高中數學教學中數形結合法的應用芻議

林日官

摘要：數形結合法是教師在課堂中充分將數學問題中的數量關系和空間形式相結合起來的一種教學手段。本文從數形結合法的重要性入手，來探討這種教學方法在現實數學課堂中的應用。

關鍵詞：高中數學 數形結合 應用

【分類號】G633.6

數形結合是作為一種數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，前者是指根據圖形提示的幾何意義來闡述數之間的含義，后者則是利用代數方程的形式來闡述其幾何含義。因此可以說數形結合是一種將抽象的數學語言與直觀圖像相結合起來的數學思維。而教師運用數形結合法在教學中主要是通過代數與幾何問題的互相轉化，最終達到培養學生思維和提升學生能力的目的。

高中數學教學中數形結合法的應用的重要性

教學內容與難度的有效過渡

高中數學內容抽象性強，相比初中數學解答過程單一較易模仿而言，高中數學在解題時要求學生在數學概念透徹理解的基礎上進行靈活運用。因此高中數學對學生的空間構建思維能力與邏輯思維能力要求更高，學生在教學內容與難度發生改變時容易出現適應困難的情況。教學中數形結合法的應用恰好能作為教師在教學中的一種過渡手段，幫助學生逐漸從模仿學習過渡為自主學習。

培養學生濃厚的學習興趣

高中數學公式難、符號多，造成學生在認知上存在不小的難度，部分學生在學習中產生畏難情緒，學習積極性越來越低。教師在課堂上通過運用數形結合方法能將教材中大部分的內容進行直觀轉化，將抽象思維過程轉化為形象的圖形展示，大大降低學生的理解難度，突破思維屏障。這一手段能在提高課堂效率的同時培養學生濃厚的數學興趣。

促進學生數學思維的建立

數學思維的建立無論對學生的數學學習還是今后的工作都有十分重要的意義。數形結合的教學方法能有效幫助學生建立數學思維，進一步啟發學生用數學思維解決生活中的數學問題。數形結合的思維方式能夠促進學生條理性思維能力的發展，“數”與“形”的轉化過程正是思維層層深入的過程，并且學生在這一過程能夠充分體會出動態思維與靜態思維的結合產生的思維簡化，在平日學習中也更愿意積極構建數學思維來解決問題。

數形結合運用的基本思路

數形結合的基本思路在于完成代數問題與圖形之間的相互轉化，在應用中應當注意幾個問題：其一，轉化關系等價性。在進行數型轉化時首先要明確其中包含的幾何意義以及曲線的代數特征是否為對應關系，轉化的過程是否是嚴格邏輯推理的結果。轉化過程的定價關系直接影響到變量定義域的變化，定義域擴大或縮小都將影響幾何圖形面積的大小，如果面積存在誤差，那么結果一定是不準確的。其二，構建圖形的合理性。幾何圖形具有直觀簡明的特點，但是不合理的運用圖形來解決代數問題容易將思路引入誤區。幾何圖形構建是否合理同樣要根據設置變量的定義域來判斷。在構建圖像的同時要全面考慮存在的各種情況，避免遺漏，判斷題和填空題的出題陷阱恰恰在此。其三，分析問題雙向性。由于代數與幾何自身方法的局限性，因此分析過程中既要考慮其幾何意義又要包含其代數意義，利用幾何的直觀分析對代數的抽象含義進行探索或是利用代數運算來設定幾何方法中的參數范圍值。

數形結合思想中數形轉化途徑通常構建坐標、函數、圖形來實現。數到形的轉換途徑通常分為以下幾種情況：其一，方程或不等式問題常常借助函數圖像，利用函數圖象的交點位置關系來解決問題。其二，將代數式轉化為平面向量的數量關系在坐標平面直觀的顯示。其三，對代數式進行結構轉化，構建出符合代數式的幾何模型，轉化為面積或是勾股定理計算。形到數的轉換途徑主要分為解析法、三角法、向量法三種，其目的在于將圖形信息部分或全部轉換成代數信息，運用三角函數或是坐標關系來解決相應問題。

數形結合思想在數學教學中的應用

教師在數學課堂中實現數形結合中通常利用了幾大對應關系：實數與數軸上點的對應、函數與圖像的對應、曲線與方程的對應。教師可根據這幾種對應關系將教學內容進行轉化，幫助學生樹立數形結合思維。下文從教學實踐中的試題講解來闡述數形結合思想在數學課堂中的運用。

最值問題是高中數學試題中常常出現的一類問題，并且多以選擇題和填空題的形式出題。因此這類題目不必要做復雜的演算，運用數學結合的思維便能很快得出結果。首先教師在教學中要選擇一些帶有明顯幾何意義的代數式來作為講解例題，以此來啟發學生是否可以拋棄傳統復雜演算的思維定式，換用兩點間的距離公式來解決這一類問題。

例1 求函數的最小值

首先教師帶領學生觀察這個代數式，顯然利用現有的代數知識時沒有辦法直接求解，但仔細觀察即可看出這個代數式中含有明顯的幾何含義。因此教師可給學生一段獨立思考的時間來思考如何將代數式進行變形。接下來，教師帶領學生共同探索函數背后的幾何背景，巧用兩點間距離公式進行求解：

代數式經過變形，即可設出A（0，1），B（2，2），P（x，0），這樣函數的最值問題就轉化為在X軸上存在一P點，求|PA|+|PB|的最小值。

四、數形結合法在教學運用中應注意的問題

數形結合法具有直觀形象的特征，教師通過這種教學方法往往能在課堂中獲得出奇制勝的效果。但作為一種教學手法必然存在自身的局限性，教師在教學應用中不能將每個問題都生硬的應用數形結合法來解決，這種以偏概全的方式達不到培養學生思維的目的。因此教師在教學中運用數形結合思想時要注意以下幾個問題：

精確作圖

部分教師在課堂給學生展示代數轉換為幾何圖形的過程中，只注重思維過程的講解，落在黑板上的圖形卻十分潦草。這樣一是給學生一種不嚴謹的態度的誤導；二是潦草作圖很容易引起學生的理解錯誤。因此，教師在作圖時要做到有依據的精確作圖。

（二）能力培養

教師將數形結合運用在教學中的根本目的是為了提升學生解決數學問題的能力，而部分教師在課堂教學中沒有給學生留出獨立思考的時間，其結果是學生在課下解題時只是簡單模仿教師的思維，當題目難度加大時，便無從下手。因此課上教師要采用啟發式教學，讓學生真正理解數形結合思維的含義，并能加以靈活運用。

結束語：

數形結合思維是一種非常實用的思維方法，教師在課堂中運用時要注重運用啟發式教學，幫助學生從中得到數學思維和數學能力的提升。

參考文獻：

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