關于《高等數學》中函數連續性概念教學的探討

王岳

【摘要】函數連續性是高等數學中用極限研究函數性質的第一處重要概念，連續的概念是學生在生活中經常接觸的，如何讓學生從生活實例抽象出共性的函數關系去深入理解這一概念是教學的重點.教學中我們將函數在一點連續的兩個等價定義分為靜態和動態兩種形式進行教學設計，在教學實踐中分別從靜態和動態的角度分析定義，并指明靜態定義和動態定義的等價關系，使學生更形象深入地理解概念的本質.

【關鍵詞】連續性；極限；概念教學；教學過程

《高等數學》第一章“函數的極限與連續”的內容中，一個非常重要的概念就是“函數的連續性”.函數的連續性是函數的一個最基本的概念，是高等數學學習的基礎.函數連續性的定義對分析函數的性質，以及討論由實際問題所建立起的函數的性質，并通過這些性質解決實際問題具有重要理論與實際意義.連續性是自然界中各種物體連續變化的數學體現，是其在函數關系上的具體反映.“函數的連續性”這節內容是運用高等數學中極限的方法對連續性的現象進行描述和研究.為了使學生能更好地掌握這一概念，加深對概念的理解，并能通過學習體會概念與生活實例的聯系，在此，我們探討一下函數在一點連續這一重要概念的教學過程.

一、函數連續性教學探討的必要性

首先，由于在自然界中存在很多常見的連續現象，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等都是連續地變化著的，盡管連續性的物理意義和幾何直觀都比較淺顯，但在學習中仍需要給連續性下一個明確的數學定義，這是因為在實際問題中常要遇到很復雜的函數，在考察它們的性質包括連續性時，它們不一定都有清晰的物理背景和簡單的幾何直觀，因而僅靠感覺是無法進行準確的運算和推理的.在學習這節內容之前，學生對這一概念并不完全陌生，但他們頭腦中的連續完全是由上述一些原形形成的生活中的概念，如何讓學生去尋求這些現象的共性，結合這些現象去理解數學中連續的概念，是函數連續性這節教學的重點.

其次，在《高等數學》第一章學習了極限概念之后給出連續的概念，是高數中第一處運用極限的知識去研究函數的性質，具有非常重要的地位，也是學生學好高等數學后續內容的基礎.

二、函數在一點連續教學過程的具體實現

高等數學中，函數在一點連續有兩個等價的定義式，分別為：limΔx→0Δy=0和limx→x0f（x）=f（x0）.在教學過程中，我們如果僅僅是照本宣科地依次講解、推導這兩個概念，并不一定能起到學生加深理解的作用和效果.我們可以更形象的將這兩個定義分為“靜態定義”和“動態定義”兩種形式，分別從靜態和動態兩個角度結合圖像來講述“函數在一點連續”這一重要概念的含義.使學生從多角度加深對連續性概念的理解.

1.靜態定義

大部分課本上，靜態定義式是由動態定義式推導出來的，在此，我們可以運用一種更形象的分析方法：研究函數在某一點是否連續，可以先讓學生觀察函數圖像，一般意義上我們理解的函數在一點x0處連續對應到圖像上就是函數圖像在這點處不間斷.如果函數圖像在x0處斷開了，那么，對于斷開處的點f（x0）本身而言，我們可以把它歸到圖像的左邊部分，也可以歸到右邊部分.若將這點歸到左側圖像，則能得到函數在這一點的左極限恰好等于這一點的函數值，即：limx→x-0f（x）=f（x0）（如圖1）；若將此點歸到右側圖像，則得到函數在這一點的右極限恰好等于這一點的函數值，即：limx→x+0f（x）=f（x0）（如圖2）.

如果函數圖像在這點處沒有發生間斷，則這點既可以歸到左側圖像，也可以歸到右側圖像，根據左右極限的定義，我們就得到關系式limx→x0f（x）=f（x0）成立（如圖3）.此時，函數在這點處是連續的.因此，函數在一點連續的定義可敘述為：

定義1 設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域U（x0）內有定義，如果limx→x0f（x）存在，且等于f（x0），即limx→x0f（x）=f（x0），則稱函數y=f（x）在點x0處連續，點x0稱為函數的連續點.

由于在這個研究過程中，我們把x0點看作是相對靜止的，所以這個定義我們把它稱為“靜態定義”.結合上述定義以及函數左右極限的定義，我們得到，當limx→x-0f（x）=f（x0）成立時，稱函數f（x）在x0點左連續，limx→x+0f（x）=f（x0）成立時，稱函數f（x）在x0點右連續.因此，函數在點x0連續的充分必要條件是：函數在點x0既左連續，又右連續.

而且，由靜態定義我們可以分析得出，函數f（x）在點x0處連續須下述三個條件皆滿足：（1）f（x）在點x0的某鄰域內有定義；（2）極限limx→x0f（x）存在；（3）極限limx→x0f（x）的值等于該點函數值f（x0）.我們常用上述三個條件來討論函數在f（x）某點處是否連續.這樣，就可以引導學生在理解概念的基礎上，學會通過三步具體步驟來掌握利用靜態定義判斷函數在一點處是否連續.

例1 討論函數f（x）=x2-1x-1，1， x≠1，x=1在x=1處連續性.

解 由于f（1）=1，limx→1f（x）=limx→1x2-1x-1=2，limx→1f（x）≠f（1），所以函數在x=1處的不連續.

不同分段函數的分段方式不同，對于分段點兩側表達式不同的分段函數，我們可以分別研究函數在一點是否左、右連續，來判斷函數在該點是否連續.因此，講完例1，我們可以再給出學生一個此類例題加以分析對比.

例2 討論函數f（x）=1+cosx，sinx， x<π2，x≥π2在x=π2處的連續性.

分析 由于f（x）在x=π2處的左、右表達式不同，所以先討論函數f（x）在π2處的左、右連續性.

解 由于limx→π2-f（x）=limx→π2-（1+cosx）=1+cosπ2=1=fπ2，

limx→π2+f（x）=limx→π2+（sinx）=sinπ2=1=fπ2，

所以，函數f（x）在x=π2處左連續且右連續，從而函數f（x）在x=π2處連續.

分析了這兩個例題后，引導學生比較兩個題目的解法，使學生通過差異對比，靈活掌握判斷函數在一點連續的方法.

2.動態定義

函數在x0處連續的定義還可以用在幾何上更為直觀的動態定義來敘述.我們把x表示成x=x0+Δx，這樣變量x可以看成在x0處有了一個增量Δx，相應的，函數值f（x0+Δx）與f（x0）也相差一個增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），按這種記法，在x0處，當|Δx|很微小時，Δy也很微小.特別當Δx→0時，也有Δy→0，即當自變量發生微小改變時，函數的相應變化也非常微小.這就是函數y=f（x）在x0處連續的實質，由此函數在一點連續的定義也可以敘述為：

定義2 設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域U（x0）內有定義，如果在x0處，當自變量的增量Δx趨于零時，對應的函數的增量Δy也趨于零，即： limΔx→0Δy=limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]=0，則稱函數y=f（x）在點x0處連續，點x0稱為函數f（x）的連續點.

這個定義過程，體現了函數在x0點自變量和因變量的動態變化的過程，因此我們稱為函數在一點連續的“動態定義”.

根據動態定義，我們引導學生觀察下列兩圖：由圖4可以看出，函數y=f（x）是連續變化的，它的圖像是一條不間斷的曲線.當x0保持不變而讓Δx無限趨近于零時，曲線上的點N就沿著曲線趨近于點M，即Δy趨近于零.符合連續的動態定義.而由圖5可以看出，函數y=φ（x）不是連續變化的.它的圖像是一條在點x0處間斷的曲線.當x0保持不變，讓Δx無限趨近于零時，曲線上的點N就沿著曲線趨近于點N′，Δy不能趨近于零，不符合連續的動態定義，所以函數y=φ（x）在點x0處不連續.

借助圖像的直觀性，學生能進一步深入理解動態定義的實質.

3.靜態與動態的等價關系

靜態定義和動態定義只是從不同角度、運用不同方法來研究的函數在一點的連續性，兩個定義的實質是等價的，可以互相推導得到.課堂上，我們可以給學生推導從動態定義式推出靜態定義式的過程，讓其在課下推導其反過程，加深對定義的理解鞏固.

在動態定義式中，limΔx→0Δy=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）=0，若記x=x0+Δx，則Δx=x-x0，相應的函數的改變量為Δy=f（x）-f（x0），當Δx→0時，即x→x0時，Δy→0，即[f（x）-f（x0）]→0，也就是f（x）→f（x0），于是就得到limx→x0f（x）=f（x0），反之，由靜態定義式也可以推導出動態定義式，可以讓學生自行推導.由此，通過授課教師的分析和學生的實踐，得出兩個公式是完全等價的.在不同的情形下，可以根據已知條件靈活選擇不同的公式來判斷函數在一點是否連續.

以上提出了“函數連續性”這一概念教學的一種新方法，在我們實際授課過程中這種形象、生動的教學方法，學生易于接受，通過數形結合進一步加深理解，在老師的引導和啟發下，他們通過觀察、對比從多角度深入理解了概念本質，收到了良好的效果.對這個概念有了全面深入的分析以后，后面我們再進行函數在區間上的連續性教學時，學生就相對更容易理解和接受了.