關于等價無窮小的代換法求極限探討

楊美香

摘 要：利用等價無窮小的代換求極限是一種非常重要的方法，如果運用得當，能起到化繁為簡，化難為易的作用。但在很多高等數學的教材中只給出了等價無窮小在商極限運算中的應用。雖然教學中強調對于積和商可以用等價去窮小的代換計算極限，但對于和差運算該方法失效。由于對于積運算沒有相應的性質定理，因此對學生而言到底什么時候可以用什么時候不能用還是比較含糊的。基于此，對等價無窮小的代換法在和差積商中應用進行探討，明確給出了等價無窮小代換求極限的方法的適用范圍，并給出了證明。

關鍵詞：等價無窮小 代換法 求極限 探討

中圖分類號：O211.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（c）-0175-02

利用等價無窮小的代換求極限是一種非常重要的方法，如果運用得當，能起到化繁為簡，化難為易的作用。但在很多高等數學的教材中只給出了等價無窮小在商極限運算中的運用。雖然教學中強調對于積和商可以用等價去窮小的代換計算極限，對于和差運算該方法失效。由于對于積運算沒有相應的性質定理，因此對學生而言到底什么時候可以用什么時候不能用還是比較含糊的。基于此，對等價無窮小的代換法在和差積商中的運算進行探討，明確等價無窮小代換求極限的方法的適用范圍是很有必要的。

1 無窮小的和、差、積、商運算中等價無窮小的代換法

（i）無窮小的商之等價無窮小代換法

定理1 設是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，且存在，則極限存在且。

定理表明在求兩個無窮小之比的極限時，可以用對應的等價無窮小對分子或分母進行整體代換。如果用來代替的無窮小選得適當的話，可以使計算簡化。

例1

（ii）無窮小為乘積因子的等價無窮小代換法

定理2 設是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，則。

證明：因為。

定理3 設是自變量在同一變化過程中的無窮小量，為自變量在這一變化過程中的另一函數，且存在，則極限存在且。

證明：因為

定理說明對于無窮小與函數的乘積的極限可以用相應的無窮小的等價代換求極限。

例2

定理4 設是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數，且存在，則極限也存在且

證明：

以上定理表明對于無窮小為乘積因子的極限也可以用等價無窮小代換求極限。

例3

（iii）無窮小之和與差等價代換法

一般的高等數學教材中特別強調：對分子、分母中的和差運算的各部分無窮小不能分別代換。

例如的計算方法是錯誤的，正確的解法見上述例3。

事實上，對于分子、分母中的和差運算的各部分無窮小，滿足一定的條件下也可以用相應的等價無窮小來替換的。

定理5 設，是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數，且（為有限數），則有（1） 若，則；（2） 若，則

證明：（1） 由于

從而

，所以

（2） 由于

從而

，所以

定理6 設，是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數，且，

則有（1） 若且，那么

（2） 若且，那么

例5

2 結語

通過以上分析探討，在用等價無窮小代換法求極限時，如果是無窮小的商的極限，可直接對分子或分母整體進行等價代換；如果無窮小是分子或分母的乘積因式，也可以對分子、分母中的無窮小乘積因式用等價代換；如果是無窮小的和差運算，在滿足定理條件的情況下，也可以用等價無窮小的代換計算極限，如果不滿足定理的條件，可以通過適當的化簡，化成乘積因式，然后再用等價無窮小的代換或其它方法求出極限。從而對等價無窮小的代換法求極限問題得到很好的解決，明確了使用該方法求極限的范圍。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析上冊[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 范曉蘭.應用等價無窮小量的代換方法求極限[J].菏澤師范專科學校學報，2001，25（4）：17-18.endprint