，理解概念”、“螺旋上升，內化概念”、“返璞歸真，升華概念”五個方面具體闡述了一個普通教師在高中數學概念教學中如何實施有效性的策略研究，并期以拋磚引玉，喚起更多的教師能聚焦概念教學，探索概念教學的基本規律。

關鍵詞：數學概念;有效性;策略研究

一、問題的提出

1.高中數學概念教學的重要地位

數學概念是反映數量關系與空間形式本質屬性的思維形式，是數學思維的細胞。各種數學方法，解決各種數學問題，都必須運用數學概念。《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。匡繼昌認為：“學生如果不能正確的理解數學中的各種概念，就不能掌握各種法則、定理、公式，從而也就不能正確地進行計算和論證。”因此，數學的教學首先是概念的教學。在高中階段數學的概念可以簡單的分為兩類：一類是以前不曾接觸過的，完全陌生的概念，如：集合，數列，向量，導數的概念等等;另一類是已經有所接觸或是似曾相識，是由原有的概念發展而來的，如：數的概念，角的概念，函數的概念，指數的概念，曲線的切線概念等等。第二類情況我們稱之為概念的發展。在中學數學中，許多重要概念將逐步發展與深化。例如“函數”概念，初中學生只能作“在一個變化過程中，有兩個變量x和y，并且對于x每一個確定的值，在y中都有唯一確定的值與其對應，則說y是x的函數”之類的直觀理解，而高中學生就可以用集合的語言，從映射的觀點出發來理解，大學生則可以用“關系語言”來理解它。所以在高中數學概念教學中要揭示概念的內涵與外延，使學生深刻理解概念，牢固掌握概念，靈活運用概念，即達到理解、鞏固、系統、會用的目的，因此，高中數學概念教學具有十分重要的基礎性地位。

2.概念教學有效性研究的意義

數學概念教學是“雙基”教學的核心，是數學教學的重要組成部分。有些教師往往用例題教學替代概念的概括過程，認為“應用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導致概念理解的先天不足，沒有理解的應用是盲目的應用。數學素養差的關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面的差異，因此抓好概念教學是提高數學教學質量的帶有根本性意義的一環。那么在新課標下如何幫助學生更有效地理解數學概念，如何才能靈活地應用數學概念解決數學問題？我想關鍵的環節還是在于教師如何提升數學概念教學的有效性，通過有效的概念教學，使學生順利地獲取有關概念。教學時提供豐富的感性材料讓學生觀察，在觀察的基礎上通過教師的啟發引導，對感性材料進行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質屬性，通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運用，從而使學生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。為此“高中數學概念教學有效性的研究”具有現實意義。

二、概念教學現狀分析

當前，不重視概念教學是一個比較普遍的現象，“一個定義，三個注意項”式的概念教學比比皆是，讓學生覺得學習數學概念枯燥乏味，影響了對數學概念的理解。我們有必要靜下心來對當前數學概念教學作一番審視，先看我校高一備課組舉行的“同課異構”教研活動中2位教師執教的關于“函數的奇偶性”一課的案例片斷。

【案例1】

師：前面我們研究了函數的單調性，同學們已經知道函數的單調性是函數的一個重要性質，它在解決函數的問題中有著十分廣泛的應用。今天這節課，我們要學習函數的另一個重要性質——奇偶性。（板書課題：函數的奇偶性）

師：什么是函數的奇偶性呢？請大家打開課本第33和35頁，看教材中是怎么闡述的。（大約2分鐘后）

師：哪位同學說說看。

生1：設函數的定義域為A，如果對于任意的，都有，那么稱函數是偶函數，如果對于任意的，都有，那么稱函數是奇函數。（學生口述，教師板書）

師：很好！如果函數是奇函數或偶函數，它的定義域A應該具有怎樣的特點？

生2：關于原點對稱。

師：說說你的理由。

生2：因為如果，則只有，才能計算。

師：真不錯！如果函數是奇函數或偶函數，它的圖象又具有怎樣的特點呢？

生3：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。

師：非常好！看來同學們已經作了很好的預習。如果函數是奇函數或偶函數，我們就說函數具有奇偶性。函數的奇偶性是函數的又一重要性質，它在解決函數問題時有著十分廣泛的應用。請大家看下面的問題。（投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4）

（師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程，深化對函數奇偶性的認識和理解。）

【案例2】

師：請同學們回顧上節課學習的函數單調性的定義、單調區間及判斷函數單調性的方法。

（學生回答略）

師：很好！下面我們研究函數的第二個性質——奇偶性。

師：請同學們先看一個我們熟悉的函數，計算與，與，與，能得出怎樣的結論？

生：對于，當自變量取一對相反數時，y取同一值.記，有，，…，一般地，有。

師：非常好，下面請大家再來研究函數，又有怎樣的結論呢？

生：當自變量x取一對相反數時，y亦取相反數.例如，，…，一般地，有。

由此啟發學生得出奇（偶）函數的定義.強調：①定義本身蘊含著函數的定義域必須是關于原點的對稱區間;②“定義域內任一個”是指對定義域內的每一個x; ③判斷函數奇偶性最基本的方法是先看定義域，再用定義檢查（或）。

（以下是例題鞏固、數學應用的環節）

從上面幾個案例不難看出當前概念教學的現狀：

現狀一：一個定義三項注意

案例1中令人感到遺憾的是，這節課的教學，從上課開始到給出定義，總共花了不到10分鐘的時間，接著進行的就是運用函數奇偶性的概念進行解題的訓練。對函數奇偶性這一概念建立的過程沒能很好地展開，為什么要研究函數的奇偶性？函數的奇偶性的定義為什么要這樣給出？…當前的數學課堂中，教師不舍得在概念、定義的發生發展過程上花時間，認為這樣“太虛”，不如讓學生多做幾個題目實在。因而概念教學常常用“一個定義三項注意”的方式，告訴學生定義的內容，強調幾個注意事項（例如強調“要注意，必須是‘任意的”），然后就講例題、做練習。實踐表明，這樣的教學對學生把握和應用概念都產生了不利影響，學生沒有基本把握概念內涵的時候就要求學生用概念解決問題，結果只能是機械模仿，不可能有理想的解題質量和效率。

現狀二：無視學生認知需求

案例2中學生通過對兩個特殊函數的研究，抽象出函數奇偶性的概念，符合特殊到一般的認知規律。但是，為什么要研究函數的奇偶性？為什么要計算，，…？為什么要用這樣的方式給出函數奇偶性的定義？顯然，教師在進行教學設計和教學實施時，只是站在教師教的角度，按照教師的主觀意志組織活動，將教師的意圖強加給學生，而無視學生的認知需求，其結果是忽視了構成概念的基礎條件，留給學生更多的只是些文字的公式，所傳授的概念距離學生的理解和經驗太遠，影響數學概念的掌握。

現狀三：重視內涵忽視外延

概念只要將內涵按一定規律擴大或縮小便可形成一類概念，再根據這些概念的外延及相互關系，便可確定一個概念系統。但是概念教學中往往只重視概念的內涵而忽視概念的外延，結果導致外延被擴大或縮小。比如，學生把非本質屬性包括到概念的內涵中，如此就會不合理地縮小了概念，消除這種錯誤的有效方法是多提供包括非本質特征的變式。當概念的內涵中包含的不是事物的本質而是其他特征時，如此就有可能不合理地擴大概念，消除這種錯誤的有效方法是提供具有本質特征的變式。

對上述概念教學現狀的分析，事實上也是對現有高中數學概念教學模式的一種深刻反思，有效的數學概念教學，決不是以讓學生學會概念為終極目標，而是讓學生在參與數學活動的過程中生成和建構數學概念，更要讓學生在知識和能力上獲得全面的發展，從而促進數學素養的有效提升。如何創造一種更加適合高中學生的概念教學方式，如何提高概念教學的有效性，值得我們努力探究。

三、概念教學有效性的理性認識

1.課題研究的理論依據

一般來說，數學概念要經歷感知、理解、鞏固和應用四種心理過程。數學概念教學主要依據有如下理論。

（1）奧蘇貝爾（當代美國的著名教育心里學家）概念學習理論： 在奧蘇貝爾的理論中，所謂概念亦即同類事物的共同關鍵特征，它是類與類，類與事物相區別的關鍵。而概念學習則是指學習者通過學習概念既掌握同類事物的關鍵特征，同時也區分概念的有關特征與無關特征，概念的肯定例證與否定例證。在奧蘇貝爾的概念學習理論中，他將概念的習得分作了概念的形成與概念的同化兩種形式，這兩種形式也較深刻的揭示出了學生知識形成的過程。

（2）皮亞杰的建構理論：皮亞杰的認識理論形成的四階段：感知運動階段、前運演階段、具體運演階段、形式運演階段。這四個階段在概念的形成過程中表現為：隱概念、前概念、初概念和邏輯數學概念。皮亞杰認為，發生認識的發展涉及到圖式、同化、順應和平衡四個方面。在涉及概念形成的條件時，皮亞杰認為，概念的形成正是基本知覺材料與超越知覺范圍的邏輯數學結構的結合、因此知識是一種結構，然而離開了主體的建構活動，就不能有知識的產生。皮亞杰認為，概念的掌握過程無非是經歷了一個同化與順應的過程;所謂同化，就是把新概念、新知識接納入到一個已知的認知結構中去;所謂順應，就是當原有的認知結構不能納入新概念時，必須改變已有的認知結構，以適應新概念。

2.課題概念的界定

（1）數學概念。概念是反映對象的特有屬性的思維形式。人們通過實踐，從對象的許多屬性中，抽出其特有屬性概括而成。概念的形成，標志人的認識已從感性認識上升到理性認識。科學認識的成果，都是通過形成各種概念來總結和概括的。數學概念，是對客觀事物或思想事物的數量關系、空間形式或結構形式的特征概括及其本質屬性在人們頭腦中的反映。一個數學概念通常用一個詞（名稱）或符號表示。

（2）數學概念教學。有關數學概念教學的定義很多。結合小學生的年齡特征，筆者認為是在一個具體的情境下，學生通過感知概念的表象等方式，進而理解概念的本質，初步建立新的知識結構的過程。重點指向的是學生學習概念內核，最后達成運用概念，鞏固、拓展的環節。

（3）有效教學。從教學投入與教學產出的關系來看，有效教學是有效率的教學;是指在一定的教學投入內（時間、精力、努力）帶來最好教學效果的教學;是指教師遵循教學活動的客觀規律，以盡可能少的投入，取得盡可能多的教學效果，從而實現特定的教學目標，滿足社會和個人的教育價值需求。

從學生的學習出發點來看，有效教學就是促進學生有效學習，使學生學好;是指成功實現了教學目的――學生愿意學習和在教學后能夠從事教學前所不能從事的學習的教學。

從“教學”的內涵來看，有效教學是教師教的活動即教學過程的有效性。從“有效”來看，它表現為教學有效果、有效率和有效益。有效果指學生的學習進步與發展;有效率指單位教學投入內所獲得的產出高;有效益指教學目標與特定的社會與個人的教育需求相吻合。

3.數學概念教學的一般原則

（1）現實性原則——重視概念的引入。在教學中，既應注意從學生的生活經驗出發，也應該注意從解決數學內部的運算問題出發來引入概念，引導他們抽象出相應的數學概念，才能使學生較好地掌握概念的實質。

（2）科學性原則——揭示概念內涵和外延。為準確、深刻地理解概念，教師在提供感性認識的基礎上，必須作出辯證分析，用不同方法揭示不同概念的本質，這樣，把握了概念的外延和內涵，也就能進一步掌握了概念的本質。

（3）比較性原則——注意概念之間的對比。有些概念是成對出現的（如正數與負數等）;有些概念是由概念的逆反關系派生出來的（如指數與對數等）等等。注意對相近、對立、衍生概念之間的比較，特別是通過反例來糾正學生在理解概念中的錯誤，有利于學生準確理解概念。

（4）應用性原則——加強概念的運用。高中數學的運算、推理、證明等都是以有關概念為依據的，在教學中，有時圍繞著一個概念要配備多種練習題，讓學生從多角度，多層次上去進行應用，在應用中達到切實掌握數學概念的目的。

四、概念教學有效性的策略研究

在概念的教學中如何引導學生自主建構，提高概念外化與內質抽象的思維質辨力度呢？為此，我們嘗試在概念形成的不同階段，選擇運用不同的教學策略，付之實踐檢驗。

策略1：創設情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，學生對數學概念的感性認識是通過教師的直觀教學方法獲得的。概念的引入是概念教學的關鍵，概念是抽象的、概括的，由具體到抽象是人類認識的規律，每一個概念的產生都有豐富的知識背景，形成準確概念的首要條件是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料，在概念教學中，可以根據概念和學生的認知特點，創設數學概念形成的問題情景，體會到數學概念引進的必要性和必然性，讓學生有自己發現的感覺，幫助學生完成從感性認識到理性認識的過渡。

【案例1】“直線與平面垂直”的概念教學片斷

問題情境：首先請學生們觀察生活中的具體實例形成感性認識。給出以下實例：

（1）將書打開直立于桌面，觀察書脊和各頁面與桌面的交線，顯然都是垂直的;

（2）在開門的過程中，觀察門軸和門與地面的交線始終垂直的;

（3）日光下，觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，盡管隨著時間的變化，影子的位置會移動，但旗桿始終與影子垂直。

點評：從以上三個生活實例感悟直線與平面垂直的形象，從而形成直線與平面垂直的感性認識。然后通過動手實驗、自主探索上升為理性認識。

【案例2】“n次獨立重復實驗”的概念教學片斷

問題情境設計：

用動畫創設情境，丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹，假設每棵樹的成活率都為0.75，請思考以下兩個問題：（1）他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響？8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響？（2）所種的每一棵樹，可能出現哪些不同的結果？

進一步創設情境，對比分析，感知概念。

在下列試驗中，與丙丙和丁丁種樹試驗具有共同特征的有（ ? ）

①某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續射擊4次。

②姚明罰球的命中率是0.9，他連罰3次。

③一枚硬幣連續扔5次。（5枚硬幣一起扔出）

④袋中5個白球，3個紅球，有放回取球，每次取一個，連續3次。

⑤袋中5個白球，3個紅球，無放回取球，每次取一個，連續3次。

點評：通過以上情境設置，學生思考，教師引導感知，形成概念。師生共同歸納得出現象的共同點：在同樣條件下重復的進行的一種試驗;各次試驗之間相互獨立，相互之間沒有影響;每一次試驗只有兩種結果，即某事發生或不發生，并且任意一次試驗中發生的概率都是一樣的，揭示概念。

【感悟】教學時不要生硬地拋出概念，讓學生死記硬背，應從實際出發，創設情景，提出問題，通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識。比如;我們在講圓柱、圓錐、球的概念時，由于圓柱、圓錐、球屬于三維圖形，用平面直觀圖難免會造成視覺上的失真，我們可以借助教具、利用幾何畫板動畫展示幫助學生理解;在講數學歸納法的概念時，為了幫助學生更好的理解“遞推”的含義，可以引進“多米諾”骨牌游戲。讓學生在活動中思考、感悟和體驗數學知識的萌芽以及發生、發展的全過程，以領悟數學思想方法的真諦，豐富學生的認知結構，應力求順乎自然、水到渠成。

策略2：自主探索，生成概念

概念的生成過程教學就是讓學生參與和經歷概念生成的整個思維過程。因此，在教學中，恰當的進行教學設計，充分展示數學知識的形成過程，讓學生弄清概念的來龍去脈，認識它的必要性和合理性，讓學生在體驗中自主探究，生成概念，概念在其生成的過程中逐漸明朗化，可以更好的幫助學生深化對概念的理解，培養學生運用概念的意識和能力。

【案例3】“拋物線及其標準方程”概念教學片段

第一步：在學生已有認知基礎上設計問題，使學生體驗新概念的一個具體背景。

師：前面我們已經學習了橢圓和雙曲線的有關知識，請同學們試解決下面問題：

問題1：若點坐標滿足，則P點的軌跡是 。

（學生思考并動筆，教師巡視，個別指導。）

生1：我利用平方化簡，但還沒有做出來。

師：該同學平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據橢圓定義可知，P點軌跡是橢圓。

（學生紛紛表示生2的解法是正確的）

問題2：若點坐標滿足，則P點的軌跡是 。

（學生認為是雙曲線）

師：是雙曲線嗎？

生3：應該是雙曲線的上半支。（由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發作用，所以第2題幾乎所有學生都不再化簡了，自然地聯想到利用定義的解法中來，于是教師順勢拋出第3題。）

問題3：若點坐標滿足，則P點的軌跡是 。

生4：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線。

師：到底軌跡是什么，生1解問題1的方法會給我們很好的啟示。

（學生再次化簡，片刻后，一直得到的軌跡是拋物線，因為它的方程是，初中已經學過。）第二步：剖析問題3條件的幾何意義，并推出是否具有一般性的結論。

師：若把條件中的“2”改成其他數字（非零），結果如何？

生5：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數字不同而已。

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

生6：原方程即，左邊表示點到點（0，2）的距離，右邊表示點到直線的距離，等式表示兩個距離相等。

第三步：類比推廣，從具體實例中抽象出拋物線的概念。

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數據外殼，得出拋物線的定義。請哪位同學根據上面的等式，說出拋物線的定義。

生7：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。

師：不太準確，應該是在“平面內”，接下來我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡

……

點評：本案例從學生已有知識出發，由易到難設計了3個問題，讓學生在問題解決的過程中自主探究，對比發現，逆向生成拋物線的定義，再結合多媒體動畫演示，同學們經歷了一次“發現”，“創造”的過程，給學生留下較深刻的印象，對此概念的理解也將更準確更深刻。

【案例4】“函數零點存在條件”的教學片段

在對于函數零點概念的理解后，如何判斷函數零點的存在條件是本節課的重點，以下是我的課堂實錄：

師：問題2：函數在區間上有，那么函數在區間上是否一定存在零點，請舉例說明。我特別強調“請舉例說明”。

眾生：議論紛紛，很快就有人說“不一定”。

師：請舉個例子。

生1：，在區間上有，但是在上沒有實數根。

師：大家都覺得這個例子很精彩。確實，舉反例常常不是件容易的事。（即時評價）

師：問題3：函數在區間上有，且有零點，那么一定只有一個嗎？請舉例說明。

有學生在黑板上畫出了圖1，還有學生畫出圖2。

師：（故意地）數了數“3個，5個，…”

圖1圖2圖3圖4

生2：不一定是奇數個。（有學生聽出我的話外音）

師：老師是說一定有奇數個嗎？”

生2：到黑板上畫出圖3。

生4：老師我還有另外的圖形（圖4）。

師：我真沒有想到你會想出這個點子來，還有嗎？

眾生：學生們認真思考，積極參與，又畫出間斷不連續的圖象來。

師：問題4：函數在區間上有，還需要滿足什么條件？就一定有且只一個實數根。”

師生熱烈討論，最后得到要滿足3個條件：（1）函數（的圖象）在區間上“連續不斷”;（2）;（3）函數在區間上單調。

這就已經獲得了函數零點存在條件：函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間上有零點。即存在，使得，這個c就是方程的根。

點評：本節課的重點就是讓學生通過函數圖象，直觀感受零點存在的條件。如何讓學生尋找這個條件呢？當然不要直接把結論拋給學生，這就需要設計一個過程，設計“問題鏈”，“問題”會引起學生的思考，讓學生對這些問題進行討論，參與到尋找條件的過程中來。

【感悟】在教學中需要教師通過問題努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，問題可以把學生帶入“憤”與“悱”的境地，幫助學生自主探究，理解數學概念的生成過程，數學法則的發展過程。事實上，在自主探究的過程中，蘊含著數學最基本的思想和方法，如歸納、類比、抽象等。

策略3：步步為營，理解概念

學生對數學概念的理性認識是否初步形成，首先反映在對該概念的定義是否理解。 學生認識事物的過程，總是從具體到抽象，從個別到一般，這也是人類認識事物的規律，因此，我們要遵照這一規律，通過問題串的設計，引導學生辨析，解剖概念，從而理解概念的內涵和外延。

【案例5】函數概念的理解

函數在高中數學中占有非常重要的地位，因此深刻理解函數概念顯得尤為重要，在通過實例分析，討論，歸納出函數定義后，我又設計了以下兩個問題，學生思考。

問題1： （1）（xR）是函數嗎？

（2）是函數嗎？

（3）是函數嗎？

問題2：在三個實例中，按照一定的對應關系，能看作從B到A 的函數嗎？你能舉出函數的實例嗎？

點評：通過幾個實例，引導學生利用定義判斷給定的兩個變量間是否具有函數關系？總結函數概念中的關鍵詞，使學生更深刻理解函數的概念。

【案例6】函數周期的理解

函數的周期性和最小正周期是學生難以理解的概念，在學生了解其概念后，為了幫助學生準確把握函數的函數周期性和最小正周期的外延，我設計了以下問題鏈，讓學生討論：

（1）函數（a為常數）是周期函數嗎？（）呢？（）呢？

（2）函數是周期函數嗎？最小正周期是多少？

函數呢？

（3）函數，對都有，則的最小值是多少？

（4）作出函數與的圖像。

點評：通過上述問題的研究，可以幫助學生弄清以下問題：（1）周期函數定義域的結構特征;（2）最小正周期的存在狀況;（3）周期函數函數值的分布規律;（4）周期函數的圖像特征.在此基礎上，學生才能真正弄清周期函數、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何讓學生深入理解概念，在教學中，可以結合具體的事例詮釋概念的內涵與外延。這里既可以設計“形似而神非”的個案來校正;也可以巧設“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，循序漸進，步步緊逼，使學生的認識結構從“了解”上升到“理清并掌握”的層面，讓學生經歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使學生體驗一個‘自我否定的過程，從而喚醒學生的悟性和靈感，以達到對數學概念真正的理解。

策略4：螺旋上升，內化概念

教師在平時教學中，要在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上，讓學生理解并鞏固概念。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。要通過概念間互相滲透，弄清概念間的內在聯系和區別，通過概念間的靈活變通，培養學生靈活解決問題的能力。

【案例7】“曲線與方程”教學片斷

在得出“曲線與方程”的關系后，如何進一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質，進一步體驗“數”與“形”的轉化與結合的思想方法。為此，教學中使用下面的例子，設計問題啟發學生思考，從正、反兩方面認識一般

例1 下列哪條曲線是方程的曲線？請說明理由。

A.單位圓B.上半單位圓C.右上1/4單位圓D.右半單位圓

例2 下列哪個方程是下圖中曲線C（兩條相交直線：第一、三象限的直角平分線，第二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。

A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B.

C. ? ? D.

【感悟】一個概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要經過具體到抽象，局部到整體，感性到理性的過程。教學中設計一些反例，讓學生通過正、反例的對比辨析、鑒別真偽，從不同角度來認識定義文字所隱含的內容，從而達到“有比較才能鑒別，有鑒別才能深化認識”的學習效果。類似例1、例2這樣帶有反例的問題，其內容與學生的知識基礎很接近，但又容易形成認識上的誤區，具有一些思維上的挑戰性，可能會給學生留下較深刻的印象。它們具有單純正例所起不到的獨特作用，教學中對此應予以關注，這對核心概念和重要思想方法的教學尤為重要。

策略5：返璞歸真，升華概念

任何一門藝術的最高境界就是“返樸歸真”，張奠宙先生曾經說過：“數學教學的有效性關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗”。這種“對數學本質的把握、揭示和體驗”只有在應用中才能得到驗證，在應用的同時使得概念學習得到“升華”，從而讓學生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。在對所學概念進行系統化的過程中，要重視從概念間的關系（如從屬、合成、對應、對偶等）為基礎構建相關概念系統。

【案例8】 “古典概型”習題課教學片斷

問題：某信鴿訓練場向甲、乙兩林區放飛4只鴿子，則甲林區剛好有一只鴿子的概率是多少？

生1：甲乙兩林區的鴿子數如右圖，甲林區剛好有一只鴿子是五種情形中的一種，故所求概率為1/5。

甲林區鴿子數 乙林區鴿子數

0 4

1 3

2 2

3 1

4 0

（顯然，該生錯在對“等可能事件”的理解上，而且存在這種錯誤理解的可能不止少部分學生，鑒于此，我并沒有立即評價，而是讓學生繼續考慮還有什么思路？略停一分鐘）

生2：每只鴿子有兩種放飛途徑，共有2 =16種放飛方式，而甲林區有一只鴿子的方式只有4種。

故，所求概率為1/4！。（這時候學生發現兩個結論不一致！）

針對以上兩個結論，組織學生展開討論：

師：上述兩種思路，你能確定哪一種是錯誤的？

生齊答：第一種！

師：為什么錯？

生：（無語）

師：那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發生的概率：

師生共同討論產生下表：

情形 甲林區鴿子數 乙林區鴿子數 發生的概率

1 0 4 1/16

2 1 3 4/16

3 2 2 6/16

4 3 1 4/16

5 4 0 1/16

合計 1

這時學生恍然大悟：情形1～5不是等可能事件，當然概率不是1/5！

【感悟】以上過程讓學生更深層地領會到等可能事件發生的意義，在應用中學生對“等可能事件”的認識升華。數學概念的教學如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠，還必須上升到抽象層面去理解應用，在應用中將抽象的定義轉換為具體的形態，讓學生領會數學概念才是數學解題的“靈魂”，引導學生感受和領悟隱含于概念形成中的思想方法，在概念的運用和推廣中滲透數學思想方法，這才是概念生成的核心。

五、支撐與保障

數學概念教學過程中，教師該如何發揮作用，去積極引導學生感受概念引入的必要性與合理性，探索和研究概念發生和發展的過程，在概念的應用中深化對概念的認識和理解、體會概念的價值。

1.“高屋建瓴”地深入理解概念

長期以來，我們只重視如何使學生理解數學概念，而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念，許多教師還缺乏對基本概念的真正實質上的深入理解。沒有教師自身概念知識廣度和深度的研究，生成的過程教學就無從談起。

2.“了如指掌”地熟悉學生學情

學生的已有知識，始于新知發生前，作為新知的起點，它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態度，在理解的每時每刻，都參與其中，在教學設計時要重點考慮處理新舊概念間的矛盾。教學中，教師只有全面了解學生以往的學習經驗的基礎上，才能開展有針對性這樣的預設，概念生成過程才是真實的、深入的。

3.“真真正正”地展開師生互動

教師與學生的互動，是概念課堂教學得以動態生成的形式要件。概念生成的課堂里，學生并不是知識的被動吸收者，而是積極主動的構建者，每個學生都以自己頭腦已有的知識和經驗為基礎，用個人特有的思維方式構建對事物的理解、檢驗，不同的人看到不同的方面，各個層次的學生都有收獲。

4.“扎扎實實”地展開探究活動

概念教學中，學生主動探究是是概念建立的一個重要環節，教師不僅要學生自主探究，更重要的是要讓學生掌握自主探究地方法，“授之以漁，不如授之以魚”，科學方法的掌握，科學思維的形成才能使學生終生受益，才能體現數學作為基礎學科的應有作用。

六、成效與展望

1.顯著成效

在本課題運作的過程中，我們不斷地進行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數學教學質量的實處。課題組經過一年的研究，發現學生在概念學習中提升了學習興趣，提高了學習效率;教師樹立了新的概念教學理念，在教學中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學策略，以幫助學生有效地建構概念。

（1）提高了課堂教學質量。概念教學中，強調重視過程教學，創造性的使用教材，巧妙的設置情境，讓學生通過各種活動，通過探究與合作，得出結論，認識概念。因為上課形式改變，大大激活了學生學習的興奮點，使學生的學習積極性得到釋放，提高了概念學習的效果。

（2）培養了學生數學素養。學生在學習科學的過程中體會數學的價值，初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析和解決數學問題，把知識與生活實踐緊密地結合，進行探索性、研究性的學習活動，真正提高了他們的數學素養。教學中，教師對教材及課堂環節進行了個性化處理，訓練學生抓住事物本質思考問題，培養了學生健康的心理素質，同時也促進了學生對教學本質的深刻理解。

（3）促進了教師業務水平。概念教學是否有效，教師就必須精心設計自己的課堂教學，認真進行教學行為的課前準備，課堂教學過程中如何創建師生互動的教學環境，鼓勵學生積極參與概念教學活動等，課后及時進行教學反思，不斷總結自己的教學得失。這就有力地促進了教師課堂教學方法技能的提高，促進了教師課堂教學的不斷優化，教學效果也隨之不斷提高。

2.展望

數學概念教學，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數學思想，這才是數學教學的真諦，這才是數學育人功能的最好注釋。

關于數學概念的教學，一直是教師們教學研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質屬性的數學概念，其教學的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學不一定適用。因此，在教學實踐中，應不斷加強教學研究，加強學術交流，不斷提高數學概念教學的有效性，從而提高數學素質教育的質量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

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[4]鄭步春. 談數學概念的特點、教學原則與方法.

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