“一葉知秋”的啟示

陳卓英

[摘 要]分數的內容一直是學生學習的難點，也是教師教學的一大困惑。通過對原人教版數學課本第十冊第四單元中的一道量率區分的易錯題，從問題解決等方面對學生的錯因進行分析，尋找重組教材、指導學法、拓展練習的教學改進策略。

[關鍵詞]量率區分 剖因溯源 教學改進

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-021

“一葉知秋”是指從一片樹葉的凋落知道秋天的到來，比喻通過個別的細微的跡象，可以看到整個形勢的發展趨向與結果。同樣，在教學上，只要看看學生的作業情況，就可以大致了解到教師的教學是成功的，還是失敗的。下面這個案例，也許能給我們一些啟示。

一、案例背景

原人教版數學課本第十冊第四單元中有這樣一道習題：“把一根4米長的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長（ ）米。”該題反饋時，發現全班有50%的學生將兩個括號里的答案互相交換了位置，約有40%的學生在兩個括號里均填寫為4 / 5，10%的學生在第二個括號里填寫5 / 4、1 / 4、1 / 5等分數。

筆者在與學生訪談中，發現他們經常會混淆代表具體量和代表分率的兩個分數，還有對用除法解決平均分問題時總愛用“大數÷小數”，而不管誰是總數，誰是份數。后來通過老師的講評，學生訂正了錯誤，可再過幾天，出現類似題目，學生又會頻頻出錯。于是，筆者不禁思考：“學生為什么在講評和多次練習后，還是重復錯誤呢？這說明了什么問題？”

二、剖因溯源

“兩個分數不小心交換了位置”和“除法總是用大數除以小數”這兩個問題看起來微小，卻體現了學生的認知心理，反映了學生認知上的某種障礙。筆者認為主要原因不外乎以下三種。

（一）教材編排方面

對于“分數的意義”內容，原人教版數學教材分兩個階段安排：第一階段安排在三年級上冊，主要是把一個物體或一個圖形看作一個整體；第二階段安排在五年級下冊，主要是把很多物體或多個圖形看作一個整體，概括出單位“1”，并將分數的意義拓展到兩種含義（即表示一種關系和表示具體數量）。教材這樣編排，一方面我們感到分數意義理解的輕重失衡。翻閱原人教版三年級～五年級的數學課本，教材中沒有安排獨立的課時來研究用分數表示數量，所以和學生在第一學段已建立起“部分和整體的一種關系”相比，分數代表一種數的內容過于單薄。另一方面，我們感到不利于學生學習分數意義的正遷移。教材先讓學生理解分數表示“部分和整體的一種關系”，再概括分數的意義，然后學習分數與除法的關系，最后認識分數表示一種關系的另一種意義，這樣編排于無形中割裂了分數的兩種意義，使學生的學習不能發生正遷移，必然造成錯誤理解所學的概念。

（二）教師方面

如教學“分數的意義”時，教師不能很好地把握分數意義的教學重點，忽視了知識結構的前后連貫，隨著知識難度的增加，原本隱藏的問題開始暴露。

（三）學生方面

由于上述題目中的兩個問題非常相似，又比較抽象，很多學生面對問題弄不清是求具體的數量，還是求部分與整體的關系。以前在低年段學習求每份數時，總數都大于份數，結果一般能被份數整除，而到了高年段，學生的思維還是原先的水平，當遇到求具體數量且結果不是整數時，就無從下手了。

三、曲徑通幽

基于前面的原因分析，在對教材進行深度解讀后，筆者改進教學，從而使教學更有效。

策略（一）：重組教學內容，均衡分數的兩種意義

針對原教材中分數兩種意義的教學失衡，筆者覺得可以對有關分數的內容進行整合處理，有助于學生比較好地理解分數的意義。

階段1：三年級上冊──強化認知基礎，拓展分數意義的理解。

由于三年級學生是在整數認識的基礎上學習分數意義的，所以筆者嘗試讓學生在分水果的過程中體會分數產生的必要性，強調“平均分”是分數的本質特征。

（1）通過把4個草莓、2個橘子、1個蘋果分給兩個同學的操作，引出“平均分”。

（2）每人得到多少個？學生列式計算，師板書：被除數÷除數=商。

（3）理解“一半”的意思，引導學生建構1 / 2的意義。

①把1個蘋果平均分成2份，每份是多少？根據除法的意義，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2=？

②引出1 / 2，說說1 / 2的意思。

③剛才我們從蘋果中找到了1 / 2，那你能從圖形中找出1 / 2嗎？（活動操作過程略）

（4）類比遷移，認識幾分之一（略）。

（5）初步感知整體“1”。

師（小結）：由于整體的個數不同，它們的1 / 2所表示的個數也不一樣。

（6）認識分數各部分的名稱（略）。

設計思路：從分數的引入開始就把整體“1”的均分和單個“1”的均分結合在一起認識，使學生接納分數時就較好地建構起比較完整的分數意義。

階段2：五年級下冊──改變編排結構，完善分數認知系統。

“分數的意義”的學習主要是對三年級分數認識系統的完善，教學時筆者除了重點揭示單位“1”和認識分數單位外，還把原本分兩個課時教學“分數的意義”與“分數和除法的關系”的新授整合在一節課中嘗試教學。

（1）分數與除法關系的認識。

①老師買了6個餅，平均分給3個人，每人得到多少個？

生：6÷3=2（個）。

②1.5個餅平均分給3個人，每人得到多少個？

生：1.5÷3=0.5（個）。

……

師：觀察這些算式，你發現分數與除法有什么關系？

師（小結）：看來，兩個數相除，商不僅可以用小數來表示，也可以用分數來表示。

③如果用字母a表示被除數，b表示除數，誰可以用字母來表示這種關系？（板書：a÷b=a / b）

師：a / b是a÷b的商，在這里它表示一個具體的量，有時也表示一種關系。

設計思路：以除法的含義為解決問題的主線，讓學生感受到解決問題的方法是一樣的，只是商的表達方式不同。這樣教學，不僅讓學生比較清楚地認識到分數和除法之間的關系，又能讓學生理解分數可以表示具體數量，為后續學習分數表示分率做好準備。

（2）單位“1”的認識。

①師：看到a / b，你會想到哪些分數？（生答略）

師：請舉例說說1 / 4的含義，也可以畫圖表示。

②學生反饋交流（略）。

（3）師：在表示1 / 4的過程中，有什么共同點？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物體不同）

（4）在分數與除法、具體量與分率的溝通中認識單位“1”。

（5）師（小結）：我們把一個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數表示。這個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。表示其中的一份的數叫分數單位。

設計思路：這里抓住1 / 4這個突破口，強化1 / 4的含義，引導學生理解雖然單位“1”不同，但都是用分數1 / 4表示。通過圖的變換，讓學生對單位“1”是一個物體的認識，逐步拓展到單位“1”是多個物體的認識，進一步理解單位“1”和分數單位。

策略（二）：指導學習方法，引領分數的兩種意義

分數是小學數學學習中的一個重點，尤其是剛開始接觸分數時，學生對于正確區分量、率更是個難點。教學中，教師可給學生提供適當的學習方法，讓學生在學習新知時收到事半功倍的效果。

1.單位區分。

如上述題目，分析時可以先從題目的字面入手，引導學生仔細審題，觀察這兩個問題有什么異同。通過比較，學生發現第一個括號后面沒有單位，而第二個括號后面是有單位的。如“每份占總量的幾分之幾”“甲是乙的幾分之幾”所表示的就是分率，分率是沒有單位的；如“每段長幾分之幾米”“每份是幾分之幾”所表示的就是具體數量，數量是有單位的。第一個問題“每段是這根木料的幾分之幾”，求的是分率，以木料的全長為標準；第二個問題“每段長幾米”，求的是數量。

2.數形結合。

我們可以借助畫線段圖或示意圖等方法來幫助學生理解題意，從而把抽象的問題變為直觀圖形。如上述錯例分析中，可以引導學生根據題意分別畫出兩幅線段圖。如下圖：

師：圖1是把誰看做單位“1”？（整根木料）平均分成幾段？（5段）其中的一段就是表示“每段是這根木料的幾分之幾”，用算式表示是1÷5=1 / 5。圖2是把誰平均分成5段？（4米長的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5=4 / 5（米）。

策略（三）：拓展題目類型，強化分數兩種意義

認識分數與除法的關系后，可以設計一些專門區分分數兩種意義的對比練習題，以便學生更好分辨“什么時候是一種關系，什么時候是具體的數量”“什么時候該加單位，什么時候不該加單位”。如下：

（1）基礎練習。

①一根5米的鋼管平均截成8段，每段是這根鋼管的（ ），每段長（ ）米。

②同學們到植物園參觀，用25分鐘走了2千米，平均每分鐘走（ ）千米。

（2）拓展練習。

①小明做完以下三項作業要2小時，其中做作業用了1 / 2小時，聽英語用了1 / 4小時，那剩下的體育鍛煉要用幾小時？

②小明做完以下三項作業要2小時，其中做作業用了所有時間的1 / 2，聽英語用了1 / 4，那剩下的體育鍛煉用了全部時間的幾分之幾？

筆者對于三年級和五年級兩次教學分數的內容各有側重，從教學情況和效果來看，雖然仍有很多不成熟的地方，但能幫助學生比較完整地掌握分數的兩種意義，為今后小數乘除法、分數乘除法等計算教學和相關的解決問題的教學做好鋪墊。

（責編 杜 華）